当前位置:首页 >> >>

北京市西城区2012高三一模数学理科试卷及答案

北京市西城区 2012 年高三一模试卷



学(理科)
共 40 分)

2012.4

第Ⅰ卷(选择题

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求 的一项. 1.已知全集 U = R ,集合 A = {x | (A) (0,1) (C) ( ?∞, 0] U (1, +∞ )

1 ≥ 1} ,则 ?U A = ( x



(B) (0,1] (D) ( ?∞, 0) U [1, +∞)

2.执行如图所示的程序框图,若输入 x = 2 ,则输出 y 的 值为( (A) 2 (B) 5 (C) 11 (D) 23 )

? x + y ≥ 0, ? 3.若实数 x , y 满足条件 ? x ? y + 3 ≥ 0, 则 2 x ? y 的最大值为( ?0 ≤ x ≤ 3, ?
(A) 9 (B) 3 (C) 0



(D) ?3

4.已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等,体积为 12 3 cm3 . 其三视图中的俯视图如图所示,则其左视图的面积是( (A) 4 3 cm 2 (B) 2 3 cm 2 (C) 8 cm 2 ) (D) 4 cm 2

5.已知函数 f ( x) = sin 4 ω x ? cos 4 ω x 的最小正周期是 π ,那么正数 ω = ( (A) 2 (B) 1 (C)



1 2

(D)

1 4

第 1 页 共 12 页

6.若 a = log 2 3 , b = log 3 2 , c = log 4 6 ,则下列结论正确的是( (A) b < a < c (C) c < b < a (B) a < b < c (D) b < c < a



7. 设等比数列 {an } 的各项均为正数, 公比为 q , n 项和为 Sn . 前 若对 ?n ∈ N , S 2 n < 3S n , 有
*

则 q 的取值范围是( (A) (0,1]

) (B) (0, 2) (C) [1, 2) (D) (0, 2)

8.已知集合 A = {x | x = a0 + a1 × 3 + a2 × 3 + a3 × 3 } ,其中 ak ∈ {0,1, 2} ( k = 0,1, 2, 3) ,
2 3

且 a3 ≠ 0 .则 A 中所有元素之和等于( (A) 3240 (B) 3120

) (C) 2997 (D) 2889

第 2 页 共 12 页

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

共 110 分)

9. 某年级 120 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒

14 15 与 18 秒之间.将测试结果分成 5 组: [13 , ) , [14 , ) , [15 , ) , [16 , ) , [17 , ,得到如图所示的频率分 16 17 18]
布直方图.如果从左到右的 5 个小矩形的面积之比为

1: 3 : 7 : 6 : 3 ,那么成绩在 [16,18] 的学生人数是_____.

10. ( x ? 2) 6 的展开式中, x 的系数是_____. (用数字作答)
3

B
11. 如图, AC 为⊙ O 的直径, OB ⊥ AC ,弦 BN 交 AC 于点 M .若 OC =

3 , OM = 1 ,则 MN = _____.

C

M O N

A

12. 在极坐标系中,极点到直线 l : ρ sin(θ +

π ) = 2 的距离是_____. 4

? 1 0 ≤ x ≤ c, ?x2 , 13. 已知函数 f ( x) = ? 其中 c > 0 .那么 f ( x ) 的零点是_____;若 f ( x ) 的 2 ? x + x, ? 2 ≤ x < 0, ? 1 值域是 [ ? , 2] ,则 c 的取值范围是_____. 4
3 x ( x ≥ 0) 和 y = ? 3 x ( x ≥ 0) 上运 3

14. 在直角坐标系 xOy 中,动点 A , B 分别在射线 y =

动,且△ OAB 的面积为 1 .则点 A , B 的横坐标之积为_____;△ OAB 周长的最小值是 _____.

