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三角函数图象高考题(1)老师专用

三角函数图象高考题(1)
一、选择题(每题 5 分,共计 60 分) 1.函数 y=sin x+cos x 的最小值和最小正周期分别是( A.- 2,2π B.-2,2πC.- 2,π ) D.-2,π

π π π 解析:∵y= 2sin(x+ ),∴当 x+ =2kπ- (k∈Z)时,ymin=- 2.T=2π. 4 4 2 答案:A cos x 2.函数 y=sin x| |(0<x<π)的图象大致是( sin x )

cos x 解析:y=sin x| |= sin x

? ? π ?0,x=2 ? <x<π ?-cos x,π 2
B. 2C. 3

π cos x,0<x< 2

答案:B

3. 若动直线 x=a 与函数 f(x)=sin x 和 g(x)=cos x 的图象分别交于 M、 N 两点, 则|MN|的最大值为( A.1 D.2

)

π 解析:|MN|=|sin a-cos A|=| 2sin(a- )|,∴|MN|max= 2.答案:B 4 1 4.已知函数 y=sin x 的定义域为[a,b],值域为[-1, ],则 b-a 的值不可能是( 2 π A. 3 2π B. C.π 3 4π D. 3 )

2π 4π 解析:画出函数 y=sin x 的草图分析知 b-a 的取值范围为[ , ]. 3 3

答案:A

π π 5.已知函数 f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间[- , ]上的最小值是-2,则 ω 的最小值为( 3 4 2 A. 3 3 B. C.2 2 D.3

)

π π 解析:∵f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间[- , ]上的最小值为-2 3 4 T π π π 3 3 ∴ ≤ ,即 ≤ ,∴ω≥ ,即 ω 的最小值为 .答案:B 4 3 2ω 3 2 2 π π 6.设函数 f(x)=sin(2x+ )+cos(2x+ ),则( 4 4 )

π π A.y=f(x)在(0, )单调递增,其图象关于直线 x= 对称 2 4 π π B.y=f(x)在(0, )单调递增,其图象关于直线 x= 对称 2 2 π π C.y=f(x)在(0, )单调递减,其图象关于直线 x= 对称 2 4 π π D.y=f(x)在(0, )单调递减,其图象关于直线 x= 对称 2 2 π π π π 解析: 因为 y=sin(2x+ )+cos(2x+ )= 2sin(2x+ )= 2cos 2x, 所以 y= 2cos 2x 在(0, )单调递减, 4 4 2 2 kπ 对称轴为 2x=kπ,即 x= (k∈Z).答案:D 2 7.(2009 浙江文)已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能 是( ... )

答案

D

8.(2009 山东卷理)将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 析式是( A. y ? cos 2 x ). B. y ? 2cos x
2

? 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解 4

C. y ? 1 ? sin( 2 x ?

?
4

)

D. y ? 2sin x
2

答案:B,解析: y ? sin[ 2( x ?

?
4

)] ? 1 ? cos 2 x ? 1 ? 2 cos 2 x ? 1 ? 1 ? 2 cos 2 x

9、 (2009 安徽卷理)已知函数 f ( x) ? 3sin ? x ? cos ? x(? ? 0) , y ? f ( x) 的图像与直线 y ? 2 的两个相邻交 点的距离等于 ? ,则 f ( x) 的单调递增区间是 A. [k? ? ? , k? ? 5? ], k ? Z 12 12 C. [k? ? ? , k? ? ? ], k ? Z 3 6 答案 C, y ? 2 sin( wx ? 则 y ? 2 sin( 2 x ? B. [k? ? 5? , k? ? 11? ], k ? Z 12 12 D. [k? ?

?
6

, k? ?

2? ], k ? Z 3

?
6

) 与直线 y ? 2 的的两个相邻交点的距离等于 ? ,则其周期为 ? ,所以 w 为 2,
3 6

?
6

) 单调递增区间为 [k? ? ? , k? ? ? ], k ? Z

10.(2009 安徽卷文)设函数 值范围是() A. 选D 11.(2009 江西卷理)若函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x , 0 ? x ? B. 2 C. 3 ? 1 D. 3 ? 2 B. C. D.

,其中

,则导数

的取

?
2

,则 f ( x) 的最大值为

A.1 答案:B

12.(2009 湖北卷理)函数 y ? cos(2 x ?

?
6

) ? 2 的图象 F 按向量 a 平移到 F ' , F ' 的函数解析式为

y ? f ( x), 当 y ? f ( x) 为奇函数时,向量 a 可以等于

A.( ?

