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河南省商丘市2015年高三第二次模拟考试 文科数学试题

河南省商丘市 2015 年高三第二次模拟考试 文科数学试题
本试卷分试题卷和答题卡两部分。试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题), 共 4 页;答题卡共 6 页。满分为 150 分,考试时间为 120 分钟。考生作答时,请按要求把答 案涂、写在答题卡规定的范围内,超出答题框或答在试题卷上的答案无效。考试结束只交答 题卡。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 (1)已知 R 为实数集,集合 A ? ?x | 2 x ? 3 ? 3x?, B ? ?x | x ? 2? ,则 A ? B ? (A) ?x | x ? 2? (B) ?x | x ? ?3? (C) ?x | 2 ? x ? 3? (D)R 有一项是符合题目要求的)

2 2 (2)已知 (1 ? ) ? a ? bi ( a, b ? R, i 为虚数单位) ,则 a ? b ? i (A) ?7 (B) 7 (C) ?4 (D) 4

?x ? 2 y ? 1 , ? (3)已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? y ? 1 ? 0, ?
(A) ?3
x

(B) 0

(C) 1

(D) 3

?2? 2 (4)若 a ? ? ? , b ? x , c ? log 2 x ,则当 x ? 1 时, a , b, c 的大小关系是 ?3? 3
(A) c ? a ? b (B) c ? b ? a (C) a ? b ? c (D) a ? c ? b (5)在 ?ABC 中,已知 BC ? 3DC ,则 AD ? (A)

2 1 AB ? AC 3 3

(B)

2 1 AB ? AC 3 3
1 2 AB ? AC 3 3

(C)

1 2 AB ? AC 3 3
x ?1

(D)

(6)已知命题 p:函数 y ? a

? 1( a ? 0 且 a ? 1 )的图象恒过

(?1, 2) 点;命题 q:已知平面 ? ∥平面 ? ,则直线 m ∥ ? 是
直线 m ∥ ? 的充要条件. 则下列命题为真命题的是 (A) p ? q (C) ?p ? q (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 (B) ? p ? ? q (D) p ? ?q

(7)某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是

(8)函数 f ? x ? ? cos ? ? x ? 图象,只

? ?

??

? ( x ?R, ? ? 0 )的最小正周期为 ? ,为了得到 f ? x ? 的 3?

需将函数 g ? x ? ? sin ? ?x ? (A)向左平移

? ?

??

? 的图象 3?
(B)向右平移

? 个单位长度 2 ? (D)向右平移 个单位长度 4 (9)在△ABC 中,已知 | AB |? 4,| AC |? 1 , S ?ABC ? 3 ,则 AB ? AC 的值为
(A) ?2 (B) 2 (C) ?4 (D) ?2 (10)在递增的等比数列 ?an ? 中,已知 a1 ? an ? 34 , a3 ? an?2 ? 64 ,且前 n 项和为

? 个单位长度 2 ? (C)向左平移 个单位长度 4

Sn ? 42 ,则 n ? (A) 3 (B) 4
的表面积大小为 (A) ? a
2

(C) 5

(D) 6

(11)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为 a ,顶点都在一个球面上,则该球 (B) ? a

7 3

2

(C)

11 2 ?a 3

(D) 5? a

2

(12)已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? b 2 x ? 1 ,若 a 是从1, 2,3 三个数中任取的一个数, 3

b 是从 0,1, 2 三个数中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为
(A)

7 9

(B)

1 3

(C)

5 9

(D)

2 3

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题-第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答。第 22 题-第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
? (13) sin ?600 的值为

(14)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 . (15)双曲线 tx ? y ? 1 ? 0 的一条渐近线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直,则双曲线的离
2 2

?

?

.

心率为
2

.
2

(16)已知圆 C : ? x ? a ? ? ? y ? a ? ? 1? a ? 0 ? 与直线 y ? 2 x 相交于 P 、Q 两点,则当

?CPQ 的面积最大时,实数 a 的值为
(17) (本小题满分 12 分)

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

(I)求数列 ?bn ?的通项公式;

已知等差数列 ?a n ?的首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 1 ,前 n 项和为 S n , bn ?

