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重庆市第四十二中学学高一数学下学期期中试题-精


重庆市第四十二中学校 2015—2016 学年度下期半期考试 高 2018 级(高一)数学试题卷
(考试时间:120 分钟;满分:150 分) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

1.已知 ?an ? 为等比数列,若 log 1 a5 ? ?1,则 a 2 a8 ? (
3



A. 6

B. 9

C. 10

D. 16

2.在△ABC 中,a ? c +b =ab,则角 C 为(

2

2

2



A.60

O

B.45 或 135

O

O

C.120

O

D.30

O

3.已知 a ,b∈R,且 a >b,则下列不等式中恒成立的是( )

A. a >b
2

2

B. lg ( a -b)>0

C. (

1 a 1 b ) <( ) 2 2

D.

a >1 b

4.下面说法中正确的个数有( (1)若 a ? b =0,则 a ⊥ b ,

)个 (2)若 a ? b = b ? c 且 b ? 0 ,则 a = c
2 2

(3)( a ? b ) ? c = a ? ( b ? c ) (4) (a ? b ) =a

?b

2

(5)若 a // b , c // b ,则 a // c , (6) a ? ( b ? c )- b ? ( a ? c )不与 c 垂直 A.0 B.1 C.2 D.4

5.已知关于 x 的一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 x ? 2 ? x ? 3 ,
2

?

?

则不等式 cx ? bx ? a ? 0 的解集是(
2

) B. ? x x ? ? 或x ?

A. ? x x ? ? 或x ? ?

? ?

1 2

1? 3?

? ?

1 3

1? ? 2?

-1-

C. ? x ?

? ?

1 1? ?x? ? 2 3?

D. ? x ?

? ?

1 1? ?x? ? 3 2?


6.由下面的条件能得出△ABC 为锐角三角形的是(

A. sin A ? cos A ?

1 5

B. AB ? AC ? 0 D. b ? 3, c ? 3 3, B ? 30o


C. cos A cos B cos(A ? B) ? 0
7.设 a ? 0, b ? 0, a ? b ? ab ? 24, 则 (

A. a ? b 有最大值 8 C. ab 有最大值 8

B. a ? b 有最小值 8 D. ab 有最小值 8


8. 已知数列 ?an ? 中,a1=1,a2=3,an+2 + an = an+1 ,则 a2014 ? ( A. ? 1 B.1 C.2 D.3

9.若 a 和 b 是两个不共线的非零向量, a 和 b 起点相同,且 a ,t b , ( a + b )三个向量的 终点在同一条直线上。则 t 的值是( A. ) D.2

1 3

1 3

1 B. 2

C.1

10.已知整数对排列如下: (1,1) , (1,2) , (2,1) , (1,3) , (2,2) , (3,1) , (1,4) , (2,3) , (3,2) , (4,1) , (1,5) , (2,4)......则第 60 个整数对是( )

A. (5,11)

B.(11,5)

C. (7,5)

D.(5,7)

11.已知 ? ABC 内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,BC 边的高是 AD,且 BC=AD,则 最大值是( A.2 ) B.

b c ? 的 c b

5 2

C. 5

D. 6

12.设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 成等比数列,则 的取值范围为 ( )

sin A ? cos A ? tan C sin B ? cos B ? tan C

-2-

A. (

5 ?1 5 ?1 , ) 2 2

B. (0,

5 ?1 ) 2

C. (

5 ?1 ,??) 2

D. (0,??)

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.在等差数列 {an } 中,已知 a2 ? a3 ? a7 ? 12 ,则 {an } 的前 7 项和 S7 ? __________ 14.不等式 ( x ?1) x ? 2 ? 0 的解集是_________ 15.已知等比数列前 n 项的和为 2,其后 2n 项的和为 12,则再后面 3n 项的和为______ → → 16.△ABC 中,AB=4,BC=5,CA=6,则AB ? BC + BC ? CA + CA ? AB=______

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,写出必要的计算、证明或推理过程) 17.(10 分)已知集合 A ? x | x ? x ? 6 ? 0 , B ? ? x |
2

?

?

? ?

2x ?1 ? ? 1? ,求 A U B 。 x?2 ?

18.(12 分)等比数列 {an } 中,已知 a1 ? 2, a4 ? 16 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 3 项和第 5 项,试求数列 {bn } 的通项公式及前 n 项和

Sn 。

19.(12 分)已知| a |=2,| b |=1, a 与 b 的夹角为 (1)求| a + b |;

? , 3

(2)求向量 m =2 a + b 与向量 n = a - 4 b 的夹角的余弦值。

20. (12 分) △ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a,b,c, 已知 a,b,c 成等比数列, 且 cosB=

3 , 4

-3-

1 1 + 的值. tan A tan C 3 (2)设 BA ? BC = ,求 a+c 的值. 2
(1)求

21.(12 分)某村计划建造一个室内面积为 800 m 的矩形蔬菜温室,在温室内,沿左、右 两侧与后侧内墙各保留 1m 宽的通道,沿前侧内墙保留 3m 宽的空地。中间种植蔬菜,当矩形 温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?

