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2015年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标i)解析


2015 年全国统一高考数学试卷(理科) (新课标 I)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)设复数 z 满足 =i,则|z|=( ) C. ) C. D.2 D.

A.1 B. 2. (5 分)sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=( A. B.
2 n

3. (5 分)设命题 p:?n∈N,n >2 ,则¬p 为( ) 2 n 2 n A.?n∈N,n >2 B.?n∈N,n ≤2 C.?n∈N,n2≤2n D.?n∈N,n2=2n 4. (5 分)投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试.己知某同学每次投篮投 中的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( ) A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 5. (5 分)已知 M(x0,y0)是双曲线 C: 若 A. <0,则 y0 的取值范围是( B. ) C. D. =1 上的一点,F1,F2 是 C 的两个焦点,

6. (5 分) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学明著,书中有如下问题:”今有委米 依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?“其意思为:”在屋内墙角处堆放米(如 图,米堆为一个圆锥的四分之一) ,米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体 积和堆放的米各为多少?“已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约 为 3,估算出堆放的米约有( )

A.14 斛

B.22 斛

C.36 斛 ,则( B. D. )

D.66 斛

7. (5 分)设 D 为△ ABC 所在平面内一点, A. C.

8. (5 分) 函数 f (x) =cos (ωx+?) 的部分图象如图所示, 则f (x ) 的单调递减区间为 (



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A. (kπ﹣ ,kπ+ , ) ,k∈z C. (k﹣ ,k+ ) ,k∈z

B.

(2kπ﹣ ,2kπ+ ) ,k∈z ,2k+ ) ,k∈z )

D. (

9. (5 分)执行如图的程序框图,如果输入的 t=0.01,则输出的 n=( A.5
2

B.6
5 5 2

C.7 )

D.8

10. (5 分) (x +x+y) 的展开式中,x y 的系数为( A.10 B.20 C.30

D.60

11. (5 分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三 视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16+20π,则 r=( )

A.1

B.2
x

C.4

D.8

12. (5 分)设函数 f(x)=e (2x﹣1)﹣ax+a,其中 a<l,若存在唯一的整数 x0 使得 f(x0) <0,则 a 的取值范围是( ) A. B. C. D. [ ) [ ) [ ) [ ) 二、填空题(本大题共有 4 小题,每小题 5 分) 13. (5 分)若函数 f(x)=xln(x+ )为偶函数.则 a= .

14. (5 分)一个圆经过椭圆 方程为 .

=1 的三个顶点.且圆心在 x 轴的正半轴上.则该圆标准

15. (5 分)若 x,y 满足约束条件

.则 的最大值为



16. (5 分)在平面四边形 ABCD 中,∠ A=∠ B=∠ C=75°.BC=2,则 AB 的取值范围 是 .
第 2 页(共 23 页)

三、解答题: 17. (12 分)Sn 为数列{an}的前 n 项和,己知 an>0,an +2an=4Sn+3 (I)求{an}的通项公式: (Ⅱ )设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和.
2

18. (12 分)如图,四边形 ABCD 为菱形,∠ ABC=120°,E,F 是平面 ABCD 同一侧的两点, BE 丄平面 ABCD,DF 丄平面 ABCD,BE=2DF,AE 丄 EC. (Ⅰ )证明:平面 AEC 丄平面 AFC (Ⅱ )求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值.

19. (12 分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千 元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

(xi﹣ )

2

(wi﹣ )

2

(xi﹣ ) (yi ﹣ )

(wi﹣ ) (yi ﹣ ) 108.8

46.6

563

6.8

289.8

1.6

1469

第 3 页(共 23 页)

表中 wi=

1,

=

(Ⅰ )根据散点图判断,y=a+bx 与 y=c+d 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的 回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (Ⅱ )根据(Ⅰ )的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ )以知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y﹣x.根据(Ⅱ )的结果回答下列问题: (i)年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii)年宣传费 x 为何值时,年利率的预报值最大? 附:对于一组数据(u1 v1) , (u2 v2)…..(un vn) ,其回归线 v=α+βu 的斜率和截距的最小二

