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人教A版高中选修2-1课件:1-1-2、3 四种命题与四种命题间的相互关系

第一章

常用逻辑用语

1.1.2

四种命题

1.1.3

四种命题间的相互关系

新知视界 1.四种命题

(1)一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件
和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么我们把

这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原
命题,另一个命题叫做原命题的逆命题.也就是说, 如果原命题为“若p,则q”,那么它的逆命题为“若q, 则p”.

(2)对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰 好为另一个命题的条件的否定和结论的否定,把这样

的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫
做原命题,那么另一个命题叫做原命题的否命题.也 就是说,如果原命题为“若p,则q”,那么它的否命 题为“若綈p,则綈q”.

(3)对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰 好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,我们把

这样的两个命题叫做互为逆否命题,其中一个命题叫
做原命题,则另一个命题叫做原命题的逆否命题.也 就是说,如果原命题为“若p,则q”,那么它的逆否 命题是“若綈q,则綈p”.

思考感悟 在四种命题中,原命题是固定的吗? 提示:不是.原命题是人为指定的,是相对于其 他三种命题而言的,可以把任何一个命题看作原命 题,进而研究它的其他形式.

2.(1)四种命题间的相互关系

(2)一般地,四种命题的真假性,有且仅有下面四 种情况:

原命题 真 真 假 假

逆命题 真 假 真 假

否命题 真 假 真 假

逆否命题 真 真 假 假

思考感悟 四种命题中真命题的个数可能为多少? 提示: 由于互为逆否关系的命题同真同假,真 命题可能有 0 个, 2 个或 4 个.

尝试应用
1.若x>y,则x2>y2的否命题是( A.若x≤y,则x2>y2 B.若x>y, 则x2<y2 )

C.若x≤y,则x2≤y2
D.若x<y, 则x2<y2

答案:C

2.命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命 题“矩形是两条对角线相等的四边形”的( )

A.逆命题
C.逆否命题

B.否命题
D.无关命题

答案:A

3 .命题“若 ab = 0 ,则 a = 0”与命题“若 a = 0 , 则ab=0”是________命题.

解析: 两个命题的条件和结论交换了,满足互逆
命题的概念. 答案:互逆

4 .命题“若 α = β ,则 sinα = sinβ”的等价命题是 ________.

答案:若sinα≠sinβ,则α≠β

5.把命题“当x=2时,x2-3x+2=0”写成“若p, 则q”的形式,并写出它的逆命题、否命题与逆否命题,

并判断它们的真假.
解:原命题:若x=2,则x2-3x+2=0,真命题. 逆命题:若x2-3x+2=0,则x=2,假命题. 否命题:若x≠2,则x2-3x+2≠0,假命题. 逆否命题:若x2-3x+2≠0,则x≠2,真命题.

典例精析
类型一 [ 例 1] 题. 四种命题之间的转换 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命

(1)垂直于同一平面的两直线平行.
(2)若m·n<0,则方程mx2-x+n=0有实数根.

[分析] 由题目可以获取以下主要信息: ①第一个命题的条件是垂直于同一平面的两条直

线,结论是两直线平行;
②第二个命题的条件和结论非常清楚.

解答本题时可先分清命题的条件和结论,写成
“若p,则q”形式,再写出逆命题、否命题和逆否命 题.

[解 ]

(1)逆命题:如果两条直线平行,那么这两条

直线垂直于同一个平面.

否命题:如果两条直线不垂直于同一平面,那么
这两条直线不平行. 逆否命题:如果两条直线不平行,那么这两条直 线不垂直于同一平面.

(2) 逆命题:若方程 mx2 - x + n = 0 有实数根,则 m·n<0.

否命题:若 m·n≥0 ,则方程 mx2 - x + n = 0 没有实
数根. 逆否命题:若方程 mx2 - x + n = 0 没有实数根,则 m·n≥0.

[点评] (1)写命题的四种形式时,首先要找出命 题的条件和结论,然后写出命题的条件的否定和结论

的否定,再根据四种命题的结构写出所求命题.
(2)另外在写命题时,为了使句子更通顺,可以适 当的添加一些词语,但不能改变条件和结论.

迁移体验1 否命题.

写出下列命题的逆命题、否命题和逆

(1)直角等于90°.
(2)若m≤0,n≤0,则m+n≤0.

