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2019届高三数学理一轮复习课时跟踪检测六十八 坐标系 含解析 精品

课时跟踪检测(六十八) 坐标系 π? 1.在极坐标系中,求直线 ρcos? ?θ+6?=1 与圆 ρ=4sin θ 的交点的极坐标. π? 解:ρcos? ?θ+6?=1 化为直角坐标方程为 3x-y=2, 即 y= 3x-2. ρ=4sin θ 可化为 x2+y2=4y, 把 y= 3x-2 代入 x2+y2=4y, 得 4x2-8 3x+12=0, 即(x- 3)2=0, 所以 x= 3,y=1. π? 所以直线与圆的交点坐标为( 3,1),化为极坐标为? ?2,6?. π? 3 ? π? 2.在极坐标系中,已知圆 C 经过点 P? ? 2,4 ?,圆心为直线 ρsin?θ-3?=- 2 与极轴 的交点,求圆 C 的极坐标方程. π? 3 解:在 ρsin? ?θ-3 ?=- 2 中,令 θ=0,得 ρ=1, 所以圆 C 的圆心坐标为(1,0). π? 因为圆 C 经过点 P? ? 2,4?, 所以圆 C 的半径|PC|= 的极坐标方程为 ρ=2cos θ. π? 2 3.设 M,N 分别是曲线 ρ+2sin θ=0 和 ρsin? ?θ+4?= 2 上的动点,求 M,N 的最小距 离. π 2 θ+ ?= 上的动点,即 M,N 分别 解:因为 M,N 分别是曲线 ρ+2sin θ=0 和 ρsin? 4 ? ? 2 是圆 x2+y2+2y=0 和直线 x+y-1=0 上的动点,要求 M,N 两点间的最小距离,即在直 线 x+y-1=0 上找一点到圆 x2+y2+2y=0 的距离最小, 即圆心(0, -1)到直线 x+y-1=0 的距离减去半径,故最小值为 |0-1-1| -1= 2-1. 2 π ? 2?2+12-2×1× 2cos =1,于是圆 C 过极点,所以圆 C 4 ? ?x=acos t, 4.(2016· 全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为? (t 为参 ?y=1+asin t ? 数,a>0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ=4cos θ. (1)说明 C1 是哪一种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程; (2)直线 C3 的极坐标方程为 θ=α0,其中 α0 满足 tan α0=2,若曲线 C1 与 C2 的公共点都 在 C3 上,求 a. 解:(1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程为 x2+(y-1)2=a2,则 C1 是以(0,1)为圆心,a 为 半径的圆. 将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入 C1 的普通方程中,得到 C1 的极坐标方程为 ρ2-2ρsin θ+ 1-a2=0. (2)曲线 C1,C2 的公共点的极坐标满足方程组 2 2 ? ?ρ -2ρsin θ+1-a =0, ? ?ρ=4cos θ. ? 若 ρ≠0,由方程组得 16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0, 由已知 tan θ=2,可得 16cos2θ-8sin θcos θ=0, 从而 1-a2=0,解得 a=-1(舍去)或 a=1. 当 a=1 时,极点也为 C1,C2 的公共点,且在 C3 上. 所以 a=1. 5.(2018· 洛阳模拟)在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+(y-2)2=4.以 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆 C 的极坐标方程; π? π (2)直线 l 的极坐标方程是 2ρsin? ?θ+6 ?=5 3,射 线 OM:θ=6与圆 C 的交点为 O,P, 与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长. 解:(1)将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入 x2+(y-2)2=4, 得圆 C 的极坐标方程为 ρ=4sin θ. ρ=4sin θ, ? ? (2)设 P(ρ1,θ1),则由? π ?θ=6, ? π 解得 ρ1=2,θ1= . 6 ? ?2ρsin? ?θ+6?=5 设 Q(ρ ,θ ),则由? π ?θ=6, 2 2 π 3, π 解得 ρ2=5,θ2= . 6 所以|PQ|=ρ2-ρ1=3. 6.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C 的极 π? 坐标方程为 ρcos? ?θ-3?=1,M,N 分别为 C 与 x 轴,y 轴的交点. (1)求 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程. π? 3 ?1 ? 解:(1)由 ρcos? ?θ-3?=1 得 ρ?2cos θ+ 2 sin θ?=1. 1 3 从而 C 的直角坐标方程为 x+ y=1,即 x+ 3y=2. 2 2 当 θ=0 时,ρ=2,所以 M(2,0). π 2 3 ?2 3,π?. 当 θ= 时,ρ= ,所以 N 2 3 ? 3 2? ? 2 3? . (2)由(1)知 M 点的直角坐标为(2,0),N 点的直角坐标为 0, 3 ? ? 所以 P 点的直角坐标为 1, π 方程为 θ= (ρ∈R). 6 7.(2018· 福建质检)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的普通方程为(x-2)2+y2=4,在以 坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ=2sin θ,曲线 C3:θ= (ρ>0),A(2,0). (1)把 C1 的普通方程化为极坐标方程; (2)设 C3 分别交 C1,C2 于点 P,Q,求△APQ 的面积. 解:(1)因为 C1 的普通方程为(x-2)2+y2=4, 即 x2+y2-4x=0, 所以 C1 的极坐标方程为 ρ2-4ρcos θ=0,即 ρ=4cos θ. π π ρ1, ?,?ρ2, ?. (2)依题意,设点 P,Q 的极坐标分别为? 6? ? 6? ? π 将 θ= 代入 ρ=4cos θ,得 ρ1=2 3, 6 π 将 θ= 代入 ρ=2sin θ,得 ρ2=1, 6 所以|PQ|

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