乘估计分别为:

=



= ﹣



20. (12 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C:y=

与直线 l:y=kx+a(a>0)交于 M,N 两

点. (Ⅰ )当 k=0 时,分別求 C 在点 M 和 N 处的切线方程. (Ⅱ )y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有∠ OPM=∠ OPN?(说明理由)

21. (12 分)已知函数 f(x)=x +ax+ ,g(x)=﹣lnx (i)当 a 为何值时,x 轴为曲线 y=f(x)的切线; (ii)用 min {m,n }表示 m,n 中的最小值,设函数 h(x)=min { f(x) ,g(x)}(x>0) , 讨论 h(x)零点的个数.

3

选修 4 一 1:几何证明选讲
第 4 页(共 23 页)

22. (10 分)如图,AB 是⊙ O 的直径,AC 是⊙ O 的切线,BC 交⊙ O 于点 E. (Ⅰ )若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是⊙ O 的切线; (Ⅱ )若 OA= CE,求∠ ACB 的大小.

选修 4 一 4:坐标系与参数方程 23. (10 分) (2015 春?新乐市校级月考)在直角坐标系 xOy 中,直线 C1:x=﹣2,圆 C2: 2 2 (x﹣1) +(y﹣2) =1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ )求 C1,C2 的极坐标方程; (Ⅱ )若直线 C3 的极坐标方程为 θ= 面积. (ρ∈R) ,设 C2 与 C3 的交点为 M,N,求△ C2MN 的

选修 4 一 5:不等式选讲 24. (10 分)已知函数 f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|,a>0. (Ⅰ )当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (Ⅱ )若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.

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参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)设复数 z 满足 A.1 B. =i,则|z|=( ) C. D.2

考点: 复数求模. 专题: 计算题;数系的扩充和复数. 分析: 先化简复数,再求模即可. 解答: 解:∵ 复数 z 满足 =i,
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∴ z=i, ∴ |z|=1, 故选:A. 点评: 本题考查复数的运算,考查学生的计算能力,比较基础. 2. (5 分)sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=( A. B. ) C.

D.

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数,化简求解即可. 解答: 解:sin20°cos10°﹣cos160°sin10° =sin20°cos10°+cos20°sin10° =sin30°
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= . 故选:D. 点评: 本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用,基本知识的考查. 3. (5 分)设命题 p:?n∈N,n >2 ,则¬p 为( ) 2 n 2 n A.?n∈N,n >2 B.?n∈N,n ≤2 C.?n∈N,n2≤2n D.?n∈N,n2=2n 考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论. 2 n 解答: 解:命题的否定是:?n∈N,n ≤2 , 故选:C. 点评: 本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础. 4. (5 分)投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试.己知某同学每次投篮投 中的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( ) A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312
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2

n

考点: n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率.

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专题: 概率与统计. 分析: 判断该同学投篮投中是独立重复试验,然后求解概率即可. 解答: 解:由题意可知:同学 3 次测试满足 X∽ B(3,0.6) , 该同学通过测试的概率为 故选:A. 点评: 本题考查独立重复试验概率的求法,基本知识的考查. =0.648.

5. (5 分)已知 M(x0,y0)是双曲线 C: 若 A. <0,则 y0 的取值范围是( B. ) C.

=1 上的一点,F1,F2 是 C 的两个焦点,

D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用向量的数量积公式,结合双曲线方程,即可确定 y0 的取值范围. 2 2 2 解答: 解:由题意, =( ﹣x0,﹣y0)?(﹣ ﹣x0,﹣y0)=x0 ﹣3+y0 =3y0
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﹣1<0, 所以﹣ <y0< .

故选:A. 点评: 本题考查向量的数量积公式,考查双曲线方程,考查学生的计算能力,比较基础. 6. (5 分) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学明著,书中有如下问题:”今有委米 依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?“其意思为:”在屋内墙角处堆放米(如 图,米堆为一个圆锥的四分之一) ,米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体 积和堆放的米各为多少?“已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放 的米约有( )

A.14 斛

B.22 斛

C.36 斛

D.66 斛

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离.