解:(1)原命题:若一个角是直角,则它等于90°. 逆命题:若一个角等于90°,则它是直角.

否命题:若一个角不是直角,则它不等于90°.
逆否命题:若一个角不等于 90 ° , 则它不是直

角.
(2)逆命题:若m+n≤0,则m≤0且n≤0. 否命题:若m>0或n>0,则m+n>0. 逆否命题:若m+n>0,则m>0或n>0.

类型二 [ 例 2]

四种命题真假判断 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命

题,并判断其真假:
(1)实数的平方是非负数;

(2)等底等高的两个三角形是全等三角形;
(3) 弦的垂直平分线经过圆心 ,并平分弦所对的 弧. [分析] 假. 分清条件和结论.利用相关知识点判断真

[解] (1)逆命题:若一个数的平方是非负数,则 这个数是实数.真命题.

否命题:若一个数不是实数,则它的平方不是非
负数.真命题. 逆否命题:若一个数的平方不是非负数,则这个 数不是实数.真命题.

(2)逆命题:若两个三角形全等,则这两个三角形 等底等高.真命题.

否命题:若两个三角形不等底或不等高,则这两
个三角形不全等.真命题. 逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角 形不等底或不等高.假命题.

(3)逆命题:若一条直线经过圆心,且平分弦所对 的弧,则这条直线是弦的垂直平分线.真命题.

否命题:若一条直线不是弦的垂直平分线,则这
条直线不过圆心或不平分弦所对的弧.真命题. 逆否命题:若一条直线不经过圆心或不平分弦所 对的弧,则这条直线不是弦的垂直平分线.真命题.

[点评] 分清条件和结论,即可容易的写出各种命 题.判断一个命题为假,只需举出一个反例,充分发

挥原命题与逆否命题、逆命题与否命题的等价性,可
大大简化判断过程.

迁移体验2

写出下列命题的逆命题、否命题和逆

否命题.并判断其真假:

(1)若x=3或x=7,则(x-3)(x-7)=0;
(2)若a、b都是奇数,则ab必是奇数.

解:(1)逆命题:若 (x-3)(x-7)=0,则x=3或x= 7; ( 真 )

否命题:若x≠3且x≠7,则(x-3)(x-7)≠0;(真)
逆否命题:若(x-3)(x-7)≠0,则x≠3且x≠7.(真)

(2)逆命题:若ab是奇数,则a、b都是奇数;(真)
否命题:若a、b不都是奇数,则ab不是奇数;(真) 逆 否 命 题 : 若 ab 不 是 奇 数 , 则 a 、 b 不 都 是 奇 数.(真)

类型三 [例3]

四种命题的相互关系 若命题p的否命题是q,命题q的逆命题是r,

则r是p的逆命题的(
A.原命题

)
B.逆命题

C.否命题

D.逆否命题

[分析] 由题目可获取以下主要信息: ①p与q互为否命题;

②q与r互为逆命题.
解答本题可利用四种命题之间的关系来寻找.

[解析]

“若綈k,则綈s”;则命题q的逆命题r是“若綈s,则

设命题p为“若k,则s”;则其否命题q是

綈 k” ,而 p 的逆命题为 “ 若 s ,则 k” ,故 r 是 p 的逆命
题的否命题. [答案] C

[点评] (1)四种命题的结构分别为: 原命题:若p,则q;逆命题:若q,则p;

否命题:若綈p,则綈q;逆否命题:若綈q,则綈
p.

(2) 在四种命题中,原命题和逆命题,否命题和逆 否命题互为逆命题;原命题和否命题,逆命题和逆否

命题互为否命题;原命题和逆否命题,否命题和逆命
题互为逆否命题. (3) 解决此类问题应正确区分好四种命题之间的关 系.

迁移体验 3 的命题是( )

(1)与命题“若 m∈M ,则 n?M” 等价

A.若m∈M,则n?M B.若n?M,则m∈M
C.若m?M,则n∈M D.若n∈M,则m?M

(2) 给 出命 题 :“已知 a, b , c , d是 实 数,若 a = b ,
c = d , 则 a + c = b + d” , 对 其原命 题 、逆命 题 、否命 题、逆否命题而言,真命题的个数是( )

A.0 C.3

B. 2 D. 4

解析:(1)原命题与逆否命题等价.
(2)因为原命题为真,逆命题为假.

