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用构造法巧求递推数列通项公式


用构造法巧求递推数列通项公式
山口中学 李飞霞

摘要:求递推数列通项公式是历年高考和高中数学联赛的热点内容,而构造 法作为一种重要数学手段,在数学解题中有着重要的作用,本文从“构造等比数 列”、“构造等差数列”、例谈求递推数列通项公式的一些简捷方法。 关键词:构造法、递推数列、通项公式、等比数列、等差数列、

构造法是一种富有创造性的解题方法,它很好地体现了数学中发现、类比、 化归的思想,也渗透着猜想、试验、探索、归纳、概括、特殊化等重要的数学方 法。已知数列递推公式求该数列的通项公式,是历年高考热点之一。本文介绍一 下利用构造法求递推数列的通项公式的简捷方法。 一、构造等比数列 1、形如递推公式为 a1 ? a, an?1 ? Aan ? B (其中 A、B 为常数,A ? 0、1)的数 列,可构造形如 an?1 ? k ? A(an ? k ) 的等比数列。 例 1:已知数列{ an }中, a1 ? 1, an?1 ? 3an ? 4, 求数列{ an }的通项公式。 解: 设 an?1 ? k ? 3(an ? k ) , 则 a n?1 ? 3a a ?2k , 又? an?1 ? 3an ? 4,? ?2k ? 4, k ? ?2

? an?1 ? 2 ? 3(an ? 2),?数列{ an ? 2 }是以 a1 ? 2 ? 3 为首项,3 为公比的等比数列,

? an ? 2 ? 3 ? 3n?1 ,? an ? 3n ? 2. 故所求的通项公式是 an ? 3n ? 2.
2、形如递推公式为 a1 ? a, an?1 ?

Aan (其中 A、B 为不为零的常数)的数 Ban ? c ? 1 c 1 c 1 B ? ? ,再构造形如 ? k ? ( ? k) A an A an ?1 A an

列, 可将其递推公式两边取倒数 的等比数列。

1 a n ?1

例 2:已知数列{ an }中, a1 ? 1, an?1 ?

3an ,求通项公式 an an ? 6

解:由 an?1 ?

3an 1 2 1 1 1 1 1 两边取倒数得 ? ? ,化为 ? ? 2( ? ) a n ?1 3 an 3 a n ?1 a n 3 an ? 6

? 数列{

1 1 4 n ?1 1 1 1 1 4 ? } 是以 ? = 为首项,2 为公比的等比数列,? ? = ?2 an 3 3 an 3 a1 3 3

3 1 2 n?1 ? 1 3 ,故所求的通项公式是 a n ? n ?1 。 ? ? ,? an ? n?1 2 ?1 an 3 2 ?1

3、形如递推公式为 a1 ? a, an?1 ? Aan ? Bn ? C (其中 A、B 为不为零的常数) 的数列,可构造形如 an?1 ? p(n ? 1) ? q ? A(an ? pn ? q) 的等比数列。 例 3:已知数列{ an }中, a1 ? 1 , an?1 ? 3an ? 2n ? 1 ,求通项公式 an 。 解:设 an?1 ? p(n ? 1) ? q ? 3(an ? pn ? q) ,则 an?1 ? 3an ? 2 pn ? p ? 2q ,又

an?1 ? 3an ? 2n ? 1 ,? p ? 1, q ? 1 ,? an?1 ? (n ? 1) ? 1 ? 3(an ? n ? 1) ,所以数列
{ an ? n ? 1 }是以 a1 ? 1 ? 1 =3 为首项,3 为公比的等比数列,

