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福建省福州市八县一中联考2016-2017学年高一期中数学试卷(解析版).doc

2016-2017 学年福建省福州市八县(市)一中联考高一(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题意要求的. 1.设集合设 U={x|﹣3<x<3,x∈Z},A={1,2},B={﹣2,﹣1,2},则 A∪?UB=( A.{1} B.{1,2} C.{2} D.{0,1,2} )

【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】列举出 U 中的元素确定出 U,求出 A 与 B 补集的并集即可. 【解答】解:∵U={x|﹣3<x<3,x∈Z}={﹣2,﹣1,0,1,2},A={1,2},B={﹣2,﹣1, 2}, ∴?UB={0,1}, 则 A∪?UB={0,1,2}, 故选:D.

2.下列各函数中,表示同一函数的是( A.y=lgx 与 B.

) 与 y=x+1

C.

与 y=x﹣1 D.y=x 与

(a>0 且 a≠1)

【考点】判断两个函数是否为同一函数. 【分析】判断函数的定义域、表达式是否相同,即可得出结论. 【解答】解:A,B 函数的定义域不相同,不是同一函数; C,函数的表达式不相同,不是同一函数; D、函数的定义域、表达式都相同,是同一函数. 故选:D.

3.函数 f(x)= A. (2,3)

的定义域是( B. (﹣∞,3)

) C. (3,+∞) D.[2,3)

【考点】函数的定义域及其求法.

【分析】根据二次根式的性质以及对数函数的性质求出函数的定义域即可. 【解答】解:由题意得: , 解得:2≤x<3, 故函数的定义域是[2,3) .

4.已知 a=2 A.c>a>b

,b=log2 ,c=log3π,则( B.a>c>b

) C.a>b>c D.c>b>a

【考点】对数值大小的比较. 【分析】利用指数函数、对数函数的性质求解. 【解答】解:∵0<a=2 b=log2 <log21=0, c=log3π>log33=1, ∴c>a>b. 故选:A.
0 <2 =1,

5.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是(



3 x (1)y=﹣|x|(x∈R) (2)y=﹣x ﹣x(x∈R) (3)y=( ) (x∈R) (4)y=﹣x+ .

A. (2)

B. (1) (3)

C. (4)

D. (2) (4)

【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 【分析】逐一分析给定四个函数的奇偶性和单调性,可得答案. 【解答】解: (1)y=﹣|x|(x∈R)是偶函数;
3 (2)y=﹣x ﹣x(x∈R)既是奇函数又是减函数; x (3)y=( ) (x∈R)是非偶非偶函数;

(4)y=﹣x+ 是奇函数但在定义上不连续,不是减函数, 故选:A

6.设 A={0,1,2,4},B={ ,0,1,2,6,8},则下列对应关系能构成 A 到 B 的映射的 是( ) B.f:x→(x﹣1)2 C.f:x→2x﹣1 D.f:x→2x

A.f:x→x3﹣1 【考点】映射.

【分析】根据所给的两个集合,对于集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有唯一的一个 元素与它对应,从集合 A 中取一个特殊的元素 4,进行检验,去掉两个答案,去掉元素 2, 去掉一个不合题意的,得到结果. 【解答】解:当 x=4 时,x ﹣1=63,在 B 集合中没有元素和它对应,故 A 不能构成,
2 当 x=4 时, (x﹣1) =9,在 B 集合中没有元素和它对应,故 B 不能构成, 3

当 x=2 时,2x=4,在 B 集合中没有元素和它对应,故 D 不能构成, 根据映射的定义知只有 C 符合要求, 故选 C.

7.函数 f(x)=2x﹣1+x﹣5 的零点 x0∈( A. (1,2) 【考点】二分法的定义. B. (2,3)

) C. (3,4) D. (3,+∞)

【分析】分别求出 f(2)和 f(3)并判断符号,再由函数的单调性判断出函数唯一零点所 在的区间,即可求出 n.
1 2 【解答】解:∵f(2)=2 +2﹣5=﹣1<0,f(3)=2 +3﹣5=2>0, x﹣1 ∴f(x)=2 +x﹣5 的存在零点 x0∈(2,3) .

∵函数 f(x)=2

x﹣1

+x﹣5 在 R 上单调递增,

x 1 ∴f(x)=2 ﹣ +x﹣5 的存在唯一的零点 x0∈(2,3) .

故选:B.

8.已知函数 f(x)= A.2 【考点】函数的值. B.﹣1

若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于( C.﹣1 或 0 D.0



【分析】由已知得 f(a)=﹣f(1)=﹣(2 ﹣1)=﹣1.当 a>0 时,f(a)=2 ﹣1=﹣1;当 a≤0 时,f(a)=a=﹣1.由此能求出实数 a. 【解答】解:∵函数 f(x)=
1 ∴f(a)=﹣f(1)=﹣(2 ﹣1)=﹣1,

1

a

,f(a)+f(1)=0,

当 a>0 时,f(a)=2 ﹣1=﹣1,无解; 当 a≤0 时,f(a)=a=﹣1. ∴实数 a=﹣1. 故选:B.

a

9.在同一坐标系中,函数 ( )

与 y=loga(﹣x) (其中 a>0 且 a≠1)的图象只可能是

A.

