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二○○四年湖南省高中数学竞赛试题


二○○四年湖南省高中数学竞赛试题 ○○四年湖南省高中数学竞赛试题
个小题; 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:(本大题共 10 个小题;每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 有且只 选择题: 有一项是符合题目要求的) 有一项是符合题目要求的) 1.已知函数 f(x)是 R 上的奇函数,g(x)是 R 上的偶函数,若 f ( x) ? g ( x) = x + 9 x + 12 ,则
2

A.

3 2
0.5

B.

6 2

C.

2 3 3

D.

2 6 3
( )

9.设 x = 0.82 A.x<y<z

, y = sin 1, z = log 3 7 ,则 x、y、z 的大小关系为
B.y<z<x C.z<x<y

D. z<y<x

f ( x ) + g ( x) =
A. ? x + 9 x ? 12
2

(

)
2

10.如果一元二次方程 x 2 ? 2( a ? 3) x ? b 2 + 9 = 0 中,a、b 分别是投掷骰子所得的数字,则该二 C. ? x ? 9 x + 12 D. x ? 9 x + 12
2 2

B. x + 9 x ? 12

次方程有两个正根的概率 P= A.

(

) C.

2.有四个函数: ① y=sinx+cosx 其中在 (0, A.① 3.方程 x + x ? 1 = xπ
2

1 18

B.

1 9

1 6

D.

13 18

② y= sinx-cosx (

③ y= sin x ? cos x ) C.①和③

④ y=

π
2

sin x cos x

个小题, 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 8 分,共 32 分) 填空题( 11.设 P 是椭圆

) 上为单调增函数的是
B.②
x 2 ?1

D.②和④

x2 y2 + = 1 上异于长轴端点的任意一点,F1、F2 分别是其左、右焦点,O 为中心, 16 9

+ ( x 2 ? 1)π x 的解集为 A(其中π为无理数,π=3.141…,x 为实数),则
( ) C.2 D.4

则 | PF1 | ? | PF2 | + | OP | 2 = ___________. 12.已知△ABC 中, AB = a, AC = b ,试用 a 、 b 的向量运算式子表示△ABC 的面积,即 S△ABC= ____________________. 13.从 3 名男生和 n 名女生中,任选 3 人参加比赛,已知 3 人中至少有 1 名女生的概率为

A 中所有元素的平方和等于 A.0 B.1

4.已知点 P(x,y)满足 ( x ? 4 cos θ ) 2 + ( y ? 4 sin θ ) 2 = 4 (θ ∈ R ) ,则点 P(x,y)所在区域的面积为 A.36π B.32π C.20π D.16π ( ) 5.将 10 个相同的小球装入 3 个编号为 1、2、3 的盒子(每次要把 10 个球装完),要求每个盒子里球 的个数不少于盒子的编号数,这样的装法种数为 ( ) A.9 B.12 C.15 D.18 6.已知数列{ a n }为等差数列,且 S5=28,S10=36,则 S15 等于 ( A.80 7.已知曲线 C: y = A. (? 2 ? 1, 2 ) B.40
2

34 ,则 35

n=__________. 14.有 10 名乒乓球选手进行单循环赛,比赛结果显示,没有和局,且任意 5 人中既有 1 人胜其余 4 人,又有 1 人负其余 4 人,则恰好胜了两场的人数为____________个. 个小题,15三、解答题(本大题共 5 个小题,15-17 题每小题 12 分,18 题、19 题每小题 16 分,共 68 分) 解答题( 15.对于函数 f(x),若 f(x)=x,则称 x 为 f(x)的“不动点” ,若 f ( f ( x )) = x ,则称 x 为 f(x)的“稳

) D.-48 )

C.24

? x ? 2 x 与直线 l : x + y ? m = 0 有两个交点,则 m 的取值范围是 (
B. ( ?2, 2 ? 1) C. [0, 2 ? 1) D. (0, 2 ? 1)

定点” ,函数 f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为 A 和 B,即 A = {x | f ( x ) = x }

8.过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的对角线 BD1 的截面面积为 S,Smax 和 Smin 分别为 S 的最大值和最小

B = {x | f [ f ( x)] = x} .
(1). 求证:A ? B

S 值,则 max 的值为 S min

(

)

(2).若 f ( x ) = ax 2 ? 1 ( a ∈ R, x ∈ R ) ,且 A = B ≠ φ ,求实数 a 的取值范围.