? an ? n ? 1 =3 3 n ?1 ,? an ? 3n ? n ? 1,故所求的通项公式是 an ? 3n ? n ? 1。
4、形如递推公式为 a1 ? a, an?1 ? Aan ? B ? C n ? D (其中 A、B、C、D 为常数,A、 C ? 0 ,且 A ? C )的数列,可构造形如 an?1 ? p ? C n?1 ? q ? A(an ? p ? C n ? q) 的等比数 列。 例 4:已知数列{ an }中, a1 ? 1 , an ?1 ? 3an ? 4 n ? 2 ,求通项公式 an 。 解:设 an?1 ? p ? 4n?1 ? q ? 3(an ? p ? 4n ? q) ,则 an?1 ? 3an ? p ? 4 n ? 2q ,又

an ?1 ? 3an ? 4 n ? 2 ,求得 p=q=-1,? an?1 ? 4 n?1 ? 1 ? 3(an ? 4n ? 1) ,所以数列
{ an ? 4 n ? 1}是以-4 为首项,3 为公比的等比数列,? an ? 4 n ? 1=-4 3 n ?1 ,

? an ? 4n ? 4 ? 3n?1 ? 1 ,故所求的通项公式是 an ? 4n ? 4 ? 3n?1 ? 1 。
二、构造等差数列 1、形如递推公式为 a1 ? a, an?1 ? Aan ? B ? An (其中 A、B 为常数,且 A、B ? 0 ) a 1 a B ? nn ? 的等差数列。 的数列,只需两边除以 A n?1 ,就可构造形如 nn? ?1 A A A 例 5:已知数列{ an }中, a1 ? 6 , an ?1 ? 3an ? 2 ? 3n ,求通项公式 an 。

a n ?1 a n 2 an ? n ? ? 数列{ n }是以 2 为 n ?1 3 3 3 3 an 2 2 2 4 首项, 为公差的等差数列,? n =2+ (n-1)= n+ ,? an ? (2n ? 4)3n?1 ,故 3 3 3 3 3 n?1 所求的通项公式是 an ? (2n ? 4)3 。

解:由 an ?1 ? 3an ? 2 ? 3n 两边除以 3 n ?1 ,得

2、形如递推公式为 a1 ? a, an?1 ? Aan ? B ? An ? C (其中 A、B、C 为不为零的常 a ?? a ?? 数)的数列,可构造形如 n ?1n ?1 ? n n ? ? 的等差数列。 A A 例 6:已知数列{ an }中, a1 ? 8 , an ?1 ? 3an ? 6 ? 3n +2,求通项公式 an 。 解: 设
a n ?1 ? ? a n ? ? ? ??, 则 an ?1 ? 3an ? 3? ? 3n ? 2? , 又 an ?1 ? 3an ? 6 ? 3n +2 n ?1 n 3 3

? ? ? 1, ? ? 2 ,?

a n ?1 ? 1 a n ? 1 a ?1 a ?1 ? ? 2 ,? 数列{ n n }是以 1 ? 3 为首项,2 为 n ?1 n 3 3 3 3 a ?1 公差的等差数列,? n n =3+2(n-1)? an ? 3n ? (2n ? 1) ,故所求的通项公式 3 n 是 an ? 3 ? (2n ? 1) 。

3、 形如递推公式为 a1 ? a, (n ? A)an?1 ? (n ? A ? 2)an ? B(n ? A)(n ? A ? 1)(n ? A ? 2) (其中 A、B 为常数,且 B ? 0)的数列,只需两边除以 (n ? A)(n ? A ? 1)(n ? A ? 2) , a n?1 an 就可构造形如 ? ? B 的等差数列。 (n ? A ? 1)(n ? A ? 2) (n ? A)(n ? A ? 1) 例 7:在数列{an}中, 解:对原递推式两边同除以 可得: ,求通项公式 an

an a1 3 }是以 = 为首项,2 为 (1 ? 1) ? 1 2 (n ? 1)n an 3 1 1 公差的等差数列,? = + 2(n ? 1) ? 2n ? ,? a n ? n(n ?!)( 4n ? 1) , 2 2 (n ? 1)n 2
,则数列{ 故所求的通项公式是 a n ?
1 n(n ? 1)( 4n ? 1) 。 2

2008 年 6 月 18 日


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