B.

C.

D.

【考点】对数函数的图象与性质;指数函数的图象与性质. 【分析】明确函数 的图象与函数 y=a 的图象关于 y 轴对称,函数 y=a 的图
x x

象与函数 y=logax 的图象关于 y=x 对称,函数 y=loga(﹣x)的图象与函数函数 y=logax 的图 象关于 y 轴对称可得解. 【解答】解: 由图易知 ,

故选 C

10.某个实验中,测得变量 x 和变量 y 的几组数据,如表: x y 0.50 ﹣0.99 0.99 0.01 2.01 0.98 3.98 2.00 ) C.y=log2x D.y=2x﹣2

则对 x,y 最适合的拟合函数是( A.y=2x B.y=x2﹣1

【考点】函数模型的选择与应用. 【分析】根据所给数据,代入各函数,计算验证可得结论. 【解答】解:根据 x=0.50,y=﹣0.99,代入计算,可以排除 A; 根据 x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除 B、D; 将各数据代入函数 y=log2x,可知满足题意 故选 C.

11.若函数 f(x)=ax2+2(a﹣1)x+2 在区间(﹣∞,4)上是减函数,则实数 a 的取值范围 是( A. ) B. C.a≥﹣3 D. 或0

【考点】二次函数的性质. f x) =ax2+2 x+2 在区间 4) 【分析】 若函数 ( (a﹣1) (﹣∞, 上是减函数, 则 a=0, 或 解得实数 a 的取值范围.
2 【解答】解:∵函数 f(x)=ax +2(a﹣1)x+2 在区间(﹣∞,4)上是减函数,



∴a=0,或



解得: 故选:A



12.设函数 f(x)的定义域为 D,若函数 f(x)满足条件:存在[a,b]? D,使 f(x)在[a, b]上的值域是[2a,2b],则称 f(x)为“倍扩函数”,若函数 f(x)=log2(2x+t)为“倍扩函数”, 则实数 t 的取值范围是( )

A. 【考点】函数的值域.

B.

C.

D.

【分析】由题意得,函数是增函数,构造出方程组,利用方程组的解都大于 0,求出 t 的取 值范围.
x 【解答】解:函数 f(x)=log2(2 +t)为“倍扩函数”,且满足[a,b]? D,使 f(x)在[a,b]

上的值域是[2a,2b], ∴f(x)在[a,b]上是增函数; ∴ ,

化简得:
2



∴方程 f(x)=x ﹣x﹣t=0 有两个不等的实根,且两根都大于 0; ? ,

解得:

. ,0)

∴满足条件 t 的范围是( 故答案选:B.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在答题卡的相应位置上. 13.已知幂函数 y=f(x)的反函数图象过(6,36) ,则 f( )= 【考点】反函数. 【分析】设幂函数 y=f(x)=x ,由题意可得原函数 f(x)的图象经过点(36,6) ,求出 α 的值,可得函数解析式,从而求得 f( )的值. 【解答】解:设幂函数 y=f(x)=x ,由题意可得原函数 f(x)的图象经过点(36,6) ,
α 故有 36 =6,∴α= ,即 f(x)= α α





∴f( )= , 故答案为: .

14.log3

+(



0 ﹣(﹣ ) +

= 11 .

【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 【分析】利用对数、指数的性质、运算法则求解. 【解答】解:log3 +( )
3 0 ﹣(﹣ ) +

=

+

﹣1+2

= =11. 故答案为:11.

15.若函数 y=loga(x+m)+n 的图象过定点(﹣1,﹣2) ,则 m?n= ﹣4 . 【考点】对数函数的图象与性质. 【分析】由题意,图象过定点(﹣1,﹣2) ,即﹣1+m=1,n=﹣2,那么 mn 即可求解. 【解答】解:由题意:函数 y=loga(x+m)+n 的图象过定点(﹣1,﹣2) , ∴﹣1+m=1, 解得:m=2, 当 x=﹣1 时,y=﹣2, 解得:n=﹣2, 那么:m?n=﹣2×2=﹣4. 故答案为:﹣4.

16.下列说法: ①若 f(x)=ax2+(2a+b)x+2(其中 x∈[﹣1,a])是偶函数,则实数 b=﹣2; ②f(x)= ③若 f(x+2)= + 既是奇函数又是偶函数;
x

,当 x∈(0,2)时,f(x)=2 ,则 f 是定义在 R 上的不恒为零的函

数,且对任意的 x,y∈R 都满足 f(xy)=xf(y)+yf(x) ,则 f(x)是奇函数.其中所有 正确命题的序号是 ①②④ .