?
6

, ?2) B.( ?

?

, 2) C.( , ?2) D.( , 2) 6 6 6

?

?

答案 B 解析 直接用代入法检验比较简单.或者设 a ? ( x?, y?) ,根据定义 y ? y? ? cos[2( x ? x?) ? 是奇函数,对应求出 x? , y?

v

?
6

] ? 2 ,根据 y

二、填空题(每题 5 分,共计 20 分)

4π 13.如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象关于点( ,0)中心对称,那么|φ|的最小值为________. 3 4π π 解析:由题意知,2× +φ=kπ+ ,k∈Z. 3 2 13π π π 解得 φ=kπ- ,k∈Z.当 k=2 时,|φ|min= .答案: 6 6 6 π π 14.设函数 y=sin( x+ ),若对任意 x∈R,存在 x1,x2 使 f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立,则|x1-x2|的最小值是 2 3 ________. 解析:由 f(x1)≤f (x)≤f(x2)恒成立,可得 f(x1)为最小值,f(x2)为最大值,|x1-x2|的最小值为半个周期. 答案:2 π π π 15.设函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈(- , ))的最小正周期为 π,且其图象关于直线 x= 对称,则在下面 2 2 12 π π π π 四个结论:①图象关于点( ,0)对称;②图象关于点( ,0)对称;③在[0, ]上是增函数;④在[- ,0]上 4 3 6 6 是增函数中,所有正确结论的编号为________. π π π 解析:∵T=π,∴ω=2.又 2× +φ=kπ+ ,∴φ=kπ+ . 12 2 3 π π π π ∵φ∈(- , ),∴φ= ,∴y=sin(2x+ ).由图象及性质可知②④正确.答案:②④ 2 2 3 3 16.(2009 江苏卷)函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A, ? , ? 为常数,

A ? 0, ? ? 0 )在闭区间 [?? , 0] 上的图象如图所示,则 ? =.
答案 3 解析 考查三角函数的周期知识

3 T ?? 2

,T

2 ? ? 3

,所以 ?

? 3,

三、解答题(每题 10 分,共计 70 分) π 17.已知函数 f(x)=4cos xsin(x+ )-1. 6 π π (1)求 f(x)的最小正周期;(2)求 f(x)在区间[- , ]上的最大值和最小值. 6 4 π 10.解:(1)因为 f(x)=4cos xsin(x+ )-1 6 =4cos x( 3 1 sin x+ cos x)-1 2 2

= 3sin 2x+2cos2x-1 = 3sin 2x+cos 2x π =2sin(2x+ ), 6

所以 f(x)的最小正周期为 π. π π π π 2π (2)因为- ≤x≤ ,所以- ≤2x+ ≤ . 6 4 6 6 3 π π π 于是,当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 2; 6 2 6 π π π 当 2x+ =- ,即 x=- 时,f(x)取得最小值-1. 6 6 6 π+2x 18.设 a=(sin2 ,cos x+sin x),b=(4sin x,cos x-sin x),f(x)=a· b. 4 (1)求函数 f(x)的解析式; π 2π (2)已知常数 ω>0,若 y=f(ωx)在区间[- , ]上是增函数,求 ω 的取值范围; 2 3 π+2x 解:(1)f(x)=sin2 · 4sin x+(cos x+sin x)· (cos x-sin x) 4 π 1-cos? +x? 2 =4sin x· +cos2x 2 =2sin x(1+sin x)+1-2sin2x=2sin x+1, ∴f(x)=2sin x+1. (2)∵f(ωx)=2sin ωx+1,ω>0. π π 由 2kπ- ≤ωx≤2kπ+ , 2 2 2kπ π 2kπ π 得 f(ωx)的增区间是[ - , + ],k∈Z. ω 2ω ω 2ω π 2π ∵f(ωx)在[- , ]上是增函数, 2 3 π 2π π π ∴[- , ]?[- , ]. 2 3 2ω 2ω π π 2π π ∴- ≥- 且 ≤ , 2 2ω 3 2ω 3 ∴ω∈(0,4]. 19.已知 a=(5 3cos x,cos x),b=(sin x,2cos x),函数 f(x)=a· b+|b|2. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)的单调减区间; π π (3)当 ≤x≤ 时,求函数 f(x)的值域. 6 2 解:f(x)=a· b+|b|2 =5 3cos x· sin x+cos x· 2cos x+sin2x+4cos2x =5 3sin xcos x+sin2x+6cos2x

= =

1-cos2x 5 3 sin2x+ +3(1+cos2x) 2 2 5 3 5 7 π 7 sin2x+ cos2x+ =5sin(2x+ )+ 2 2 2 6 2

2π (1)f(x)的最小正周期 T= =π. 2 π π 3π π 2π (2)由 2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ 得 kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 2 6 2 6 3 π 2π ∴f(x)的单调减区间为[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z). 6 3 π π (3)∵ ≤x≤ , 6 2 π π 7π ∴ ≤2x+ ≤ . 2 6 6 1 π ∴- ≤sin(2x+ )≤1. 2 6 17 ∴1≤f(x)≤ 2 17 即 f(x)的值域为[1, 2 ].