第 3 页 共 12 页

三、解答题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分) 在△ ABC 中,已知 sin( A + B ) = sin B + sin( A ? B ) . (Ⅰ)求角 A ; (Ⅱ)若 | BC | = 7 , AB ? AC = 20 ,求 | AB + AC | .

uuu r

uuu uuur r

16.(本小题满分 13 分) 乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用 7 局 4 胜制(即先胜 4 局者获胜,比 赛结束) ,假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同. (Ⅰ)求甲以 4 比 1 获胜的概率; (Ⅱ)求乙获胜且比赛局数多于 5 局的概率; (Ⅲ)求比赛局数的分布列.

17. (本小题满分 14 分) 如图,四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形, ∠DAB = ∠DBF = 60° ,且 FA = FC . (Ⅰ)求证: AC ⊥ 平面 BDEF ;
E

(Ⅱ)求证: FC ∥平面 EAD ; (Ⅲ)求二面角 A ? FC ? B 的余弦值.
D A

F

C

B

18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) = e ? ( + a + 1) ,其中 a ≥ ?1 .
ax

a x

(Ⅰ)当 a = 1 时,求曲线 y = f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f (x ) 的单调区间.

第 4 页 共 12 页

19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 5 + 2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为 ,定点 M (2, 0) ,椭圆短轴的端点是 2 a b 3

B1 , B2 ,且 MB1 ⊥ MB2 .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设过点 M 且斜率不为 0 的直线交椭圆 C 于 A ,B 两点.试问 x 轴上是否存在定点 P , 使 PM 平分 ∠APB ?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

20.(本小题满分 13 分) 对于数列 An : a1 , a2 , L , an (ai ∈ N, i = 1, 2, L , n) ,定义“ T 变换” T 将数列 An 变换成数 : 列 Bn : b1 , b2 , L , bn ,其中 bi = | ai ? ai +1 | (i = 1, 2, L , n ? 1) ,且 bn = | an ? a1 | ,这种“ T 变换” 记作 Bn = T ( An ) .继续对数列 Bn 进行“ T 变换” ,得到数列 Cn ,…,依此类推,当得到的数列 各项均为 0 时变换结束. (Ⅰ)试问 A3 : 4, 2,8 和 A4 :1, 4, 2,9 经过不断的“ T 变换”能否结束?若能,请依次写出经 过“ T 变换”得到的各数列;若不能,说明理由; (Ⅱ)求 A3 : a1 , a2 , a3 经过有限次“ T 变换”后能够结束的充要条件; (Ⅲ)证明: A4 : a1 , a2 , a3 , a4 一定能经过有限次“ T 变换”后结束.

第 5 页 共 12 页

北京市西城区 2012 年高三一模试卷

数学(理科)参考答案及评分标准 (理科)
2012.4 小题, 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 选择题: 1. C; 2. D; 3. A; 4.A; 5. B; 6. D; 7. A; 8. D .

小题, 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 填空题: 9. 54 ; 10. ?160 ; 12. 2 ; 13. ?1 和 0 , (0, 4] ;

11. 1 ; 14.

3 , 2(1 + 2) . 2

注:13 题、14 题第一问 2 分,第二问 3 分.

小题, 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答题: 15.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:原式可化为 sin B = sin( A + B ) ? sin( A ? B ) = 2 cos A sin B . 因为 B ∈ (0, π ) , 所以 cos A = 所以 sin B > 0 , ………………5 分 ………………3 分

1 . 2

π . ………………6 分 3 uuu r uuu r uuur uuu uuur r (Ⅱ)解:由余弦定理,得 | BC |2 = | AB |2 + | AC |2 ? 2| AB || AC | ? cos A .………………8 分
因为 A∈ (0, π ) , 所以 A = 因为 | BC |= 7 , AB ? AC = | AB || AC | ? cos A = 20 , 所以 | AB |2 + | AC |2 = 89 . 因为 | AB + AC |2 = | AB |2 + | AC |2 + 2 AB ? AC = 129 , 所以 | AB + AC | = 129 . 16.(本小题满分 13 分)

uuu r

uuu uuur r

uuu uuur r

uuu r

uuur

………………10 分

uuu uuur r uuu uuur r

uuu r

uuur

uuu uuur r

………………12 分

………………13 分

第 6 页 共 12 页

(Ⅰ)解:由已知,甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是 记“甲以 4 比 1 获胜”为事件 A ,