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分析: 根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可. 解答: 解:设圆锥的底面半径为 r,则 ×2×3r=8, 解得 r= , ) ×5=
2

故米堆的体积为 × ×3×(



∵ 1 斛米的体积约为 1.62 立方, ∴ ÷1.62≈22,

故选:B. 点评: 本题主要考查椎体的体积的计算,比较基础.

7. (5 分)设 D 为△ ABC 所在平面内一点, A. C. B. D.

,则(



考点: 平行向量与共线向量. 专题: 平面向量及应用. 分析: 将向量 利用向量的三角形法则首先表示为
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,然后结合已知表示为

的形式. 解答: 解:由已知得到如图 由 故选:A. = = = ;

点评: 本题考查了向量的三角形法则的运用;关键是想法将向量

表示为



8. (5 分) 函数 f (x) =cos (ωx+?) 的部分图象如图所示, 则f (x ) 的单调递减区间为 (



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A. (kπ﹣ ,kπ+ , ) ,k∈z C. (k﹣ ,k+ ) ,k∈z

B.

(2kπ﹣ ,2kπ+ ) ,k∈z ,2k+ ) ,k∈z

D. (

考点: 余弦函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ,可得 f(x)的解析式,再根据余弦函数的单调 性,求得 f(x)的减区间. 解答: 解:由函数 f(x)=cos(ωx+?)的部分图象,可得函数的周期为 =2( ﹣ )=2,
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∴ ω=π,f(x)=cos(πx+? ) . 再根据函数的图象以及五点法作图, 可得 由 2kπ≤πx+ +? = , k∈z, 即? = , ( f x) =cos (πx+ ) . ,

≤2kπ+π,求得 2k﹣ ≤x≤2k+ ,故 f(x)的单调递减区间为(

2k+ ) ,k∈z, 故选:D. 点评: 本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,由周期求出 ω,由五点 法作图求出 φ 的值;还考查了余弦函数的单调性,属于基础题. 9. (5 分)执行如图的程序框图,如果输入的 t=0.01,则输出的 n=( )

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A.5

B.6

C.7

D.8

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 由题意可得,算法的功能是求 S=1﹣
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≤t 时 n 的最小值,由此可得结论. ﹣ = ≤t 时 n 的最小值, >0.01,而当 n=7 时,S=1﹣ ﹣

解答: 解:由程序框图知:算法的功能是求 S=1﹣ 再根据 t=0.01,可得当 n=6 时,S=1﹣ = ≤0.01, ﹣

故输出的 n 值为 7, 故选:C. 点评: 本题考查了直到型循环结构的程序框图, 根据框图的流程判断算法的功能是解题的关 键,属于基础题. 10. (5 分) (x +x+y) 的展开式中,x y 的系数为( A.10 B.20 C.30 考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题;二项式定理. 分析: 利用展开式的通项,即可得出结论. 解答: 2 5 解: (x +x+y) 的展开式的通项为 Tr+1=
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2

5

5 2

) D.60

, = ,

令 r=2,则(x +x) 的通项为 令 6﹣k=5,则 k=1,
第 10 页(共 23 页)

2

3

∴ (x +x+y) 的展开式中,x y 的系数为

2

5

5 2

=30.

故选:C. 点评: 本题考查二项式定理的运用,考查学生的计算能力,确定通项是关键. 11. (5 分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三 视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16+20π,则 r=( )

A.1

B.2

C.4

D.8

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 立体几何. 分析: 通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱,计算即可. 解答: 解:由几何体三视图中的正视图和俯视图可知, 截圆柱的平面过圆柱的轴线, 该几何体是一个半球拼接半个圆柱,
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∴ 其表面积为: ×4πr + ×πr

2

2

2r×2πr+2r×2r+ ×πr =5πr +4r ,

2

2

2

又∵ 该几何体的表面积为 16+20π, 2 2 ∴ 5πr +4r =16+20π,解得 r=2, 故选:B. 点评: 本题考查由三视图求表面积问题,考查空间想象能力,注意解题方法的积累,属于中 档题. 12. (5 分)设函数 f(x)=e (2x﹣1)﹣ax+a,其中 a<l,若存在唯一的整数 x0 使得 f(x0) <0,则 a 的取值范围是( ) A. B. C. D. [ ) [ ) [ ) [ )
x

