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2013年全国高中数学联赛陕西赛区预赛


2 0

1



年燊 為

年全 国 高中 数 学联 赛 陕 西 赛 区 预 赛
中 田分 类 号


文 献 标识 码



文章编号









分 共


若对任 意 的








填空 题 每小 题










是 两个 非 空 的 有 限 集 全 集








的 最 大值 是
























巳 知 三个 内 角
、 、


所 对 的 边分别 为

且满 足














已 知 函数


则上




在直 角 坐 标 系 吻 中 已 知 三 点


若 泣与

在 涼方 向 上 的 射 影 相 同 则



二、

函数 函数

的 最小 正 周 期



力 的 单 调递 增 区 间


在正 三 棱 锥 底 面所 成 的 角 为
的 余弦 值 为
°





已 知侧 棱 与

分 设不 经 过坐 标原 点
交 于不 同 的 两 点
的斜 率 是 直 线


的直

则 相 邻 两 侧 面所 成 角

线 与圆



直线
之和




斜率 的等
的直


已 知 三个 互 不相 等 的 整 数

比 中 项 求厶



面积


的取 值 范 围


介于




之间 若






依 次 构成 公 差


分 如图

是半 圆

的 等差 数列





依次构成





是半 圆 弧 的 中 点
与半 圆







延 长线 上

公比 为

的等 比 数列 则 而


切 于点

的角平


设点
上运 动 线 段




分别在 直线
的 中点为

分 线 分别 与
、 、

交于 点


证明 线段


可 以 组成

个 直角 三 角 形















的 取 值范 围 是






个 圆 上 随机 取 三 点 则 以 此 三 点

为顶 点 的 三 角 形 是 锐 角 三 角 形 的 概 率 为

、 (





已知










个位 数 字 为

曲线

3 0


中 等 数 学

曲线



直线
曲线



与曲线





分 别 交于 点
曲线
(:



如图 长为



设正 三棱锥
的 中点

的底 面边

在点

处的切线为







处 的 切线 为
证 明 直线





必相交 且交 点 到
的 交 点为 的 取值 范 围
… ,


直线



的 距 离 为 定值



直线 分 设







若 是

为钝角 三 角 形 求
、 (

平 面上 的
不 小于
证明

个点 且 任 意 两 点 间 的 距 离 均



的角 即


为侧棱
尸邙


与底面

所成

参 考 答 案



过点








于点

对 称性 知 丄
为 侧面 与










所成 的角

注 意到



在 等腰



由 韦恩 图 知



题设及 正 弦 定 理得

在△















解法

向量



方 向 上 的射 影

分别 为 依 题 意得
即 因为

所以 乂



解法


因 为向量






方向上

的 射 影相 同 所 以 仙 丄







2 0

1

3

年 第 衣期



若厶
解法


为 锐角 三 角 形 则


、;

满足













这 个 不 等式 组 表 示 图
两 式相 加 得

中的




域 不含 边界







其中



分别为

的 中 点 其 面积 为


故 所求 概 率为





于是



土在










“、

为 正 整 数 于是



单调 递增



解法





解法


知点

在 射线




上 其中 点 似





因为



表示射线


上 的点 与 原点

连 线 的斜 率 所 以

在 式① 中 令
, ,











代 入 上式 得




不 妨设
内 接三 角 形


是半径为


的 圆 的任



所 对 的 弧 长 分别 为 无






代 人上 式 得




同理



若 存 在 正 整 数 人 使得


这 个 不 等式 组 表 示 图

中的△










域 不 含边 界





其 面 积为

则 财专


时 均有

卢 七


上 式 等号 成 立




若对 任 意 的 正 整 数 则要么
… ,

要么







对 以 上两 种 情形均 有


从而


综上



的 最 大 值为

3 2


中 等 数 学








所以









、 (

注 意到





七—








『:




















因 此 式 ① 等 号 不 成立

函数

幻 的单 调 递 增 区 间 为

左丌


三 证法


面积 如图

的 取值 范 围 是



设直 线





与 半圆

交于



两点 联 结












代入













由之






















°

°


因为


所以


°











所以
同理








四点 共 圆 四 点共圆


解得











±

又圆心


到 直线


的 距 离为




平分






因为








2 0

1

3

年第


°

所以 乂

°

联 立求 得交 点坐 标 为
故点
到 直线 的 距离 为


即 线段



可组 成



直角 三 角形


定值



证法

如图


联结





分别 与


° 。

交 于点

尺』

联结











则葙


, ,











°






°








因为

所以




益庙







于是

均为锐 角
为 钝角


所以



四 点共 圆

从而





以 下 同 证法 四
、 (



注意 到

















的 取值 范 围为




五 、 令 点集
°
°



知、

所 以 直线





则当 时




必相 交





其中





示 不超过 实 数

财 的 最 大整 数

3 4


中 等 数 学



、 则以点


为圆心 的 圆盘











互 不 相交 且 均包 含 在 以 点


为 圆 心 的圆环


内 因此










叫士


















所以 肖


时 有

















不 等 式 也 成立

综上 对任 意 的




均有








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号 《 中等 数学》编辑部

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