1 . ………………1 分 2

1 1 = . 2 8 (Ⅱ)解:记“乙获胜且比赛局数多于 5 局”为事件 B . 5 3 1 3 1 5 ?3 1 因为,乙以 4 比 2 获胜的概率为 P = C5 ( ) ( ) = , 1 2 2 2 32 5 3 1 3 1 6 ?3 1 = , 乙以 4 比 3 获胜的概率为 P2 = C 6 ( ) ( ) 2 2 2 32 5 所以 P ( B ) = P + P2 = . 1 16
则 P ( A) = C 4 ( ) ( )
3 3 4 ?3

1 2

1 2

………………4 分

………………6 分

………………7 分

………………8 分

(Ⅲ)解:设比赛的局数为 X ,则 X 的可能取值为 4, 5, 6, 7 .

1 1 P ( X = 4) = 2C4 ( ) 4 = , 4 2 8 1 1 1 1 P ( X = 5) = 2C3 ( )3 ( ) 4?3 = , 4 2 2 2 4 1 1 1 5 P ( X = 6) = 2C3 ( )3 ( )5? 2 ? = , 5 2 2 2 16 1 3 1 6 ?3 1 5 P ( X = 7) = 2C3 ( ) ( ) ? = . 6 2 2 2 16
比赛局数的分布列为:

………………9 分

………………10 分

………………11 分

………………12 分

X P

4 1 8

5 1 4

6 5 16

7 5 16
………………13 分

17.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:设 AC 与 BD 相交于点 O ,连结 FO . 因为 四边形 ABCD 为菱形,所以 AC ⊥ BD , 且 O 为 AC 中点. ………………1 分

又 FA = FC ,所以 AC ⊥ FO . ………3 分 因为 FO I BD = O , 所以 AC ⊥ 平面 BDEF . ………………4 分 (Ⅱ)证明:因为四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形, 所以 AD // BC , DE // BF , 所以 平面 FBC //平面 EAD . 又 FC ? 平面 FBC , ………………7 分

第 7 页 共 12 页

所以 FC // 平面 EAD .

………………8 分

(Ⅲ)解:因为四边形 BDEF 为菱形,且 ∠DBF = 60° ,所以△ DBF 为等边三角形. 因为 O 为 BD 中点,所以 FO ⊥ BD ,故 FO ⊥ 平面 ABCD . 由 OA, OB, OF 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz . ………………9 分 设 AB = 2 .因为四边形 ABCD 为菱形, ∠DAB = 60° ,则 BD = 2 ,所以 OB = 1 ,

OA = OF = 3 .
所以 O (0,0,0), A( 3 ,0,0), B (0,1,0), C ( ? 3 ,0,0), F (0,0, 3 ) . 所以 CF = ( 3, 0, 3) , CB = ( 3,1, 0) .

uuu r

uuu r

uuu r ?n ? CF = 0, ? 设平面 BFC 的法向量为 n = ( x, y, z ) ,则有 ? uuu r ? n ? CB = 0. ?
所以 ?

? 3 x + 3 z = 0, 取 x = 1 ,得 n = (1,? 3 ,?1) . 3 x + y = 0. ?

………………12 分

易知平面 AFC 的法向量为 v = (0,1, 0) . 由二面角 A ? FC ? B 是锐角,得 cos? n, v ? =

………………13 分

n?v 15 = . n v 5

所以二面角 A ? FC ? B 的余弦值为

15 . 5

………………14 分

18.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:当 a = 1 时, f ( x ) = e ? ( + 2) , f ′( x ) = e ? ( + 2 ?
x x

1 x

1 x

1 ). x2

………………2 分

由于 f (1) = 3e , f ′(1) = 2e , 所以曲线 y = f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是 2ex ? y + e = 0 . (Ⅱ)解: f ′( x ) = ae
ax