1 , Sn

(II)设数列 ?bn ?前 n 项和为 Tn ,求 Tn (18) (本小题满分 12 分) 某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周末时间 进行了一次社会实践活动,且每个小组有 5 名同学,在实践活动结 束后, 学校团委会对该班的所有同学都进行了测评, 该班的 A, B 两 个小组所有同学所得分数(百分制)的茎叶图如图所示,其中 B 组 一同学的分数已被污损, 但知道 B 组学生的平均分比 A 组学生的平 均分高 1分. (I)若在 B 组学生中随机挑选 1人,求其得分超过 85 分的概率; (II)现从 A 组这 5 名学生中随机抽取 2 名同学,设其分数分别为 m, n , 求 | m ? n |? 8 的概率. (19) (本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为菱形, ?BCD ? 120 , AB ? PC ? 2 , AP ? BP ? 2 . A (I)求证:AB⊥PC; (II)求点 D 到平面 PAC 的距离.

P

B

D

C

(20) (本小题满分 12 分)

1 x (I)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; a (II)设函数 g ( x ) ? ? .若至少存在一个 x0 ? ?1, e? ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立, x
已知函数 f ( x ) ? a ( x ? ) ? 2 ln x ( a ?R) . 求实数 a 的取值范围. (21) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成 a 2 b2

等腰直角三角形,直线 x ? y ? 1 ? 0 与以椭圆 C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半 轴长为半径的圆相切. (I)求椭圆 C 的方程; (II)设 P 为椭圆 C 上一点, 若过点 M (2, 0) 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 S 和 T ,满足 OS ?OT ?tOP ( O 为坐标原点) ,求实数 t 的取值范围. 请考生在第 22、23、24 三道题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 作答时请用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 (22) (本小题满分 10 分) 选修 4—1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 内接于⊙ O ,过点 A 作⊙ O 的切线

C
D E

EP 交 CB 的延长线于 P ,已知 ?EAD ? ?PCA . 证明: (I) AD ? AB ; 2 (II) DA ? DC ? BP .

?O
A

B P

(23) (本小题满分 10 分) 选修 4—4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处, 极轴与 x 轴的正半轴重合, 直线 l 的 极坐标方程为: ? sin(? ?

?x ? 2 ? 2 cos? , ? 1 ) ? ,曲线 C 的参数方程为: ? 6 2 ? y ? 2 sin ? .

(I)写出直线 l 的直角坐标方程; (II)求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值. (24) (本小题满分 10 分) 选修 4—5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 m? | x ? 2 | ?1 ,其解集为 [0, 4] . (I)求 m 的值; (II)若 a , b 均为正实数,且满足 a ? b ? m ,求 a ? b 的最小值.
2 2

商丘市 2015 年第二次模拟考试 高三数学(文科)参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)

BACA

CDBC

DABD
5 2
10 2

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

(13)

3 2

(14) 6? ? 4

(15)

(16)

三、解答题(共 70 分)

(17)解: (I)? 等差数列 ?a n ?中 a1 ? 1 ,公差 d ? 1 ,

? S n ? na1 ?

n?n ? 1? n2 ? n d? 2 2 .

……………………………………………5 分

? bn ?
(II)

2 n ?n.
2

………………………………………………………………6 分

bn ?

2 2 1 1 ? ? 2( ? ), n ? n n(n ? 1) n n ?1
2

…………………………………………………8 分

? 1 1 1 1 ? ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 2? ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? n?n ? 1? ? ? ? ?
1 1 ? ? 1 1 1 1 1 ? 2?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n n ? 1? ? 2 2 3 3 4
1 2n )? . n ?1 n ?1

………………………………………10 分

? 2(1 ?