考点: 利用导数研究函数的极值;函数的零点. 专题: 创新题型;导数的综合应用. x 分析: 设 g(x)=e (2x﹣1) ,y=ax﹣a,问题转化为存在唯一的整数 x0 使得 g(x0)在直线 y=ax﹣a 的下方,求导数可得函数的极值,数形结合可得﹣a>g(0)=﹣1 且 g(﹣1)
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=﹣3e ≥﹣a﹣a,解关于 a 的不等式组可得. x 解答: 解:设 g(x)=e (2x﹣1) ,y=ax﹣a, 由题意知存在唯一的整数 x0 使得 g(x0)在直线 y=ax﹣a 的下方, x x x ∵ g′ (x)=e (2x﹣1)+2e =e (2x+1) , ∴ 当 x<﹣ 时,g′ (x)<0,当 x,>﹣ 时,g′ (x)>0,

﹣1

∴ 当 x=﹣ 时,g(x)取最小值﹣2



当 x=0 时,g(0)=﹣1,当 x=1 时,g(1)=e>0, 直线 y=ax﹣a 恒过定点(1,0)且斜率为 a, 故﹣a>g(0)=﹣1 且 g(﹣1)=﹣3e ≥﹣a﹣a,解得 故选:D
﹣1

≤a<1

点评: 本题考查导数和极值,涉及数形结合和转化的思想,属中档题. 二、填空题(本大题共有 4 小题,每小题 5 分) 13. (5 分)若函数 f(x)=xln(x+ )为偶函数.则 a= 1 .

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意可得,f(﹣x)=f(x) ,代入根据对数的运算性质即可求解 解答: 解:∵ f(x)=xln(x+ )为偶函数,
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∴ f(﹣x)=f(x) , ∴ (﹣x)ln(﹣x+ ∴ ﹣ln(﹣x+ ∴ ln(﹣x+ )=xln(x+ )=ln(x+ )+ln(x+ ) , )=0, ) ,

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∴ lna=0, ∴ a=1. 故答案为:1. 点评: 本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用,属于基础试题.

14. (5 分)一个圆经过椭圆 方程为 (x﹣ ) +y =
2 2

=1 的三个顶点.且圆心在 x 轴的正半轴上.则该圆标准 .

考点: 椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用椭圆的方程求出顶点坐标,然后求出圆心坐标,求出半径即可得到圆的方程. 解答:
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解:一个圆经过椭圆

=1 的三个顶点.且圆心在 x 轴的正半轴上.

可知椭圆的右顶点坐标(4,0) ,上下顶点坐标(0,±2) , 设圆的圆心(a,0) ,则 圆的半径为: , 所求圆的方程为: (x﹣ ) +y = 故答案为: (x﹣ ) +y =
2 2 2 2

,解得 a= ,





点评: 本题考查椭圆的简单性质的应用,圆的方程的求法,考查计算能力.

15. (5 分)若 x,y 满足约束条件

.则 的最大值为 3 .

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定 的最
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大值. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分 ABC) . 设 k= ,则 k 的几何意义为区域内的点到原点的斜率, 由图象知 OA 的斜率最大,
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,解得

,即 A(1,3) ,

则 kOA= =4, 即 的最大值为 3. 故答案为:3.

点评: 本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义以及直线的斜率,利用数形 结合的数学思想是解决此类问题的基本方法. 16. (5 分)在平面四边形 ABCD 中,∠ A=∠ B=∠ C=75°.BC=2,则 AB 的取值范围是 ( ﹣ , + ) . 考点: 三角形中的几何计算. 专题: 综合题;创新题型;解三角形. 分析: 如图所示,延长 BA,CD 交于点 E,设 AD= x,AE=
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x,DE=

x,CD=m,

求出

x+m=

+

,即可求出 AB 的取值范围.