………………4 分

( x + 1)[(a + 1) x ? 1] ,x ≠ 0. x2

………………6 分

① 当 a = ?1 时,令 f ′( x ) = 0 ,解得 x = ?1 .

f (x) 的单调递减区间为 (?∞, ?1) ;单调递增区间为 (?1, 0) , (0, +∞) .……………8 分
当 a ≠ ?1 时,令 f ′( x ) = 0 ,解得 x = ?1 ,或 x =

1 . a +1

第 8 页 共 12 页

② 当 ? 1 < a < 0 时, f (x ) 的单调递减区间为 (?∞, ?1) , (

1 , +∞) ;单调递增区间为 a +1
………………10 分

(?1, 0) , (0,

1 ). a +1

③ 当 a = 0 时, f ( x ) 为常值函数,不存在单调区间. ④ 当 a > 0 时, f (x ) 的单调递减区间为 (?1, 0) , (0,

………………11 分

1 ) ;单调递增区间为 (?∞, ?1) , a +1
………………13 分

(

1 , +∞) . a +1

19.(本小题满分 14 分)

(Ⅰ)解:由

5 a2 ? b2 b2 b 2 = e2 = = 1? 2 , 得 = . 2 9 a a a 3

………………2 分

依题意△ MB1 B2 是等腰直角三角形,从而 b = 2 ,故 a = 3 .

………………4 分

x2 y 2 所以椭圆 C 的方程是 + = 1. 9 4
(Ⅱ)解:设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,直线 AB 的方程为 x = my + 2 . 将直线 AB 的方程与椭圆 C 的方程联立, 消去 x 得 (4m 2 + 9) y 2 + 16my ? 20 = 0 .

………………5 分

………………7 分

?16m ?20 , y1 y2 = . 2 4m + 9 4m 2 + 9 若 PF 平分 ∠APB ,则直线 PA , PB 的倾斜角互补,
所以 y1 + y2 = 所以 k PA + k PB = 0 . 设 P ( a, 0) ,则有

………………8 分

………………9 分

y1 y + 2 =0. x1 ? a x2 ? a

将 x1 = my1 + 2 , x2 = my2 + 2 代入上式,

整理得

2my1 y2 + (2 ? a )( y1 + y2 ) =0, (my1 + 2 ? a )(my2 + 2 ? a )
………………12 分

所以 2my1 y2 + (2 ? a )( y1 + y2 ) = 0 . 将 y1 + y2 =

?16m ?20 , y1 y2 = 代入上式, 2 4m + 9 4m 2 + 9
………………13 分
第 9 页 共 12 页

整理得 ( ?2a + 9) ? m = 0 .

由于上式对任意实数 m 都成立,所以 a =

9 . 2
………………14 分

综上,存在定点 P ( , 0) ,使 PM 平分 ∠APB .

9 2

20.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:数列 A3 : 4, 2,8 不能结束,各数列依次为 2, 6, 4 ; 4, 2, 2 ; 2, 0, 2 ; 2, 2, 0 ; 0, 2, 2 ;

2, 0, 2 ;….从而以下重复出现,不会出现所有项均为 0 的情形.

………………2 分

数列 A4 :1, 4, 2,9 能结束,各数列依次为 3, 2, 7,8 ; 1,5,1, 5 ; 4, 4, 4, 4 ; 0, 0, 0, 0 . ………………3 分 (Ⅱ)解: A3 经过有限次“ T 变换”后能够结束的充要条件是 a1 = a2 = a3 .………………4 分 若 a1 = a2 = a3 ,则经过一次“ T 变换”就得到数列 0, 0, 0 ,从而结束. ……………5 分 当数列 A3 经过有限次 T 变换” “ 后能够结束时, 先证命题 “若数列 T ( A3 ) 为常数列, A3 则 为常数列” . 当 a1 ≥ a2 ≥ a3 时,数列 T ( A3 ) : a1 ? a2 , a2 ? a3 , a1 ? a3 . 由数列 T ( A3 ) 为常数列得 a1 ? a2 = a2 ? a3 = a1 ? a3 ,解得 a1 = a2 = a3 ,从而数列 A3 也 为常数列. 其它情形同理,得证. 在数列 A3 经过有限次“ T 变换”后结束时,得到数列 0, 0, 0 (常数列),由以上命题,它变 换之前的数列也为常数列,可知数列 A3 也为常数列. ………………8 分