2

22.(12 分)已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,且满足 a1 ? (1)求 an 和 Sn (2)求证: S1 + S 2 + S3 +...+ S n ?
2 2

1 , an +2 Sn S n ?1 =0( n ? 2 ) 2

2

2

1 1 ? 2 4n

-4-

重庆市第四十二中学校 2015—2016 学年度下期半期考试 高 2018 级(高一)数学试题答案

1---6: B A C A D C

7---12: B A B D C A

13.28

14. {x | x ? ?2或x ? 1}

15.-378 或 112

16. ?

77 2

17.(10 分)解:∵ x 2 ? x ? 6 ? ( x ? 2)(x ? 3) ? 0 ∴ x ? ?3 或 x ? 2 ∴ A ? {x| x ? ?3 或 x ? 2 }…………………4 分

2x ? 1 2x ? 1 ? 1, ?1 ? 0 x?2 x?2

x?3 ? 0 ? ?3 ? x ? 2 x?2

∴ B ? ?x | ?3 ? x ? 2?………………………8 分

A U B ={x| x ? ?3 或 x ? 2 } U ?x | ?3 ? x ? 2?={x| x ? R 且 x ? 2 }……10 分
18.(12 分)解: (1)设 {an } 的公比为 q 由已知得 16 ? 2q ,解得 q ? 2
3

an ? a1 ? qn?1 ? 2 ? 2n?1 ? 2n ……………5 分
(2)由(I)得 a2 ? 8 , a5 ? 32 ,则 b3 ? 8 , b5 ? 32 设 {bn } 的公差为 d ,则有 ?

?b1 ? 2d ? 8 ?b1 ? ?16 解得 ? …………8 分 ?d ? 12 ?b1 ? 4d ? 32

从而 bn ? ?16 ? 12(n ? 1) ? 12n ? 28 ………10 分

n(?16 ? 12n ? 28) ? 6n 2 ? 22n ………12 分 2 ? ? 19.(12 分) (1) a b =| a || b |·cos =2×1×cos =1 3 3
所以数列 {bn } 的前 n 项和 S n ? |a +b | = (a +b ) =a (2) m =(2 a + b ) =4 a
2 2 2 2 2 2

+2 a b + b
2

2

=7,所以| a + b |= 7 ………5 分

+4 a b + b

=21,所以| m |= 21 ………7 分

n 2 =( a -4 b ) 2 = a 2 -8 a b +16 b 2 =12,所以| n |= 2 3 ………9 分
2 2 ( a -4 b )=2 a -7 a b -4 b = -3………11 分 m n =(2 a + b )

-5-

设 m 与 n 的夹角为 ? ,则 cos ? =

m?n mn

=?

7 14

所以向量 m 与向量 n 的夹角的余弦值为 ?

7 .………12 分 14

20.(12 分) (1)由 cosB=

3 7 2 2 ,得到 sinB= ,由 b =ac 得到 sin B=sinAsinC. 4 4

所以

1 1 cos A cos C sin C cos A ? cos C sin A sin( A ? C ) + = + = = tan A tan C sin A sin C sin 2 B sin A sin C

=

sin B 1 4 7 ………6 分 ? ? 2 sin B sin B 7

(2)由 BA ? BC =
2

3 3 3 2 得到 ca·cosB= ,cosB= ,所以 ca=2,即 b =2………8 分 2 2 4
2 2 2 2

由余弦定理 b =a +c -2ac·cosB=(a+c) -2ac-2ac·cosB=(a+c) -4-3=2 所以(a+c) =9,a+c=3………12 分 21.(12 分)解:设矩形横长为 xm 所以 y= 竖长为 ym
2

2

所以 xy=800m

2

800 x

设种植蔬菜面积为 Sm ………3 分

则 S=(x-2)(y-4)=xy-2y-4x+8=808-(

1600 1600 +4x) ? 808? 2 ? 4 x =808-160=648m2, x x

当且仅当

1600 2 =4x 时取等号 , 即 x=20m y=40m 时,种植蔬菜面积最大,最大值是 648m x

………12 分

22. (12 分) (1) n=1 时,S1 ? a1 ?

1 1 1 ,n ? 2 时,an = Sn - S n ?1 =-2 Sn S n ?1 , 所以 ? ?2 2 S n S n?1

所以数列{

1 1 1 }是以 =2 为首项,公差为 2 的等差数列.所以 =2+(n-1) ·2=2n ……2 分 Sn S1 Sn

即 Sn =

1 1 1 ,当 n ? 2 时, an =-2 Sn S n ?1 = ? ,当 n=1 时, S1 ? a1 ? ,不满足上式 2n 2 2n(n ? 1)

-6-

?1 ? ,n ?1 所以 an = ? 2 ………5 分 ? 1 ?? , (n ? 2) ? ? 2n(n ? 1)

(2)当 n=1 时, S1 =

1 1 1 ? ? ,原式成立。 ………6 分 4 2 4 ?1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 当 n ? 2 时 , S1 + S 2 + S3 +...+ S n = + + +...+ = 2 2 2 4 4 4? 2 4?3 4? n
2

(1+

1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 + 2 +...+ 2 ) ? ?1 ? = (1+1- )= ? ? ? ... ? 2 ? 4 ? 1? 2 2 ? 3 n 2 3 n 2 4n (n ? 1)n ? 4
2 2

所以 S1 + S 2 + S3 +...+ S n ?

2

2

1 1 ? ………12 分 2 4n

-7-


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