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等比数列知识点及习题


2.3 等比数列
1.等比数列定义 一般地, 如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常 .... . 数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用 . 字母 q 表示 ( q ? 0 ) ,即: a n ? 1 : a n ? q ( q ? 0 ) . 注意:“从第二项起”、“常数” q 、等比数列的公比和项都不为零 2.等比数列通项公式为: a n ? a 1 ? q n ?1 ( a 1 ? q ? 0 ) 说明: (1)由等比数列的通项公式可以知道:当公比 d ? 1 时该数列既是等比 数列也是等差数列; 2) ( 等比数列的通项公式知: { a n } 为等比数列, 若 则 3.等比中项 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G , a , G , b 成等比数列, 使 那么 G 叫做 a 与 b 的等 比中项(两个符号相同的非零实数,都有两个等比中项) . 4.等比数列前 n 项和公式 一般地,设等比数列 a1 , a 2 , a 3 , ? , a n , ? 的前 n 项和是 S n ? a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n , 当 q ? 1 时,S n ?
a 1 (1 ? q )
n

am an

? q

m?n

.

1? q

或 Sn ?

a1 ? a n q 1? q

; q=1 时,S n ? na 1(错位相减法) 当 .

说明: (1) a 1 , q , n , S n 和 a 1 , a n , q , S n 各已知三个可求第四个; (2)注意求和公式中是 q n ,通项公式中是 q n ?1 不要混淆; (3)应用求和公式时 q ? 1 ,必要时应讨论 q ? 1 的情况。 5.等比数列的性质 (1)等比数列任意两项间的关系:如果 a n 是等比数列的第 n 项, a m 是等差数列 的第 m 项,且 m ? n ,公比为 q ,则有 a n
? am q
n?m



( 2 ) 对 于 等 比 数 列 ?a n ? , 若 n ? m ? u ? v , 则 a n ? a m ? a u ? a v , 也 就 是 :
1 ? ? ? ? ?? n? ? ? ?? a , a 2 , a ,? , a n ? , a n , a ,如图所示: 1 ? ? 3 ?? ? 2 ??1 n . ? ? ?

a ?a

a 1 ? a n ? a 2 ? a n ?1 ? a 3 ? a n ? 2 ? ? ?

a 2 ?a n ?1

③若数列 ?a n ? 是等比数列,S n 是其前 n 项的和,k ? N * , 那么 S k ,S 2 k

? Sk

,S 3 k

? S 2k

1

成等比数列. 如下图所示:
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 3 ? a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a k ? a k ? 1 ? ? ? a 2 k ? a 2 k ? 1 ? ? ? a 3 k ? ? ? ?? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
Sk S 2k ? S k S 3k ? S 2k S

等比数列练习题
一、选择题 1. ? a n ? 是等比数列,下面四个命题中真命题的个数为( ① ? a n 2 ? 也是等比数列 ③?
? 1 ? ? 也是等比数列 ? an ?



② ? ca n ? ( c ? 0 ) 也是等比数列 ④ ? ln a n ? 也是等比数列 C.2 D.1 )

A.4

B.3

2.等比数列 ? a n ? 中,已知 a1 a 2 a1 2 ? 6 4 ,则 a 4 a 6 的值为( A.16 B.24 C.48 D.128

3.实数 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 依次成等比数列,其中 a 1 ? 2 , a 5 ? 8 ,则 a 3 的值为( A.-4 B.4 C.± 4 D.5 )



4.已知等比数列 ? a n ? 的公比为 2,前 4 项的和是 1,则前 8 项的和为( A .15 B.17 C.19 D .21 )

5.等比数列 ? a n ? 中,已知 a 9 ? ? 2 ,则此数列前 17 项之积为( A. 2
16

B. ? 2

16

C. 2

17

D. ? 2

17

6.已知等比数列 { a n } 的公比为正数,且 a 3 ? a 9 ? 2 a 52 , a 2 ? 1 ,则 a 1 ? ( A.
1 2



B.

2 2

C. 2

D.2 )

7.若两数的等差中项为 6,等比中项为 5,则以这两数为两根的一元二次方程为(
2 A. x ? 6 x ? 2 5 ? 0 2 B. x ? 12 x ? 25 ? 0

2 C. x ? 6 x ? 2 5 ? 0

2 D. x ? 12 x ? 25 ? 0

8.等比数列 ? a n ? 中, a 9 ? a1 0 ? a ( a ? 0 ) , a1 9 ? a 2 0 ? b ,则 a 99 ? a100 ? (



2

A.

b a

9 8

B. ( ) 9
a

b

C.

b

10 9

D. ( )
a

b

10

a

9.等比数列 ? a n ? 的首项为 1,公比为 q ,前 n 项之和为 S ,则数列 ? ( )

? 1 ? ? 的前 n 项之和为 ? an ?

