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2018版高中数学第二章函数2.1.4函数的奇偶性课件新人教B版必修1


第二章 §2.1 函 数 2.1.4 函数的奇偶性 学习目标 1.理解函数奇偶性的定义. 2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法. 3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 函数奇偶性的定义 思考1 为什么不直接用图象关于y轴(原点)对称来定义函数的奇偶性? 答案 因为很多函数图象我们不知道,即使画出来,细微之处 是否对称也难以精确判断. 答案 思考2 利用点对称来刻画图象对称有什么好处? 答案 好处有两点:(1)等价:只要所有点均关于y轴(原点)对称, 则图象关于y轴(原点)对称,反之亦然. (2)可操作:要判断点是否关于y轴(原点)对称,只要代入解析式 验证即可,不知道函数图象也能操作. 答案 梳理 奇、偶函数的概念 偶函数 定 条件 义 奇函数 对于函数f(x)的定义域D内任意一个x,都有-x∈D f(-x)=____ f(x) -f(x) f(-x)=_____ 结论 函数f(x)叫做偶函数 函数f(x)叫做奇函数 知识点二 奇(偶)函数的定义域特征 思考 如果一个函数 f(x) 的定义域是 ( - 1,1] ,那么这个函数 f(x) 还具有 奇偶性吗? 答案 由函数奇偶性定义,对于定义域内任一元素x,其相反数 -x必须也在定义域内,才能进一步判断f(-x)与f(x)的关系.而本 问题中, 1∈( - 1,1] ,- 1 ? ( - 1,1], f( - 1) 无定义,自然也谈不 上是否与f(1)相等了.所以该函数既非奇函数,也非偶函数. 答案 梳理 在奇函数和偶函数的定义中,都要求x∈D,-x∈D,这就是说,一个 函数不论是奇函数还是偶函数,它的定义域都一定关于原点对称,因 而判断函数奇偶性要注意定义域优先原则,即首先要看定义域是否关 于 原点 对称. 知识点三 函数奇偶性的几何特征 思考 下列函数图象中,关于y轴对称的有哪些?关于原点对称的呢? 答案 ①②关于y轴对称,③④关于原点对称. 答案 梳理 奇、偶函数的图象特征 (1)如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以 坐标原点为 对称 中心的中心对称图形;反之,如果一个函数的图象是以 坐标原点 为 对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数. (2)如果一个函数是偶函数,则这个函数的图象是以 y轴 为对称轴的 轴对称图形;反之,如果一个函数的图象关于 y轴 对称,则这个函 数是偶函数. 题型探究 类型一 判断函数的奇偶性 命题角度1 已知函数解析式,证明奇偶性 3 2 x - x 例1 (1)证明f(x)= 既非奇函数又非偶函数; x-1 证明 因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1}, ∴对于定义域内的-1,其相反数1不在定义域内, x3-x2 故f(x)= 既非奇函数又非偶函数. x-1 证明 (2)证明f(x)=(x+1)(x-1)是偶函数; 证明 函数的定义域为R,因函数f(x)=(x+1)(x-1)=x2-1, 又因f(-x)=(-x)2-1=x2-1=f(x),所以函数为偶函数. 证明 (3)证明f(x)= 1-x2+ x2-1 既是奇函数又是偶函数. 证明 定义域为{-1,1},因为对定义域内的每一个x,都有f(x)=0, 所以f(-x)=f(x), 故函数 f(x)= 1-x + x -1为偶函数.又 f(-x)=-f(x), 2 2 故函数 f(x)= 1-x2+ x2

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