20.(2009 江苏卷)设向量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 | b ? c | 的最大值; (3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b . 【解析】 本小题主要考查向量的基本概念,同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角 和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力。满分 14 分。

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

21.(2009 山东卷理)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=cos(2x+ (1) 求函数 f(x)的最大值和最小正周期.

? 2 )+sin x. 3

(2)

设 A,B,C 为 ? ABC 的三个内角,若 cosB=

1 c 1 , f ( ) ? ? ,且 C 为锐角,求 sinA. 3 2 4

解: (1)f(x)=cos(2x+

? ? ? 1 ? cos 2 x 1 3 2 ? ? sin 2 x )+sin x.= cos 2 x cos ? sin 2 x sin ? 3 3 3 2 2 2
1? 3 ,最小正周期 ? . 2
所以 sin C ?

所以函数 f(x)的最大值为

(2) f ( ) =

c 2

1 1 3 ? sin C =- , 4 2 2
cosB=

3 , 2

因为 C 为锐角,

所以 C ?

?
3

,

又因为在 ? ABC 中,

1 , 3

所以

sin B ?

2 3, 3

所以

sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?

2 1 1 3 2 2? 3 2? ? ? ? . 3 2 3 2 6

【命题立意】:本题主要考查三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式、三角函数的性质以及三角 形中的三角关系. 22.(2009 山东卷文)设函数 f(x)=2 sin x cos (1).求 ? .的值; (2).在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a ? 1, b ?
2

?
2

? cos x sin ? ? sin x(0 ? ? ? ? ) 在 x ? ? 处取最小值.

2, f ( A) ?

3 ,求角 C.. 2

解: (1) f ( x) ? 2sin x ?

1 ? cos ? ? cos x sin ? ? sin x 2

? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin( x ? ? )
因为函数 f(x)在 x ? ? 处取最小值,所以 sin(? ? ? ) ? ?1 ,由诱导公式知 sin ? ? 1 ,因为 0 ? ? ? ? ,所以

??

?
2

.所以 f ( x) ? sin( x ?

?
2

) ? cos x

(2)因为 f ( A) ?

? 3 3 ,所以 cos A ? ,因为角 A 为 ? ABC 的内角,所以 A ? .又因为 a ? 1, b ? 2 , 所 6 2 2

以由正弦定理,得

a b b sin A 1 2 ? ? 2? ? ,也就是 sin B ? , sin A sin B a 2 2

因为 b ? a ,所以 B ?

?
4

或B ?

3? . 4 7? 3? ? 3? ? ? . ;当 B ? 时, C ? ? ? ? 12 4 6 4 12

当B ?

?
4

时, C ? ? ?

?
6

?

?
4

?

【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用 正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合. 23.(2009 陕西卷理)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ?

?
2

)的图象与 x 轴

的交点中,相邻两个交点之间的距离为

2? ? , ?2) . ,且图象上一个最低点为 M ( 3 2

(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? [

, ] ,求 f ( x) 的值域. 12 2

? ?

解(1)由最低点为 M (

2? , ?2) 得 A=2. 3 2? 2? ? T ? ? ?2 得 = ,即 T ? ? , ? ? T ? 2 2 2

由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为

由点 M (

2? 2? 4? , ?2) 在图像上的 2sin(2 ? ? ? ) ? ?2, 即sin( ? ? ) ? ?1 3 3 3



4? ? 11? ? ? ? 2 k ? ? , k ? Z ?? ? 2 k? ? 3 2 6

又 ? ? (0,

?
2

),?? ?

?

, 故f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 6 6

?

(2)? x ? [

? ? 7? , ],      ? 2 x ? ?[ , ] 12 2 6 3 6

? ?

当 2x ?

? 7? ? ? ? = ,即 x ? 时, f ( x) 取得最大值 2;当 2 x ? ? 6 6 6 2 6
时, f ( x) 取得最小值-1,故 f ( x) 的值域为[-1,2]

即x?

?
2


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