A.

1 S

B. S

C.
q

S
n ?1

D.
q

1
n ?1

S

10.三个数

1 m

,1 ,

1 n

成等差数列,又 m ,1 , n 成等比数列,则
2 2

m ?n
2

2

m?n

的值为(



A.-1 或 3 二、填空题

B.-3 或 1

C.1 或 3

D.-3 或-1

11.在等比数列 ? a n ? 中,已知 a 1 ?

3 2

, a 4 ? 1 2 ,则 q ?

, an ? 。 。



12.若各项均为正数的等比数列 ? a n ? 满足 a 2 ? 2 a 3 ? 3 a1 ,则公比 q ? 13.在各项为正的等比数列 ? a n ? 中, a m ? n ? p , a m ? n ? q ,则 a m ? 14.若等比数列的首项为 4,公比为 2,则其第 3 项和第 5 项的等比中项是 15.在等比数列 ? a n ? 中,



(1)若 q ?

1 2

, S6 ? 3

15 16

,则 a 5 ? ; 。



(2)若 a 3 ? 4, a 9 ? 1 ,则 a 6 ? (3)若 a 3 ? 4, a11 ? 1 ,则 a 7 ?

16 . 在 等 比 数 列 ? a n ? 中 , 已 知 a 4 a 7 ? ? 5 1 2 , a 3 ? a 8 ? 1 2 4 , 且 公 比 为 整 数 , 求
a1 0 ?


a1 ? a 2 b2

1 17. 已知 1 ,a 1 ,a 2 ,4 成等差数列, ,b1 ,b 2 ,b 3 ,4 成等比数列, 则

?



3

18.一个数列的前 n 项和 S n ? 8 n ? 3 ,则它的通项公式 a n ?



19.等比数列 ? a n ? 的公比 q ? 0 ,已知 a 2 ? 1 , a n ? 2 ? a n ? 1 ? 6 a n ,则 ? a n ? 的前 4 项和
S4 ?



20.在等比数列 ? a n ? 中,

(1)若 a 7 ? a12 ? 5 ,则 a 8 ? a 9 ? a1 0 ? a1 1 ?



(2)若 a1 ? a 2 ? 3 2 4 , a 3 ? a 4 ? 36 ,则 a 5 ? a 6 ? 三、解答题 21.已知数列满足 a1 ? 1 , a n ? 1 ? 2 a n ? 1( n ? N ? ) (1)求证数列 ? a n ? 1? 是等比数列; (2)求 ? a n ? 的通项公式。



22.等比数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,已知 S 1 , S 3 , S 2 成等差数列: (1)求 ? a n ? 的公比 q ; (2)若 a1 ? a 3 ? 3 ,求 S n 。

23.在等比数列 ? a n ? 中,已知 S n ? 4 8 , S 2 n ? 60 ,求 S 3 n 。

4

24.若 a 、 b 、 c 成等比数列, a 、 x 、 b 成等差数列, b 、 y 、 c 成等差数列,则求 的值。

a x

?

c y

25.设二次方程 a n x 2 ? a n ? 1 x ? 1 ? 0 ( n ? N ? ) 有两个实根 ? 和 ? ,且满足
6? ? 2? ? ? 6 ? ? 3 :

(1)试用 a n 表示 a n ? 1 ; (2)求证: ? a n ?
? ? 2? ? 是等比数列; 3?

(3)当 a 1 ?

7 6

时,求数列 ? a n ? 的通项公式。

26. (1)已知等比数列 ? a n ? , a1 ? a 2 ? a 3 ? 7, a1 a 2 a 3 ? 8 ,求 a n ; (2)已知数列 ? a n ? 是等比数列,且 S m ? 1 0, S 2 m ? 3 0 ,求 S 3 m ; (3)在等比数列 ? a n ? 中,公比 q ? 2 ,前 99 项的和 S 9 9 ? 5 6 ,求 a 3 ? a 6 ? a 9 ? ? ? ? ? a 9 9 ; (4)在等比数列 ? a n ? 中, a 5 ? a 6 ? a ? a ? 0 ? , a1 5 ? a1 6 ? b ,求 a 2 5 ? a 2 6 。

27:①已知 ? a n ? 等比数列, a 3 ? 2 , a 2 ? a 4 ?