【考点】命题的真假判断与应用;函数奇偶性的判断;函数奇偶性的性质;函数的周期性. 【分析】逐项判断正误即可求解.①由函数奇偶性可得定义域关于原点对称,得 a,由对称 轴为 y 轴可得 b;②先求定义域,可得 f(x)=0,易得结果;③由题意可得函数为周期函数, 易得③错误;④利用赋值法,可得 f(﹣x)=﹣f(x) ,故④正确.
2 【解答】解:①由函数在区间[﹣1,a]上为偶函数可得:a=1,所以 f(x)=x +(2+b)x+2,

因为函数为偶函数,所以对称轴 ②易知函数的定义域为 故②正确; ③由 函数,所以 f, 又 f(3)=f(1+2)= = ,即 ,可得

,故 b=﹣2,故①正确; ,此时 f(x)=0,既是奇函数,也是偶函数,

,故函数为周期为 4 的周期

,故③错误;

④令 x=y=1,可得:f(1)=0,令 x=y=﹣1,得 f(1)=﹣f(﹣1)﹣f(﹣1) ,故 f(﹣1) =0, 令 y=﹣1 可得:f(﹣x)=xf(﹣1)﹣f(x)=﹣f(x) , 故函数为奇函数,所以④正确. 故答案为:①②④.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知集合 A={x|1≤x≤5},B={x|log2x>1} (1)分别求 A∩B, (?RB)∪A; (2)已知集合 C={x|2a﹣1≤x≤a+1},若 C? A,求实数 a 的取值范围. 【考点】集合的包含关系判断及应用;交、并、补集的混合运算. 【分析】 (1)根据集合的基本运算即可求 A∩B, (?UB)∪A; (2)根据 C? A,建立条件关系即可求实数 a 的取值范围. 【解答】解: (1)由题意:集合 A={x|1≤x≤5},B={x|log2x>1}={x|x>2}, ?RB={x|x≤2}, 那么:A∩B={x|2<x≤5}; (CRB)∪A={x|x≤2}∪{x|1≤x≤5}={x|x≤5}. (2)集合 C={x|2a﹣1≤x≤a+1},

∵C? A, ∴①当 C=?时,满足题意,此时 2a﹣1>a+1,解得:a>2.

②当 C≠?时,要使 C? A,需满足:



解得:1≤a≤2. 综合①②,可得 a 的取值范围是[1,+∞) .

18.已知函数 f(x)=loga(x+2)+loga(3﹣x) ,其中 0<a<1. (1)求函数 f(x)的定义域; (2)若函数 f(x)的最小值为﹣4,求 a 的值. 【考点】对数函数的图象与性质. 【分析】 (1)根据题意,写出函数 f(x)有意义的不等式组求解. (2)将函数化简,转化为二次 i 函数,利于二次函数的性质求解. 【解答】解: (1)要使函数 f(x)有意义,则有 解得:﹣2<x<3, 所以:函数的定义域为(﹣2,3) . (2)函数可化为 f(x)=loga(x+2)+loga(3﹣x) =loga[(x+2) (3﹣x)]= ∵﹣2<x<3, ∴ 又∵0<a<1, ∴ 即 由 解得: . , ,即: , , , ,

故得函数 f(x)的最小值为﹣4,a 的值为



19.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时 f(x)= (1)求 f(x)的解析式; (2)判断 f(x)的单调性(不必证明) ;



2 2 (3)若对任意的 t∈R,不等式 f(k﹣3t )+f(t +2t)≤0 恒成立,求 k 的取值范围.

【考点】函数恒成立问题;函数的单调性及单调区间. 【分析】 (1)依题意,当 x≤0 时,﹣x≥0,利用 得当 x≤0 时的函数表达式,从而可得 f(x)的解析式; (2) 当 x≥0 时, 将函数 分离出常数 2, 利用反比例函数的单调性可判断出 f (x) ,可求

在[0,+∞)上是增函数,再利用奇函数的单调性质,可判断 f(x)的单调性; (3)利用(2)可知,f(x)在(﹣∞,+∞)上是增函数,再利用奇函数的性质,将不等式 f(k﹣3t2)+f(t2+2t)≤0 转化为 t2+2t≤3t2﹣k 恒成立,利用判别式△=4+8k≤0 即可求得 k 的取值范围. 【解答】 (本题 12 分) 解: (1)∵当 x≥0 时有 ∴当 x≤0 时,﹣x≥0, ,



