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高一数学必修5测试2


高一数学必修 5 试题
荔城中学高一数学备课组

一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
1.由 a1 = 1 ,d = 3 确定的等差数列 {an } ,当 an = 298 时,序号 n 等于 A.99 B.100 C.96 D.101 ( )

2. ?ABC 中,若 a = 1, c = 2, B = 60° ,则 ?ABC 的面积为 A.
1 2 B.





3 2

C.1

D. 3

3.在数列 {an } 中, a1 =1, an +1 ? an = 2 ,则 a51 的值为

( D. 101 (



B.49 4 4.已知 x > 0 ,函数 y = + x 的最小值是 x
A.5 B.4 C.8

A.99

C.102



D.6

1 1 1 5.在等比数列中, a1 = , q = , an = ,则项数 n 为 2 2 32 A. 3 B. 4 C. 5 6.不等式 ax 2 + bx + c < 0(a ≠ 0) 的解集为 R ,那么


D. 6







A. a < 0, ? < 0

B. a < 0, ? ≤ 0

C. a > 0, ? ≥ 0

D. a > 0, ? > 0

?x + y ≤ 1 ? 7.设 x, y 满足约束条件 ? y ≤ x ,则 z = 3 x + y 的最大值为 ( ? y ≥ ?2 ?
A. 5 B. 3 C. 7 D. -8
8.在 ?ABC 中, a = 80, b = 100, A = 45° ,则此三角形解的情况是 ( A.一解
2 3





B.两解
2 3

C.一解或两解
1 3

D.无解
( )
1 4

9.在△ABC 中,如果 sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : 4 ,那么 cosC 等于
A. B. C. D. -

10.一个等比数列 {a n } 的前 n 项和为 48,前 2n 项和为 60,则前 3n 项和为( A、63 B、108 C、75 D、83



二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

11.在 ?ABC 中, B = 450 , c = 2 2, b =

4 3 ,那么 A=_____________; 3

12.已知等差数列 {a n } 的前三项为 a ? 1, a + 1,2 a + 3 ,则此数列的通项公式为________ .

13.不等式

2x ?1 > 1 的解集是 3x + 1



14.已知数列{an}的前 n 项和 S n = n 2 + n ,那么它的通项公式为 an=_________ 三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 80 分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 5 15(12 分) 已知等比数列 {a n } 中, a1 + a 3 = 10, a 4 + a 6 = ,求其第 4 项及前 5 项和. 4

16(14 分)(1) 求不等式的解集: ? x 2 + 4 x + 5 < 0 (2)求函数的定义域: y =

x ?1 +5 x+2

17 (14 分)在△ABC 中,BC=a,AC=b,a,b 是方程 x 2 ? 2 3x + 2 = 0 的两个根, 2coc( A + B) = 1 。 求:(1)角 C 的度数;



(2)AB 的长度。

? 1 ? 18(12 分)若不等式 ax 2 + 5 x ? 2 > 0 的解集是 ? x < x < 2? , 2 ? ?

(1) 求 a 的值; (2) 求不等式 ax 2 ? 5 x + a 2 ? 1 > 0 的解集.

19(14 分)如图,货轮在海上以 35n mile/h 的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标 方向线的水平角)为 152° 的方向航行.为了确定船位,在 B 点处观测到灯塔 A 的方位角为 122° .半小时后,货轮到达 C 点处,观测到灯塔 A 的方位角为 32° .求此时货轮与灯塔之 间的距离. 北 B
152o 122o

北 A

20 14 分) ( 某公司今年年初用 25 万元引进一种新的设备, 投入设备后每年收益为 21 万元。 该公司第 n 年需要付出设备的维修和工人工资等费用 an 的信息如下图。 (1)求 an ;
费用(万元)

an
(2)引进这种设备后,第几年后该公司开始获利; (3)这种设备使用多少年,该公司的年平均获利最大?

4 2 1 2 n


试题参考答案 高一数学必修 5 试题参考答案
一.选择题。 题号 1 2 答案 B C 二.填空题。 11. 15o 或 75o 12. an =2n-3
1 13. {x ? < x < 2} 3 14. an =2n

3 D

4 B

5 C

6 A

7 C

8 B

9 D

10 A

三.解答题。
15.解:设公比为 q , ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄1 分

?a1 + a1 q 2 = 10 ? 由已知得 ? 5 3 5 ?a1 q + a1 q = ? 4 ?a1 (1 + q 2 ) = 10LLL① ? 即? 5 3 2 ?a1 q (1 + q ) = LL ② ? 4
②÷①得 q 3 = 将q =

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 3 分

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄

5分

1 1 , , 即q = 8 2

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 7 分

1 代入①得 a1 = 8 , ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 8 分 2 1 ∴ a 4 = a1 q 3 = 8 × ( ) 3 = 1 , ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 10 分 2

1 ? ? 8 × ?1 ? ( ) 5 ? a (1 ? q ) 2 ? 31 ? s5 = 1 = = 1 1? q 2 1? 2
5

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 12 分

16. (1) {x x < ?1或x > 5} (2) {x x < ?2或x ≥ 1}

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7 分

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14 分

17. 解: (1) cos C = cos[π ? ( A + B )] = ? cos( A + B ) = ? (2)由题设: ?

1 2

∴ C=120°┄┄┄5 分

?a + b = 2 3 ? ? ab = 2 ?

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分

∴ AB 2 = AC 2 + BC 2 ? 2 AC ? BC cos C = a 2 + b 2 ? 2ab cos 120°

= a 2 + b 2 + ab = (a + b ) ? ab = 2 3 ? 2 = 10
2 2

( )

┄┄13 分

∴ AB = 10


┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14

18. (1)依题意,可知方程 ax + 5 x ? 2 = 0 的两个实数根为
2

1 和 2,┄┄┄┄┄┄2 分 2

由韦达定理得: 解得: a =-2

1 5 +2= ? 2 a 1 2

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分

(2) {x ? 3 < x < }

19.在△ABC 中,∠B=152o-122o=30o,∠C=180o-152o+32o=60o, ∠A=180o-30o-60o=90o, ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5 分

35 , 2 35 35 ∴AC= sin30o= . 2 4
BC= 答:船与灯塔间的距离为

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7 分

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13 分

35 n mile. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14 分 4 20.解: (1)由题意知,每年的费用是以 2 为首项,2 为公差的等差数列,求得:

an = a1 + 2( n ? 1) = 2n
(2)设纯收入与年数 n 的关系为 f(n),则:

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分

f ( n) = 21n ? [2n +
2

n( n ? 1) ? 2] ? 25 = 20n ? n2 ? 25 2
解得 10 ? 5 3 < n < 10 + 5 3

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分

由 f(n)>0 得 n -20n+25<0

┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分

又因为 n ∈ N ,所以 n=2,3,4,……18.即从第 2 年该公司开始获利 ┄┄┄┄┄┄┄8 分 (3)年平均收入为

25 f (n) =20- (n + ) ≤ 20 ? 2 × 5 = 10 n n

┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分

当且仅当 n=5 时,年平均收益最大.所以这种设备使用 5 年,该公司的年平均获利最大。 ┄┄┄┄14 分


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