20 3

,求 ? a n ? 的通项公式。

②设等比数列 ? a n ? 的公比为 q ? q ? 0 ? ,它的前 n 项和为 40,前 2 n 项和为 3280,且 前 n 项和中最大项为 27,求数列的第 2 n 项。 ③设等比数列 ? a n ? 的公比 q ? 1 ,前 n 项和为 S n ,已知 a 3 ? 2 , S 4 ? 5 S 2 ,求 ? a n ? 的通项公式。

5

等比数列练习题答案
一、选择题: 1.B 2.A 3.B 4.B 5.D 6.B 7.D 8.A 9.C 10.B 二、填空题: 11.2, 3 ? 2 n ? 2 12. 13. 14.32 15.
5 14 3 2

pq

, ?2 , 2

16.512 17.
5 2

解析:
? 1 , a 1 , a 2 , 4 成等差数列,? a1 ? a 2 ? 1 ? 4 ? 5 ; ? 1 , b1 , b 2 , b 3 , 4 成等比数列, ? b 2 ? 1 ? 4 ? 4 ,又 ? b 2 ? 1 ? q ? 0 , ? b 2 ? 2 ;
2 2

?

a1 ? a 2 b2

?

5 2



18. 7 ? 8 19.
15 2

n ?1

20.25,4 三、解答题: 21.(1)证明:由 a n ? 1 ? 2 a n ? 1 得 a n ? 1 ? 1 ? 2 a n ? 1 ? 1 ? 2 ( a n ? 1) 又 an ? 1 ? 0
? a n ?1 ? 1 an ? 1 ? 2

即 ? a n ? 1? 为等比数列。
n ?1 (2)解析:由(1)知 a n ? 1 ? ( a1 ? 1) q

n ?1 n ?1 n 即 a n ? ( a1 ? 1) q ? 1 ? (1 ? 1) ? 2 ? 1 ? 2 ? 1

6

22.解: (1) ? S 1 , S 3 , S 2 成等差数列,? 2 S 3 ? S 1 ? S 2
2 ( a1 ? a 2 ? a 3 ) ? a1 ? ( a1 ? a 2 ) ? 2 ( a1 ? a1 q ? a1 q ) ? a1 ? ( a1 ? a1 q ) ?
2

2 q ? q ? 0 ? q ( 2 q ? 1) ? 0 ? q ? ?
2

1 2

( 2 ) ? a1 ? a 3 ? 3 ,? a1 ? a1 q ? 3 ? a1 ? 4
2

1 n? ? 4 1 ? (? ) ? a (1 ? q ) 2 ? 8 ? ? ? Sn ? 1 ? ? ? 1 1? q 3 1 ? (? ) 2
n

1 n? ? ?1 ? ( ? 2 ) ? ? ?

当 n ? 2 n ? 1 时, S n ?

8? 1 n? 1? ( ) ? 3? 2 ? ?

当 n ? 2 n 时, S n ?

8? 1 n? 1? ( ) ? 3? 2 ? ?

23.解析一:? S 2 n ? 2 S n ,? q ? 1 根据已知条件:
Sn ? a 1 (1 ? q )
n

1? q a 1 (1 ? q 1? q
5 4
2n

? 48



S 2n ?

)

? 60
1 4



n ②÷ ①得: 1 ? q ?

即q ?
n



③代入①得

a1 1? q
3n

=64



S 3n ?

a 1 (1 ? q 1? q

)

? 6 4 ? (1 ?

1 4
3

) ? 63

解析二:? ? a n ? 为等比数列
? ( S 2n ? S n ) ? S n ( S 3n ? S 2n )
2

? S 3n ?

(S2n ? Sn ) Sn

2

? S 2n ?

(6 0 ? 4 8) 48

2

? 60 ? 63

7

24.解:由题知 b 2 ? a c
2x ? a ? b ? a ? 2x ? b
2y ? b ? c ? c ? 2y ?b

? b ? ( 2 x ? b )( 2 y ? b ) ? 4 xy ? 2 xb ? 2 yb ? b
2

2

? 2 xy ? xb ? yb ? 0 ? 2 xy ? ( x ? y ) b ? ? a x x? y xy ? c y ? ? 2 b 2x ? b x ? 2y ?b y ? 4 ? b( 1 x ? 1 y )? 4?b x? y xy ? 4?b? 2 b ? 2

? 25. 解析: (1) 由题知: ? ? ?

a n ?1 an

? , ? ?