解答: 解:如图所示,延长 BA,CD 交于点 E,则 在△ ADE 中,∠ DAE=105°,∠ ADE=45°,∠ E=30°, ∴ 设 AD= x,AE= ∵ BC=2, ∴ ( ∴ x+m)sin15°=1, x+m= + , x,DE= x,CD=m,

∴ 0<x<4, 而 AB= x+m﹣ x= + ﹣ x, ) .

∴ AB 的取值范围是( ﹣ , + 故答案为: ( ﹣ , + ) .

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点评: 本题考查求 AB 的取值范围,考查三角形中的几何计算,考查学生的计算能力,属于 中档题. 三、解答题: 17. (12 分)Sn 为数列{an}的前 n 项和,己知 an>0,an +2an=4Sn+3 (I)求{an}的通项公式: (Ⅱ )设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和.
2

考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (I)根据数列的递推关系,利用作差法即可求{an}的通项公式:
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(Ⅱ )求出 bn=

,利用裂项法即可求数列{bn}的前 n 项和.

2 2 解答: 解: (I)由 an +2an=4Sn+3,可知 an+1 +2an+1=4Sn+1+3 2 2 两式相减得 an+1 ﹣an +2(an+1﹣an)=4an+1, 2 2 即 2(an+1+an)=an+1 ﹣an =(an+1+an) (an+1﹣an) , ∵ an>0,∴ an+1﹣an=2, 2 ∵ a1 +2a1=4a1+3, ∴ a1=﹣1(舍)或 a1=3, 则{an}是首项为 3,公差 d=2 的等差数列, ∴ {an}的通项公式 an=2n+1: (Ⅱ )∵ an=2n+1,

∴ bn=

=

= (

﹣ +…+

) , ﹣ )= ( ﹣ )

∴ 数列{bn}的前 n 项和 Tn= ( ﹣ = .

点评: 本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算,利用裂项法是解决本题的关键. 18. (12 分)如图,四边形 ABCD 为菱形,∠ ABC=120°,E,F 是平面 ABCD 同一侧的两点, BE 丄平面 ABCD,DF 丄平面 ABCD,BE=2DF,AE 丄 EC. (Ⅰ )证明:平面 AEC 丄平面 AFC (Ⅱ )求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值.
第 15 页(共 23 页)

考点: 异面直线及其所成的角;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角;空间向量及应用. 分析: (Ⅰ )连接 BD,设 BD∩ AC=G,连接 EG、EF、FG,运用线面垂直的判定定理得到 EG⊥ 平面 AFC,再由面面垂直的判定定理,即可得到; (Ⅱ )以 G 为坐标原点,分别以 GB,GC 为 x 轴,y 轴,|GB|为单位长度,建立空间 直角坐标系 G﹣xyz,求得 A,E,F,C 的坐标,运用向量的数量积的定义,计算即 可得到所求角的余弦值. 解答: 解: (Ⅰ )连接 BD, 设 BD∩ AC=G, 连接 EG、EF、FG, 在菱形 ABCD 中, 不妨设 BG=1, 由∠ ABC=120°, 可得 AG=GC= , BE⊥ 平面 ABCD,AB=BC=2, 可知 AE=EC,又 AE⊥ EC, 所以 EG= ,且 EG⊥ AC,
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在直角△ EBG 中,可得 BE=

,故 DF= ,



在直角三角形 FDG 中,可得 FG=

在直角梯形 BDFE 中,由 BD=2,BE=
2 2 2

,FD=

,可得 EF=



从而 EG +FG =EF ,则 EG⊥ FG, AC∩ FG=G,可得 EG⊥ 平面 AFC, 由 EG?平面 AEC,所以平面 AEC⊥ 平面 AFC; (Ⅱ )如图,以 G 为坐标原点,分别以 GB,GC 为 x 轴,y 轴,|GB|为单位长度, 建立空间直角坐标系 G﹣xyz,由(Ⅰ )可得 A(0,﹣ ,0) ,E(1,0, ) , F(﹣1,0, 即有 =(1, ) ,C(0, , ) , ,0) , =(﹣1,﹣ , ) ,