(x≤0) ,





(2)∵当 x≥0 时有

,∴f(x)在[0,+∞)上是增函数…

又∵f(x)是奇函数,∴f(x)是在(﹣∞,+∞)上是增函数 … (注:只判断 f(x)是在(﹣∞,+∞)上是增函数得 1 分)
2 2 2 2 2 (3)f(k﹣3t )+f(t +2t)≤0 则 f(t +2t)≤﹣f(k﹣3t )=f(3t ﹣k)… 2 2 2 因 f(x)为增函数,由上式推得,t +2t≤3t ﹣k,∴2t ﹣2t﹣k≥0

2 即对一切 t∈R 恒有 2t ﹣2t﹣k≥0…

从而判别式△=4+8k≤0,∴



20.已知函数 f(x)=

(1)在给定直角坐标系内直接画出 f(x)的草图(不用列表描点) ,并由图象写出函数 f (x)的单调减区间; (2)当 m 为何值时 f(x)+m=0 有三个不同的零点.

【考点】分段函数的应用. 【分析】 (1)根据函数解析式得到函数的图象,根据图象分别找到图象上升和下降的部分, 即可得到单调区间; (2)作出直线 y=﹣m,f(x)+m=0 有三个不同的零点等价于函数 y=﹣m 和函数 y=f(x) 的图象恰有三个不同的交点. 【解答】解: (1)作出 f(x)的图象.如右图所示…. 由图象可知该函数的单调减区间为(﹣1,1) , (2,+∞)… (2)作出直线 y=﹣m,f(x)+m=0 有三个不同的零点等价于函数 y=﹣m 和函数 y=f(x) 的图象恰有三个不同的交点… 由 y=f(x)的图象可知,﹣m∈(﹣1,0)… ∴m∈(0,1)…

21.销售甲、乙两种商品所得利润分别是 y1,y2 万元,它们与投入资金 x 万元的关系分别 为 y1=m 所示. (1)求函数 y1 与 y2 的解析式; (2)若该商场一共投资 10 万元经销甲、乙两种商品,求该商场所获利润的最大值. +a,y2=bx, (其中 m,a,b 都为常数) ,函数 y1,y2 对应的曲线 C1,C2 如图

【考点】函数模型的选择与应用. 【分析】 (1)根据所给的图象知,列出关于 m,a 的方程组 可得到函数 y1、y2 的解析式; (2)对甲种商品投资 x(万元) ,对乙种商品投资(10﹣x) (万元) ,根据公式可得甲、乙 两种商品的总利润 y(万元)关于 x 的函数表达式;再利用配方法确定函数的对称轴,结合 函数的定义域,即可求得总利润 y 的最大值. 【解答】解: (1)由题意 … ,解得 m=2,a=﹣2,…. ,解出 m,a 的值,即

又由题意 8b=4 得



, (x≥0)…

(不写定义域或只写一个扣一分) (2)设销售甲商品投入资金 x 万元,则乙投入(10﹣x)万元 由(1)得 令 ,则有 x=t ﹣1, , 当 t=2 即 x=3 时,y 取最大值 答:该商场所获利润的最大值为 … 万元. (不答扣一分)… …
2



22.已知函数 f(x)=ax2﹣2ax+b(a>0)在区间[﹣1,4]上有最大值 10 和最小值 1.设 g (x)= .

(1)求 a、b 的值; (2)证明:函数 g(x)在[ ,+∞)上是增函数;

x x (3)若不等式 g(2 )﹣k?2 ≥0 在 x∈[﹣1,1]上有解,求实数 k 的取值范围.

【考点】二次函数的性质;函数单调性的判断与证明. 【分析】 (1)根据函数的对称轴得到关于 a 的方程组,解出即可; (2)先求出 g(x)的表达式,根据定义证明函数的单调性即可; (3)问题转化为 1+2 ﹣2? ≥k,令 t=
2 ,则 k≤2t ﹣2t+1,构造新函数,结合

函数的单调性从而求出 k 的范围即可.
2 【解答】解: (1)f(x)=a(x﹣1) ﹣a+b, (a>0) ,

因为 a>0,故

,解得

.… ≤x1<x2,

(2)由已知可得 g(x)=x+ ﹣2,设

∵g(x1)﹣g(x2)=(x1﹣x2) (1﹣ ∵

)=



≤x1<x2,∴x1﹣x2<0,2<x1x2,即 x1x2﹣2>0.

∴g(x1)﹣g(x2)<0,即 g(x1)<g(x2) .

所以函数 g(x)在[

,+∞)上是增函数
x ﹣2≥k?2 ,



x x x (3)g(2 )﹣k?2 ≥0 可化为 2 +

化为 1+2

﹣2?
2

≥k,

令 t=

,则 k≤2t ﹣2t+1,…

因 x∈[﹣1,1],故 t∈[ ,2],
2 记 h(t)=2t ﹣2t+1,因为 t∈[ ,2],故 h(t)max=5,

所以 k 的取值范围是(﹣∞,5].…

2016 年 12 月 3 日


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