1 an
1 2

, 6? ?2? ?6 ?3 而 ? ?
1 3

, 得

6 a n ?1 an

?

2 an

?3,

即 6 a n ? 1 ? 2 ? 3 a n ,得 a n ? 1 ?

an ?


a n ?1 ? an ? 2 3 ? 1 , 2 2 3

(2)证明:由(1) a n ? 1 ?

1 2

an ?

1 3

,得 a n ? 1 ?

2 3

?

1 2

(an ?

2 3

)?

所以 ? a n ?
?

?

2? ? 是等比数列; 3? ? ?
1 7 2 1 2? ? 是以 ? ? 为首项,以 为公比的等比数列, 2 6 3 2 3?

(3)解析:当 a 1 ?
an ? 2 3 ?

7 6

时, ? a n ?

1 n ?1 2 1 n ? ? ( ) ,得 a n ? ? ( ) ( n ? N ) 。 2 2 3 2

1

2 26.解:① a1 a 2 a 3 ? a 2 ? 8

? a2 ? 2

? a1 ? 4 ? a1 ? a 3 ? 5 ? a 1? 1 ?? ? ? 或 ? ? a3 ? 1 ? a1 ? a 3 ? 4 ? a 3? 4

当 a1 ? 1 , a 2 ? 2 , a 3 ? 4 时, q ? 2 , a n ? 2 n ?1
?1? 当 a 1 ? 4 , a 2 ? 2 , a 3 ? 1 时, q ? , a n ? 4 ? ? ? 2 ?2?
1
n ?1

② ? S 2m ? S m ? ? S m ? ? S 3m ? S 2m ? ? S 3m ? 70
2

b1 ? a 1 ? a 4 ? a 7 ? ? ? ? ? a 9 7

③设 b 2 ? a 2 ? a 5 ? a 8 ? ? ? ? ? a 9 8
b3 ? a 3 ? a 6 ? a 9 ? ? ? ? ? a 9 9
? b1 ? ? 1 ? q ? q
2

则 b1 q ? b 2 , b 2 q ? b3 ,且 b1 ? b 2 ? b3 ? 5 6

? ? 56

即 b1 ?

56 1? 2 ? 4

?8

? b3 ? b1 q ? 3 2
2

8



a1 5 ? a1 6 a5 ? a6
1 3

?

a 25 ? a 26 a1 5 ? a1 6

? q

10

? a 25 ? a 26 ?
3? n

? a1 5 ? a1 6 ?
a5 ? a6

2

?

b

2

a

27.解:① q ?

或q ? 3
?

an ? 2 ? 3

或 an ? 2 ? 3n?3 无解

②当 q ? 1 时, ?

S n ? n a1 ? 4 0

? S 2 n ? 2 n a1 ? 3 2 8 0

当q ? 1时

n ? a1 ?1 ? q ? ? Sn ? ? 40 1? q ? ? 2n a1 ?1 ? q ? ? ? 3280 ? S2n ? 1? q ?

S2n Sn

? 1 ?q

n

?8 2

? q ? 81
n
n

?

a1 1? q

? ?

1 2
? 数列 ? a n ? 为递增数列

∵ q ? 0 即 q ? 81 ? 1

∴q ? 1

? a1 ? 0

? a n ? 2 7 ? a1 q

n ?1

?

a1 q

? 81

1 ? a1 ? ? q 3 ? 解方程组 ? ? a1 ? ? 1 ?1 ? q 2 ?

得?

? a1 ? 1 ?q ? 3

? a 2 n ? a1 q

2n? 1

?3

n? 2

1

③由已知 a 1 ? 0, S n ?

a1 ?1 ? q 1? q

n

?

2 ? a1 q ? 2 ? 2 时, ? a1 ? 1 ? q 4 ? a1 ? 1 ? q ? ? 5? ? 1? q ? 1? q

得1 ? q 4 ? 5 ?1 ? q 2 ?

∵q ? 1
n ?1

∴ q ? ?1 或 q ? ?2

当 q ? ? 1 时, a1 ? 2, a n ? 2 ? ? 1 ? 当 q ? ? 2 时, a1 ?
1 2 , an ? 1 2

? ?2 ?

n ?1

? ? ? 1?

n ?1

2

n?2

9


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