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故 cos<



>=

=

=﹣



则有直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为



点评: 本题考查空间直线和平面的位置关系和空间角的求法, 主要考查面面垂直的判定定理 和异面直线所成的角的求法:向量法,考查运算能力,属于中档题. 19. (12 分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千 元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

(xi﹣ )

2

(wi﹣ )

2

(xi﹣ ) (yi

(wi﹣ ) (yi

﹣ ) 46.6 563 6.8
1,

﹣ ) 108.8

289.8

1.6

1469

表中 wi=

=

(Ⅰ )根据散点图判断,y=a+bx 与 y=c+d 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的 回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
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(Ⅱ )根据(Ⅰ )的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ )以知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y﹣x.根据(Ⅱ )的结果回答下列问题: (i)年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii)年宣传费 x 为何值时,年利率的预报值最大? 附:对于一组数据(u1 v1) , (u2 v2)…..(un vn) ,其回归线 v=α+βu 的斜率和截距的最小二

乘估计分别为:

=



= ﹣



考点: 线性回归方程. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ )根据散点图,即可判断出, (Ⅱ )先建立中间量 w= ,建立 y 关于 w 的线性回归方程,根据公式求出 w,问题 得以解决; (Ⅲ ) (i)年宣传费 x=49 时,代入到回归方程,计算即可, (ii)求出预报值得方程,根据函数的性质,即可求出. 解答: 解: (Ⅰ )由散点图可以判断,y=c+d 适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方 程类型;
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(Ⅱ )令 w= = ﹣

,先建立 y 关于 w 的线性回归方程,由于 =

=68,

=563﹣68×6.8=100.6,

所以 y 关于 w 的线性回归方程为 =100.6+68w, 因此 y 关于 x 的回归方程为 =100.6+68 , =576.6,

(Ⅲ ) (i)由(Ⅱ )知,当 x=49 时,年销售量 y 的预报值 =100.6+68 年利润 z 的预报值 =576.6×0.2﹣49=66.32, (ii)根据(Ⅱ )的结果可知,年利润 z 的预报值 =0.2(100.6+68 x+13.6 当 = +20.12, =6.8 时,年利润的预报值最大.

)﹣x=﹣

点评: 本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题,准确的计算是本题的关键,属于中档 题.

20. (12 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C:y=

与直线 l:y=kx+a(a>0)交于 M,N 两

点. (Ⅰ )当 k=0 时,分別求 C 在点 M 和 N 处的切线方程.
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(Ⅱ )y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有∠ OPM=∠ OPN?(说明理由) 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 创新题型;导数的综合应用. 分析: (I)联立

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,可得交点 M,N 的坐标,由曲线 C:y=

,利用导数的运算法则

可得:y′ = ,利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程. (II)存在符合条件的点(0,﹣a) ,设 P(0,b)满足∠ OPM=∠ OPN.M(x1,y1) , N(x2,y2) ,直线 PM,PN 的斜率分别为:k1,k2.直线方程与抛物线方程联立化为 2 x ﹣4kx﹣4a=0,利用根与系数的关系、斜率计算公式可得 k1+k2= 解答: 解: (I)联立 ,不妨取 M ,N , . k1+k2=0?直线 PM, PN 的倾斜角互补?∠ OPM=∠ OPN. 即可证明.

由曲线 C:y=

可得:y′ = , = ,其切线方程为:y﹣a= ,

∴ 曲线 C 在 M 点处的切线斜率为

化为 . 同理可得曲线 C 在点 N 处的切线方程为: . (II)存在符合条件的点(0,﹣a) ,下面给出证明: 设 P(0,b)满足∠ OPM=∠ OPN.M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,直线 PM,PN 的斜率分 别为:k1,k2. 联立 ,化为 x ﹣4kx﹣4a=0,
2

∴ x1+x2=4k,x1x2=﹣4a. ∴ k1+k2= + = = .