…………………………………………………………………12 分

(18)解: (Ⅰ) A 组学生的平均分为
1分

94 ? 88 ? 86 ? 80 ? 77 , ? 85(分) 5

………………………

∴ B 组 学 生 平 均 分 为 86 分 , 设 被 污 损 的 分 数 为 x , 由
91 ? 9?3 ? 8x3 ? 5 75 ? 86 ,



x ? 88 , ……………………………………………………………………………………3 分
故 B 组学生的分数分别为 93,91,88,83,75, ………………………4 分 则在 B 组学生随机选 1 人所得分超过 85 分的概率 P ? 分 (Ⅱ)A 组学生的分数分别是 94,88,86,80,77, 在 A 组学生中 随机抽取 2 名同学, 其分数组成 的基本事 件 ( m, n ) 有 (94,88),(94,86),(94,80), (94,77),(88,86),(88,80),(88,77),(86,80),(86,77),(80,77) 个,……8 分 随机抽取 2 名同学的分数 m, n 满足 | m ? n |? 8 的事件有 (94,88), (94,86), (88,86), (88,80), (86,80), (80,77)共 6 个. ………… 10 分 故 学 生 得 分 m, n 满 足 | m ? n ?| ……………………………12 分 (19) (Ⅰ)证明:取 AB 的中点 O ,连接 PO, CO . ∵ AP ? BP ,∴ PO ? AB , ………1 分
8 概 率 P? 的

3 . ………………6 5



10

6 3 . ? 10 5

又四边形 ABCD 是菱形,且 ?BCD ? 120? ,

∴ V ACB 是等边三角形,∴ CO ? AB .

又 CO I PO ? O ,∴

AB ? 平面 PCO,
又 PC ? 平面PCO ,∴ AB ? PC . (II) 分

PA ? PB ? 2, AB ? 2,??APB ? 90 , ? PO ? 1 .…………………6

?ABC 是边长为 2 的正三角形,?OC ? 3, 又 PC ? 2 ,

? PO 2 ? CO 2 ? PC 2 , ? PO ? OC , 又 PO ? AB , PO ? 平 面
ABC , …………8 分
四边形 ABCD 是菱形,? B, D 到平面 PAC 的距离相等,设为 h.

S?PAC ?

1 2

2

22 ? (
1 3

3 2 2 2 7 2 ? 3. , S?ABC ? ) ? 4 2 2
1 S ?ABC PO , 3
………………………… 10

由 VB? PAC ? VP? ABC , ? S ?PAC h ? 分

?


7 2 21 h ? 3 ?1 ? , h? . ……………………………………………… 12 2 7

(20)解: (I) a ? 2 时, f ( x) ? 2( x ? ) ? 2 ln x ,? f ?( x) ? 2(1 ?


1 x

1 2 ) ? , ………1 2 x x

? f ?(1) ? 2, 又
k ? f ?(1) ? 2,

f (1) ? 0,

0 的 ) 切 线 斜 率 ? 在 点 ( 1 , 处

……………2 分

?



线







y ?2 x? (

,1

) 即

2x ? y ? ? . 2…………………………………… 0 4分
(II)

a 1 a g ( x) ? ? , f ( x) ? g ( x) ,? a ( x ? ) ? 2 ln x ? ? , x x x


?ax ? 2ln x, x ??1, e?
?a ? 2 ln x , x
……………………………………………6 分







a?(

2 x

x
m

??

?,

) i x …………………………………………… 7分

l

n
n

,

e



h( x ) ?

2 ln x 2(1 ? ln x) , h?( x) ? . x x2

……………………………………………………8 分

由 h?( x) ? 0, 得 x ? e. ? x ??1, e? 时 , h?( x ) ? 0 , ? h( x) 在 ?1, e? 上 为 增 函 数.………9 分

? h( x)min ? h(1) ? 0.
? a ? 0.


…………………………………………………………10 分

……………………………………………………………………………12

(21)解: (Ⅰ)由题意,以椭圆 C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程
2 2 2 为 ( x ? c) ? y ? a , ∴圆心到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ?

c ?1 2

? a (*)

∵椭圆 C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, ∴ b?c , a? ∴a ?

2b ? 2c ,

代 入 (*) 式 得 b ? c ? 1 ,

2b ? 2 ,
故所求椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

………………………………………4 分

(Ⅱ)由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 方程为 y ? k ( x ? 2) ,设 P ? x0 , y0 ? , 将直线方程代入椭圆方程得: 1 ? 2k ∴ ? ? 64k ? 4 1 ? 2k
4

?

2

?x

2

? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 ,

?

2

??8k

2

? 2 ? ?16k 2 ? 8 ? 0 ,∴ k 2 ?
2

?