18.在周长为定值的△ABC 中,已知|AB|=6,且当顶点 C 位于定点 P 时,cosC 有最小值为 (1).建立适当的坐标系,求顶点 C 的轨迹方程. 16.某制衣车间有 A、B、C、D 共 4 个组,各组每天生产上衣或裤子的能力如下表,现在上衣及裤子 要配套生产(一件上衣及一条裤子为一套),问在 7 天内,这 4 个组最多能生产多少套? 组 上衣(件) 裤子(条) A 8 10 B 9 12 C 7 11 D 6 7 (2).过点 A 作直线与(1)中的曲线交于 M、N 两点,求 | BM | ? | BN | 的最小值的集合.

7 . 25

17.设数列 {a n } 满足条件: a1 = 1, a 2 = 2 ,且 a n + 2 = a n +1 + a n ( n = 1, 2, 3, ? ) 求证:对于任何正整数 n,都有
n

19.已知三棱锥 O-ABC 的三条侧棱 OA、OB、OC 两两垂直,P 是底面△ABC 内的任一点,OP 与三 侧面所成的角分别为α、β、 γ . 求证:

π
2

a n +1 ≥ 1 +

1
n

< α + β + γ ≤ 3 arcsin

3 3

an

二○○四年湖南省高中数学竞赛试题参考答案 ○○四年湖南省高中数学竞赛试题参考答案
一、选择题: 选择题: 填空题: 二、填空题: 11. 25 12. ADCBC CCCBA

由①知 D 组做上衣效率最高,C 组做裤子效率最高,于是,设 A 组做 x 天上衣,其余(7-x)天做裤 子;B 组做 y 天上衣,其余(7-y)天做裤子;D 组做 7 天上衣,C 组做 7 天裤子. 则四个组 7 天共生产上衣 6×7+8x+9y (件);生产裤子 11×7+10(7-x)+12(7-y) (条) 依题意,有 42+8x+9y=77+10(7-x)+12(7-y),即

y =9?

6x . 7

1 (| a | ? | b |) 2 ? (a ? b) 2 2

13.

4

14. 1

令 μ= 42+8x+9y=42+8x+9( 9 ?

6x 2 )=123+ x 7 7

三、解答题: 解答题: 15.证明(1).若 A=φ,则 A ? B 显然成立; 若 A≠φ,设 t∈A,则 f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即 t∈B,从而 A ? B. 解 (2):A 中元素是方程 f(x)=x 即 ax ?1 = x 的实根.
2

因为 0≤x≤7,所以,当 x=7 时,此时 y=3, μ取得最大值,即μmax=125. 因此,安排 A、D 组都做 7 天上衣,C 组做 7 天裤子,B 组做 3 天上衣,4 天裤子,这样做的套数最 多,为 125 套. 17.证明:令 a 0 = 1 ,则有 a k +1 = a k + a k ?1 ,且
n ak a + ∑ k ?1 ∑ a k =1 a k =1 k +1 k +1 n

1=

ak a + k ?1 (k = 1, 2, ?) a k +1 a k +1

由 A≠φ,知 a=0 或 ?

a≠0 ?? = 1 + 4 a ≥ 0 ?



a≥?

1 4

于是 n =

B 中元素是方程 a ( ax 2 ? 1) 2 ? 1 = x 即
2

a 3 x 4 ? 2a 2 x 2 ? x + a ? 1 = 0 的实根

由算术-几何平均值不等式,可得

由 A ? B,知上方程左边含有一个因式 ax ? x ? 1 ,即方程可化为

1≥ n

a a a a a1 a 2 ? ? ? ? n + n 0 ? 1 ? ? ? n ?1 a 2 a3 a n +1 a 2 a3 a n+1
a 0 = a1 = 1 ,可知
+

(ax 2 ? x ? 1)(a 2 x 2 + ax ? a + 1) = 0
因此,要 A=B,即要方程 要么没有实根,要么实根是方程

注意到 ① ② 的根.

a 2 x 2 + ax ? a + 1 = 0 ax ? x ? 1 = 0
2

1≥

1
n

1
n

,即

n

a n+1

a n a n+1

a n +1 ≥ 1 +

1
n

an

若①没有实根,则 ? 2 = a 2 ? 4a 2 (1 ? a ) < 0 ,由此解得
2 2

a<

3 4

18.解: 以 AB 所在直线为 x 轴, (1) 线段 AB 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系, |CA|+|CB|=2a(a>3) 设 为定值,所以 C 点的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆,所以焦距 2c=|AB|=6.