当 b=﹣a 时,k1+k2=0,直线 PM,PN 的倾斜角互补, ∴ ∠ OPM=∠ OPN. ∴ 点 P(0,﹣a)符合条件. 点评: 本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相交 问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式,考查了推理能力与计算能 力,属于难题.

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21. (12 分)已知函数 f(x)=x +ax+ ,g(x)=﹣lnx (i)当 a 为何值时,x 轴为曲线 y=f(x)的切线; (ii)用 min {m,n }表示 m,n 中的最小值,设函数 h(x)=min { f(x) ,g(x)}(x>0) , 讨论 h(x)零点的个数. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 创新题型;导数的综合应用. 2 分析: (i)f′ (x)=3x +a.设曲线 y=f(x)与 x 轴相切于点 P(x0,0) ,则 f(x0)=0,f′ (x0)=0 解出即可. (ii)对 x 分类讨论:当 x∈(1,+∞)时,g(x)=﹣lnx<0,可得函数 h(x)=min { f (x) ,g(x)}≤g(x)<0,即可得出零点的个数.
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3

当 x=1 时,对 a 分类讨论:a≥﹣ ,a<﹣ ,即可得出零点的个数; 当 x∈(0,1)时,g(x)=﹣lnx>0,因此只考虑 f(x)在(0,1)内的零点个数即 可.对 a 分类讨论:① 当 a≤﹣3 或 a≥0 时,② 当﹣3<a<0 时,利用导数研究其单调性 极值即可得出. 2 解答: 解: (i)f′ (x)=3x +a. 设曲线 y=f(x)与 x 轴相切于点 P(x0,0) ,则 f(x0)=0,f′ (x0)=0,



,解得

,a=



因此当 a=﹣ 时,x 轴为曲线 y=f(x)的切线; (ii)当 x∈(1,+∞)时,g(x)=﹣lnx<0, ∴ 函数 h(x)=min { f(x) ,g(x)}≤g(x)<0, 故 h(x)在 x∈(1,+∞)时无零点. 当 x=1 时,若 a≥﹣ ,则 f(1)=a+ ≥0, ∴ h(x)=min { f(1) ,g(1)}=g(1)=0,故 x=1 是函数 h(x)的一个零点; 若 a<﹣ ,则 f(1)=a+ <0,∴ h(x)=min { f(1) ,g(1)}=f(1)<0,故 x=1 不是函数 h(x)的零点; 当 x∈(0,1)时,g(x)=﹣lnx>0,因此只考虑 f(x)在(0,1)内的零点个数即 可. 2 ① 当 a≤﹣3 或 a≥0 时,f′ (x)=3x +a 在(0,1)内无零点,因此 f(x)在区间(0,1) 内单调, 而 f(0)= ,f(1)=a+ ,∴ 当 a≤﹣3 时,函数 f(x)在区间(0,1)内有一个零点, 当 a≥0 时,函数 f(x)在区间(0,1)内没有零点. ② 当﹣3<a<0 时,函数 f(x)在 内单调递减,在 内单

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调递增,故当 x= 若 若 若 ∴ 当

时,f(x)取得最小值

=



>0,即

,则 f(x)在(0,1)内无零点.

=0,即 a=﹣ ,则 f(x)在(0,1)内有唯一零点. <0,即 ,由 f(0)= ,f(1)=a+ , 时,f(x)

时,f(x)在(0,1)内有两个零点.当﹣3<a

在(0,1)内有一个零点. 综上可得:当 当 a= 当 或 或 a< 时,h(x)有一个零点;

时,h(x)有两个零点; 时,函数 h(x)有三个零点.

点评: 本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数 的单调性极值,考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力,属于难题. 选修 4 一 1:几何证明选讲 22. (10 分)如图,AB 是⊙ O 的直径,AC 是⊙ O 的切线,BC 交⊙ O 于点 E. (Ⅰ )若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是⊙ O 的切线; (Ⅱ )若 OA= CE,求∠ ACB 的大小.

考点: 圆的切线的判定定理的证明. 专题: 直线与圆. 分析: (Ⅰ )连接 AE 和 OE,由三角形和圆的知识易得∠ OED=90°,可得 DE 是⊙ O 的切线;
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(Ⅱ )设 CE=1,AE=x,由射影定理可得关于 x 的方程 x = 值,可得所求角度.

