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《高中数学》必会基础练习题__《导数》

《数学》必会基础题型——《导数》
【知识点】 1.导数公式: C ' ? 0
(e x ) ' ? e x ( x n )' ? nx n ?1
(a x )' ? a x ln a (sin x)' ? cos x (cos x)' ? ? sin x

(ln x)' ?

1 x

(log a x)' ?

1 x ln a

2.运算法则: (u ? v)' ? u ' ? v '

(u ? v)' ? u ' ? v '

(uv)' ? u 'v ? uv '

u u 'v ? uv ' ( )' ? v v2

3.复合函数的求导法则: (整体代换)例如:已知 f ( x) ? 3sin 2 (2 x ? ) ,求 f ' ( x) 。 3 解: f ' ( x) ? 3 ? 2sin(2 x ? ) ? [sin(2 x ? )]' ? 6sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? )(2 x ? )' 3 3 3 3 3

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? 2? ? 6sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) ? 2 ? 12sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) ? 6sin(4 x ? ) 3 3 3 3 3

4.导数的物理意义:位移的导数是速度,速度的导数是加速度。 5.导数的几何意义:导数就是切线斜率。 6.用导数求单调区间、 极值、 最值、 零点个数: 对于给定区间 [a, b] 内, 若 f ' ( x) ? 0 , 则 f ( x) 在 [a, b] 内是增函数;若 f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x) 在 [a, b] 内是减函数。 【题型一】求函数的导数 ln x ? (1) y ? (2) y ? 2sin(3x ? ) x 4 (4) y ? 2 x ? 3x ? 5
3

(3) y ? e x ( x 2 ? 1)
1 1 (6) y ? x( x 2 ? ? 2 ) x x

x 2 ? 3x (5) y ? x ?1

【题型二】导数的物理意义的应用 1.一杯 90? C 红茶置于 25? C 的房间里, 它的温度会不断下降, 设温度 T 与时间 t 的
1

关系是函数 T ? f (t ) ,则 f ' (t ) 符号为 是

。 f ' (3) ? ?2 的实际意义 。

2 2.已知物体的运动方程为 s ? 3t 2 ? ( t 是时间,s 是位移) , 则物体在时刻 t ? 2 时 t 的速度为 。 【题型三】导数与切线方程(导数的几何意义的应用)

3.曲线 y ? x3 ? x ? 2 在点 A(2,8) 处的切线方程是 4.若 B(1, m) 是 y ? x3 ? x ? 2 上的点,则曲线在点 B 处的切线方程是

。 。 。 。

5.若 y ? x3 ? x ? 2 在 P 处的切线平行于直线 y ? 7 x ? 1 ,则点 P 的坐标是 6.若 y ?
x2 ? 3ln x 的一条切线垂直于直线 2 x ? y ? m ? 0 ,则切点坐标为 4

7.函数 y ? ax 2 ? 1 的图象与直线 y ? x 相切, 则 a ? 8.已知曲线 y ?

。 。

x ?1 在 (3, 2) 处的切线与 ax ? y ? m ? 0 垂直,则 a ? x ?1

9.已知直线 y ? x ? m 与曲线 y ? x3 ? x 2 ? 1 相切,求切点 P 的坐标及参数 m 的值。 10.若曲线 y ? h( x) 在点( a, h(a) )处切线方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 ,那么( ) ' ' ' ' A. h (a) ? 0 B. h (a) ? 0 C. h (a) ? 0 D. h (a ) 的符号不定 3 2 11.曲线 y ? x ? 3x ? 6 x ? 4 的所有切线中, 斜率最小的切线的方程是 。 12.求曲线 y ? ? x3 ? 3x 2 ? 1 过点 (1,1) 和 (2,5) 的切线方程。 【易错题】

2

【题型四】导数与单调区间 13.函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 1 的减区间为 14.函数 y ? x n e ? x (n ? 0, x ? 0) 的单调递增区间为 15.判断函数 y ? x cos x ? sin x 在下面哪个区间内是增函数( ) 。 。

? 3? ? ? A. ( , ) B. (? , ) C. (? , 2? ) D. (0, ? ) 2 2 2 2 16.已知函数 y ? 3x3 ? 2 x 2 ? 1 在区间 (m, 0) 上为减函数, 则 m 的取值范围是



【题型五】导数与极值、最值 17.函数 y ? x3 ? 12 x ? 5 在 x ? 时取得极大值 , 在x? 时取得极小值 。 。

18.函数 f ( x) ? x3 ? 2 x 2 ? 3 在 [?1,1] 上的最大值是 19.函数 y ? x ? x( x ? 0) 的最大值为 。

,与最小值是

20.函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? 3x ? 9 在 x ? ?3 时取得极值, 则 a ?



21.已知 f ( x) ? 2 x 3 ? 6 x 2 ? a(a 为常数 )在 [?2,2] 上有最大值是 3, 那么 [?2,2] 在 上的最小值是 。
15 , 则a ? 4

22.已知函数 y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 在区间 [a, 2] 上的最大值为
? ? ?? 23.函数 y ? sin 2 x ? x, x ? ?? , ? 的最大值是 ? 2 2?

。 。

,最小值是

24.若 f ( x) ? x 3 ? 3ax 2 ? 3(a ? 2) x ? 1 既有极大值又有极小值,求 a 的取值范围。

3

【题型六】导数与零点,恒成立问题 零点定理: 若函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上满足 f (a) ? f (b) ? 0 , 则 f ( x) 在区间 [a, b] 上 是至少有一个零点。 (即 f ( x) ? 0 在区间 [a, b] 上是至少有一个解) 25.判断函数 f ( x) ? log 2 ( x ? 2) ? x 在 [1,3] 上是否存在零点? 26.已知 x ?[?1,3] ,且 a ? x 4 ? 4 x 3 ? 4 x 2 ? 1 恒成立,则 a 的最大值为 27.证明 ln x ? x ( x ? 0) 恒成立。 练习:证明 e x ? x ( x ? 0) 恒成立 。

1 28.已知函数 f ( x) ? x3 ? x 2 ? 2 x ? c , 若对于 x ?[?1, 2] , 不等式 f ( x) ? c 2 恒成立, 2 求 c 的取值范围。

29.若函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? a 有 3 个不同的零点,求实数 a 的取值范围。

30.是否存在实数 m , 使得函数 f ( x) ? ? x 2 ? 8x 与 g ( x) ? 6ln x ? m 的图像有且只有 三个不同的交点?若存在求出 m 的范围,若不存在说明理由。

4

【题型七】综合应用题 31.已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? mx 3 ? 3(m ? 1) x 2 ? nx ? 1 (m ? 0) 的一个极值点, (1)求 m 与 n 的关系式; (2)求 f ( x) 的单调区间; (3) 当 x ?[?1,1] 时, 函数 y ? f ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m , 求 m 的取值范围。

32.已知某工厂生产 x 件产品的成本为 c ? 25000 ? 200 x ?

1 2 x 元, 40

(1)要使平均成本最低,应生产多少件产品? (2)若产品以每件 500 元售出,要使利润最大,应生产多少件产品?

5


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