若①有实根且①的实根是②的实根,则由②有 a x = ax + a ,代入①有 2ax+1=0.

| CA | 2 + | CB | 2 ?6 2 (| CA | + | CB |) 2 ? 2 | CA || CB | ?36 2a 2 ? 18 因为 cos C = = = ?1 2 | CA || CB | 2 | CA || CB | | CA || CB |
又 | CA | ? | CB |≤ (

1 1 1 ,再代入②得 + ? 1 = 0, 由此解得 2a 4a 2a 1 3 [? , ] 故 a 的取值范围是 4 4
由此解得 x = ?

a=

3 . 4

2a 2 18 18 7 2 ) = a 2 ,所以 cos C ≥ 1 ? 2 ,由题意得 1 ? 2 = , a = 25 . 2 25 a a x2 y2 + = 1 ( y ≠ 0) 25 16
0

此时,|PA|=|PB|,P 点坐标为 P(0,±4). 所以 C 点的轨迹方程为

8 9 7 6 16.解:A、B、C、D 四个组每天生产上衣与裤子的数量比分别是: , , , ,且 10 12 11 7 6 8 9 7 > > > ① 7 10 12 11
只能让每天生产上衣效率最高的组做上衣,生产裤子效率最高的组做裤子,才能使做的套数最多.

(2) 不妨设 A 点坐标为 A(-3,0),M(x1,y1),N(x2,y2).当直线 MN 的倾斜角不为 90 时,设其方

1 k2 2 3 2 9k 2 程为 y=k(x+3) 代入椭圆方程化简,得 ( + )x + k x + ( ? 1) = 0 25 16 8 16
显然有 △≥0, 所以 x1 + x 2 = ? 而由椭圆第二定义可得

另一方面,不妨设 α ≥ β ≥ γ ,则 sin α ≥

3 3 , sin γ ≤ 3 3

150k 2 225k 2 ? 400 , x1 x 2 = 16 + 25k 2 16 + 25k 2

令 sin α 1 = 则

3 3 , sin γ 1 = 1 ? ( ) 2 ? sin 2 β , 3 3

sin 2 α 1 + sin 2 β + sin 2 γ 1 = 1

3 3 9 | BM | ? | BN |= (5 ? x1 )(5 ? x 2 ) = 25 ? 3( x1 + x 2 ) + x1 x 2 5 5 25 450k 2 81k 2 ? 144 531k 2 ? 144 531 = 25 + + = 25 + = 25 + ? 2 2 2 25 16 + 25k 16 + 25k 16 + 25k k2 ? 144 531 16 k2 + 25

sin 2 β = cos(α + γ ) cos(α ? γ ) = cos(α 1 + γ 1 ) cos(α 1 ? γ 1 )
因为

α 1 ? γ 1 ≤ α ? γ ,所以 cos(α 1 ? γ 1 ) ≥ cos(α ? γ )

所以 cos(α + γ ) ≥ cos(α 1 + γ 1 ) 所以

144 16 144 + 531 的最小值,即考虑 1 ? 25 531 取最小值,显然. 只要考虑 16 16 k2 + k2 + 25 25 k2 ?
当 k=0 时, | BM | ? | BN | 取最小值 16. 当直线 MN 的倾斜角为 90 时,x1=x2=-3,得 | BM | ? | BN |= (
0

α + γ ≤ α1 + γ 1

如果运用调整法,只要α、β、 γ 不全相等,总可通过调整,使 α 1 + β 1 + γ 1 增大. 所以,当α=β= γ = arcsin

34 2 ) > 16 5
综上可知,

3 3 时,α+β+ γ 取最大值 3 arcsin . 3 3 3 3

π
2



x y + = 1 ( y ≠ 0) ,故 k ≠ 0 ,这样的 M、N 不存在,即 | BM | ? | BN | 的最小值的集 25 16

2

2

< α + β + γ ≤ 3 arcsin

合为空集. 19.证明:由 题意可得

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 1 ,且α、β、 γ ∈ (0, ) 2 1 2 2 2 所以 sin α = 1 ? sin β ? sin γ = (cos 2 β + cos 2γ ) = cos( β + γ ) cos( β ? γ ) 2
2 2 2

π

因为 cos( β ? γ ) > cos( β + γ ) ,所以 sin α > cos ( β + γ ) = sin [ 当β +γ ≥ 当β +γ < 故

π

π π
2 2

时, α + β + γ > 时, α >

π
2

2

? ( β + γ )]

.

π
2

? ( β + γ ) ,同样有 α + β + γ >

π
2

α + β +γ >

π
2


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