2

,解方程可得 x

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解答: 解: (Ⅰ )连接 AE,由已知得 AE⊥ BC,AC⊥ AB, 在 RT△ ABC 中,由已知可得 DE=DC,∴ ∠ DEC=∠ DCE, 连接 OE,则∠ OBE=∠ OEB, 又∠ ACB+∠ ABC=90°,∴ ∠ DEC+∠ OEB=90°, ∴ ∠ OED=90°,∴ DE 是⊙ O 的切线; (Ⅱ )设 CE=1,AE=x, 由已知得 AB=2 ,BE=
2



由射影定理可得 AE =CE?BE, ∴ x= 解方程可得 x= ∴ ∠ ACB=60° 点评: 本题考查圆的切线的判定,涉及射影定理和三角形的知识,属基础题. 选修 4 一 4:坐标系与参数方程 23. (10 分) (2015 春?新乐市校级月考)在直角坐标系 xOy 中,直线 C1:x=﹣2,圆 C2: 2 2 (x﹣1) +(y﹣2) =1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ )求 C1,C2 的极坐标方程; (Ⅱ )若直线 C3 的极坐标方程为 θ= 面积. 考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (Ⅰ )由条件根据 x=ρcosθ,y=ρsinθ 求得 C1,C2 的极坐标方程. 2 (Ⅱ )把直线 C3 的极坐标方程代入 ρ ﹣3 ρ+4=0,求得 ρ1 和 ρ2 的值,结合圆的半
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2

,即 x +x ﹣12=0,

4

2

(ρ∈R) ,设 C2 与 C3 的交点为 M,N,求△ C2MN 的

径可得 C2M⊥ C2N,从而求得△ C2MN 的面积 ?C2M?C2N 的值. 解答: 解: (Ⅰ )由于 x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴ C1:x=﹣2 的极坐标方程为 ρcosθ=﹣2, 2 2 2 2 故 C2: (x﹣1) +(y﹣2) =1 的极坐标方程为: (ρcosθ﹣1) +(ρsinθ﹣2) =1,化 2 简可得 ρ ﹣3 ρ+4=0. (Ⅱ ) 把直线 C3 的极坐标方程 θ= (ρ∈R) 代入 ρ ﹣3 ∴ |MN|=ρ1﹣ρ2= ?C2M?C2N= . 点评: 本题主要考查简单曲线的极坐标方程,点的极坐标的定义,属于基础题. 选修 4 一 5:不等式选讲 24. (10 分)已知函数 f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|,a>0. (Ⅰ )当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (Ⅱ )若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.
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2

ρ+4=0, 求得 ρ1=2

, ρ2=



,由于圆 C2 的半径为 1,∴ C2M⊥ C2N,△ C2MN 的面积为

考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ )当 a=1 时,把原不等式去掉绝对值,转化为与之等价的三个不等式组,分别求 得每个不等式组的解集,再取并集,即得所求. (Ⅱ )化简函数 f(x)的解析式,求得 它的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点的坐标,从而求得 f(x)的图象与 x 轴围成 的三角形面积;再根据 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6,从而求得 a 的 取值范围. 解答: 解: (Ⅰ ) 当 a=1 时, 不等式 ( f x) >1, 即|x+1|﹣2|x﹣1|>1, 即
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① ,或

② ,或

③ .

解① 求得 x∈?,解② 求得 <x<1,解③ 求得 1≤x<2. 综上可得,原不等式的解集为( ,2) .

(Ⅱ )函数 f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|=



由此求得 f(x)的图象与 x 轴的交点 A (

,0) ,B(2a+1,0) ,

故 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的第三个顶点 C(a,a+1) ,由△ ABC 的面积大于 6, 可得 [2a+1﹣ ]?(a+1)>6,求得 a>2.

故要求的 a 的范围为(2,+∞) . 点评: 本题主要考查绝对值不等式的解法, 体现了转化、 分类讨论的数学思想, 属于中档题.

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