答案:(1)D

(2)B

类型四 [例4]

等价命题的应用 判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不

等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,则a≥1”的逆
否命题的真假.

[分析] 由题目可以获取以下主要信息: ①所给命题涉及到一元二次不等式的解集;

②判断逆否命题的真假.
解答本题可先根据已知的命题利用判别式求出 a的

范围,再去判断命题的真假.

[解] 方法1:原命题的逆否命题: 已知a,x为实数,若a<1,

则关于x的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为
空集.判断真假如下:

抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2开口向上,
判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.

因为a<1,所以4a-7<0. 即抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2与x轴无交点.

所以关于x的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集
为空集.

故原命题的逆否命题为真.

方法 2:先判断原命题的真假. 因为 a,x 为实数,且关于 x 的不等式 x2+ (2a+ 1)x+ a2+ 2≤ 0 的解集非空. 所以 Δ=(2a+ 1)2- 4(a2+ 2)≥ 0,即 4a- 7≥ 0, 7 7 解得 a≥ .因为 a≥ ,所以 a≥ 1, 4 4 所以原命题为真. 又因为原命题与其逆否命题等价, 所以逆否命题为真.

方法 3:利用集合的包含关系求解. 命题 p: 关于 x 的不等式 x2+ (2a+ 1)x+a2+ 2≤0 有非空解集. 命题 q: a≥ 1. 所以 p: A={a|关于 x 的不等式 x2+(2a+ 1)x+ a2 + 2≤ 0 有实数解 } = {a|(2a + 1)2 - 4(a2 + 2)≥ 0} = 7 {a|a≥ }. 4

q:B={a|a≥1}. 因为A?B,所以“若p,则q”为真.

所以 “ 若 p ,则 q” 的逆否命题 “ 若 綈 q ,则 綈 p”
为真.

即原命题的逆否命题为真.

[点评] 命题的问题可以和其他很多知识相结合, 例如本题就是一道有关集合,不等式的解集,二次函

数的图象,四种命题的关系的综合题,要求对这几方
面的内容非常熟练,且要有一定的分析推理能力,通 过一题多解,培养发展创新的能力.

迁移体验 4

判断命题“若 m>0,则方程 x2 + 2x -

3m=0有实数根”的逆否命题的真假.

解:∵m>0,∴12m>0,∴12m+4>0.
∴方程x2+2x-3m=0的判别式Δ=12m+4>0.

∴原命题“若m>0,则方程x2+2x-3m=0有实数
根”为真. 又因原命题与它的逆否命题等价,所以“若m>0, 则方程x2+2x-3m=0有实数根”的逆否命题也为真.

思悟升华
1.正确写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题 (1) 一般地,用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论, 用 綈 p和綈q分别表示 p和q的否定,因此,若原命题为:

若p,则q,则其逆命题为:若 q,则p;否命题为:若
綈p,则綈q;逆否命题为:若綈q,则綈p.

为便于书写各种命题,当原命题不是“若p,则q” 的形式时,应先将命题写成规范形式“若 p,则 q”,

然后再进行书写其他三种命题.
(2)在将一个命题改写为“若p,则q”的形式时, 写法不是惟一的. 如:命题“负数的平方是正数”可写成“若一个 数是负数,则它的平方是正数”,其对应的逆命题、 否命题、逆否命题分别为:

逆命题:若一个数的平方是正数,则它是负数; 否命题:若一个数不是负数,则它的平方不是正

数;
逆否命题:若一个数的平方不是正数,则它不是

负数.
也可写成“若一个数是负数的平方,则这个数是 正数”,则其对应的逆命题、否命题、逆否命题相应 变为:

逆命题:若一个数是正数,则它是负数的平方; 否命题:若一个数不是负数的平方,则这个数不

是正数;
逆否命题:若一个数不是正数,则它不是负数的

平方.
2.四种命题的相互关系

(1)一般地,四种命题的真假性,有且仅有下面四 种情况:

原命题 真 真 假 假

逆命题 真 假 真 假

否命题 真 假 真 假

逆否命题 真 真 假 假

由于逆命题与否命题也是互为逆否命题,因此这 四种命题的真假性之间的关系如下:

①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假

性没有关系.

(2)由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性, 即互为逆否命题具有等价性,所以我们在直接证明某

一个命题为真命题有困难时,可以通过证明它的逆否
命题为真命题,来间接地证明原命题为真命题.


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