1 . 2

设 S ?x1 , y1 ? , T ?x 2 , y 2 ? ,则 x1 ? x2 ? 由 OS ? OT ? t OP ,

8k 8k 2 ? 2 , x x ? . 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

当 t ? 0 ,直线 l 为 x 轴, P 点在椭圆上适合题意; ……………7 分

? 8k 2 tx ? x ? x ? 1 2 ? ? 0 1 ? 2k 2 当 t ? 0 ,得 ? ?ty ? y ? y ? k ( x ? x ? 4) ? ?4k 0 1 2 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?


1 ?4 k 1 8k 2 x0 ? ? , y0 ? ? .…………………………………8 分 2 t 1 ? 2k 2 t 1 ? 2k

将上式代入椭圆方程得:

32k 4 16k 2 ? ? 1, t 2 (1 ? 2k 2 ) 2 t 2 (1 ? 2k 2 ) 2

整理得: t ?
2

16k 2 1 2 ,由 k 2 ? 知, 0 ? t ? 4 ,………………10 分 2 1 ? 2k 2

所以 t ? ? ?2,0?

(0, 2) ,……………………………………………11 分
………………………………………………12 分

综上可得 t ? (?2,, 2) .

(22)解: (Ⅰ)∵ EP 与⊙ O 相切于点 A , ∴ ?EAD ? ?DCA .……………………………………2 分 又 ?EAD ? ?PCA , ∴ ?DCA ? ?PCA , ∴ AD ? AB . ……………………………………………5 分

C
D E

?O
A

B P

(Ⅱ)∵四边形 ABCD 内接于⊙ O , ∴ ?D ? ?PBA . …………………………………………6 分

又 ?DCA ? ?PCA ? ?PAB , ∴ ?ADC ∽ ?PBA .…………………………………………8 分 ∴

DA DC DA DC ? ? ,即 , BP BA BP DA
2

∴ DA ? DC ? BP . ………………………………………10 分 (23) 解: (Ⅰ) Q ? sin(? ?

?
6

)?

1 3 1 1 sin ? ? cos ? ) ? ,………………3 分 ,? ? ( 2 2 2 2

?

3 1 1 y ? x ? ,即 l : x ? 3 y ? 1 ? 0 .……………………………5 分 2 2 2

(Ⅱ)解法一:由已知可得,曲线上的点的坐标为 (2 ? 2cos ? , 2sin ? ) , 所以,曲线 C 上的点到直线 l 的距离

d?

2 ? 2 cos ? ? 2 3 sin a ? 1 2

4 cos(? ? ) ? 3 7 3 ? ? . ………10 分 2 2

?

解法二:曲线 C 为以 (2, 0) 为圆心,2 为半径的圆.圆心到直线的距离为 所以,最大距离为

3 , 2

3 7 ?2? . 2 2

………………………………10 分 ……………1 分 …………………2 分

(24) 解: (Ⅰ)不等式 m? | x ? 2 | ?1 可化为 | x ? 2 | ? m ? 1 , ∴ 1 ? m ? x ? 2 ? m ? 1 ,即 3 ? m ? x ? m ? 1 ,

∵其解集为 [0, 4] ,∴ ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 a ? b ? 3 ,

?3 ? m ? 0 , m ? 3 .………………………5 分 ?m ? 1 ? 4

(方法一:利用基本不等式) ∵ (a ? b) ? a ? b ? 2ab ? (a2 ? b2 ) ? (a2 ? b2 ) ? 2(a2 ? b2 ) ,
2 2 2

∴ a ?b ?
2 2

9 9 2 2 ,∴ a ? b 的最小值为 .………………………10 分 2 2

.

(方法二:利用柯西不等式) ∵ (a ? b ) ? (1 ? 1 ) ? (a ?1 ? b ?1) ? (a ? b) ? 9 ,
2 2 2 2 2 2

∴ a ?b ?
2 2

9 9 2 2 ,∴ a ? b 的最小值为 .……………………10 分 2 2

(方法三:消元法求二次函数的最值) ∵ a ? b ? 3 ,∴ b ? 3 ? a , ∴ a ? b ? a ? (3 ? a ) ? 2a ? 6a ? 9 ? 2(a ? ) ?
2 2 2 2 2 2

3 2

9 9 ? , 2 2

∴ a ? b 的最小值为
2 2

9 . 2

……………………………10 分


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