所以,数列 A3 经过有限次“ T 变换”后能够结束的充要条件是 a1 = a2 = a3 . (Ⅲ)证明:先证明引理: “数列 T ( An ) 的最大项一定不大于数列 An 的最大项,其中 n ≥ 3 ” . 证明:记数列 An 中最大项为 max( An ) ,则 0 ≤ ai ≤ max( An ) . 令 Bn = T ( An ) , bi = a p ? aq ,其中 a p ≥ aq . 因为 aq ≥ 0 , 所以 bi ≤ a p ≤ max( An ) , ………………9 分

故 max( Bn ) ≤ max( An ) ,证毕.

第 10 页 共 12 页

现将数列 A4 分为两类. ,此时由 第一类是没有为 0 的项,或者为 0 的项与最大项不相邻(规定首项与末项相邻) 引理可知, max( B4 ) ≤ max( A4 ) ? 1 . 第二类是含有为 0 的项,且与最大项相邻,此时 max( B4 ) = max( A4 ) . 下面证明第二类数列 A4 经过有限次“ T 变换” ,一定可以得到第一类数列. (其它情形同理) 不妨令数列 A4 的第一项为 0 ,第二项 a 最大( a > 0 ). ① 当数列 A4 中只有一项为 0 时, 若 A4 : 0, a, b, c ( a > b, a > c, bc ≠ 0 ),则 T ( A4 ) : a, a ? b,| b ? c |, c ,此数列各项均不为 0 或含有 0 项但与最大项不相邻,为第一类数列; 若 A4 : 0, a, a, b ( a > b, b ≠ 0) , T ( A4 ) : a, 0, a ? b, b ; (T ( A4 )) : a, a ? b,| a ? 2b |, a ? b 则 T 此数列各项均不为 0 或含有 0 项但与最大项不相邻,为第一类数列; 若 A4 : 0, a, b, a ( a > b, b ≠ 0 ),则 T ( A4 ) : a, a ? b, a ? b, b ,此数列各项均不为 0 ,为第一 类数列; 若 A4 : 0, a, a, a ,则 T ( A4 ) : a, 0, 0, a ; T (T ( A4 )) : a, 0, a, 0 ; T (T (T ( A4 ))) : a, a, a, a , 此数列各项均不为 0 ,为第一类数列. ② 当数列 A4 中有两项为 0 时,若 A4 : 0, a, 0, b ( a ≥ b > 0 ),则 T ( A4 ) : a, a, b, b ,此数列 各项均不为 0 ,为第一类数列; 若 A4 : 0, a, b, 0 ( a ≥ b > 0 ),则 T ( A) : a, a ? b, b, 0 , T (T ( A)) : b,| a ? 2b |, b, a ,此数列 各项均不为 0 或含有 0 项但与最大项不相邻,为第一类数列. ③ 当数列 A4 中有三项为 0 时,只能是 A4 : 0, a, 0, 0 ,则 T ( A) : a, a, 0, 0 ,

T (T ( A)) : 0, a, 0, a , T (T (T ( A))) : a, a, a, a ,此数列各项均不为 0 ,为第一类数列.
总之,第二类数列 A4 至多经过 3 次“ T 变换” ,就会得到第一类数列,即至多连续经历 3 次“ T 变换” ,数列的最大项又开始减少. 又因为各数列的最大项是非负整数, 故经过有限次“ T 变换”后,数列的最大项一定会为 0 ,此时数列的各项均为 0 ,从而结
第 11 页 共 12 页

束.

………………13 分

第 12 页 共 12 页