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高中数学 第三章 函数的应用章末总结课件 新人教A版必修1_图文

章末总结

网络建构

知识辨析

判断下列说法是否正确(请在括号中填“√”或“×”) 1.函数的零点是一个点的坐标.( × )

2.若函数y=f(x)在(a,b)内有零点,则f(a)·f(b)<0.( × )

3.二次函数一定有零点.( × )

4.若方程f(x)=0有两个不等实根x1,x2,则函数y=f(x)的零点为(x1,0), (x2,0).( × ) 5.所有函数的零点都可以用二分法来求.( × )

6.函数y=x2比y=2x增长的速度更快些.( × ) 7.当x很大时,函数y= 1 ·2x的增长速度比y=x200增长速度快.(
1000

√)

题型探究 真题体验

题型探究·素养提升

一、函数零点的判断

【典例1】 (1)(2018·宾阳中学高一期中)函数f(x)=ln(x+1)- 2 的零点所

在的大致区间是( )

x

(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4)

解析:(1)因为 f(x)在(0,+∞)上是增函数, f(1)=ln(1+1)-2=ln 2-2<0, 而 f(2)=ln 3-1>ln e-1=0, 所以函数 f(x)=ln(x+1)- 2 的零点所在区间是(1,2).故选 B.
x

(2)(2018·大庆高一检测)已知实数a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(xb)(x-c)+(x-c)(x-a)( ) (A)仅一个零点且位于区间(c,+∞)内 (B)仅一个零点且位于区间(-∞,a)内 (C)有两个零点且分别位于区间(a,b)和(b,c)内 (D)有两个零点且分别位于区间(-∞,a)和(c,+∞)内
解析:(2)因为f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0, f(c)=(c-a)(c-b)>0, 所以在(a,b)及(b,c)区间都至少各有一个零点,即两个零点分别位于 (a,b)及(b,c)内.故选C.

规律方法 (1)利用函数的零点存在性定理判断函数零点所在区间. (2)利用函数的单调性或数形结合思想判断函数零点的个数.

变式训练1:(1)方程x-1=lg x必有一个根的区间是( )

(A)(0.1,0.2)

(B)(0.2,0.3)

(C)(0.3,0.4)

(D)(0.4,0.5)

(2)(2018·揭西县河婆中学高一期中)函数f(x)=log2x-4+2x的零点位于区间( ) (A)(3,4) (B)(0,1)

(C)(1,2) (D)(2,3)

解析:(1)设f(x)=lg x-x+1. 因为f(0.1)=lg 0.1-0.1+1=-0.1<0,f(0.2)=lg 0.2-0.2+1=lg 0.2+0.8>0, 所以函数y=f(x)在(0.1,0.2)内必有一根.故选A. (2)因为f(1)=log21-4+2×1=-2<0,f(2)=log22-4+2×2=1>0, 又在(1,2)上函数y=log2x-4+2x的图象是连续不断的一条曲线, 所以函数y=log2x+2x-4在区间(1,2)上存在零点.故选C.

二、函数零点的应用 【典例2】 函数f(x)=3ax+1-2a,在区间(-1,1)上存在一个零点,则a的取 值范围为( )
(A)(-∞,-1)∪( 1 ,+∞) 5
(B)( 1 ,+∞) 5
(C)(-1, 1 ) 5
(D)(-∞,-1 )

解析:由题意

?? ? ??

f f

? ?1? ?1? ?

? 0

0,



?? ? ??

f f

? ?1? ?1? ?

? 0, 0.



??3a ?1? 2a ? 0, ??3a ?1? 2a ? 0



??3a ?1? 2a ? 0, ??3a ?1? 2a ? 0,

整理得

?1 ? 5a ? 0, ??a ? 1 ? 0,



?1 ? 5a ? 0, ??a ?1 ? 0.

解得 a> 1 或 a<-1,故选 A. 5

规律方法 已知函数零点或方程根的个数求参数时常借助数形结合思 想及分类讨论思想求解,分类时要注意不重不漏.

变式训练2:(2017·大同高一期末)已知方程x2-4|x|+5=m有四个全不相等的

实根,则实数m的取值范围是

.

解析:设 f(x)=x2-4|x|+5,



f(x)=

??x2

? ??

x2

? ?

4x 4x

? ?

5, 5,

x x

? ?

0, 0,

作出 f(x)的图象,如图.

要使方程 x2-4|x|+5=m 有四个全不相等的实根,

需使函数 f(x)与 y=m 的图象有四个不同的交点,

由图象可知,1<m <5.
答案:(1,5)

三、已知函数模型解决实际问题
【典例 3】 已知火箭的起飞重量 M 是箭体(包括搭载的飞行器)的重量 m 和燃料 重量 x 之和.在不考虑空气阻力的条件下,假设火箭的最大速度 y 关于 x 的函数
关系式为 y=k[ln(m+x)-ln( 2 m)]+4ln 2(其中 k≠0).当燃料重量为( e -1)m 吨(e 为自然对数的底数,e≈2.72)时,该火箭的最大速度为 4 km/s. (1)求火箭的最大速度y(km/s)与燃料重量x(吨)之间的函数关系式y=f(x);
解:(1)依题意把 x=( e -1)m,y=4 代入函数关系式 y=k[ln(m+x)-ln( 2 m)]+4ln 2, 解得 k=8, 所以所求的函数关系 式为 y=8[ln(m+x)-ln( 2 m)]+4ln 2, 整理得 y=ln( m ? x )8.
m

(2)已知该火箭的起飞重量是544吨,则应装载多少吨燃料才能使该火箭的最 大飞行速度达到8 km/s,顺利地把飞船发送到预定的轨道?

解:(2)设应装载 x 吨燃料方能满足题意,此时 m=544-x,y=8,代入函数关系式

y=ln( m ? x )8 得 ln 544 =1,

m

544 ? x

解得 x≈344.即应装载 344 吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道.

规律方法 解决已给出函数模型的实际应用题,关键要分清函数类型, 并要注意相应函数定义域以及实际生活中自变量取值的限制条件,然后 结合所给模型,列出函数关系式;最后结合其实际意义作出解答.

四、函数模型的构建问题 【典例4】 一工厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价为60元, 该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100时,每多订购1个,订购的 全部零件的单价就降低0.02元,但最低出厂单价不低于51元. (1)一次订购量为多少个时,零件的实际出厂价恰好为51元?
解:(1)设一次订购量为 a 个时,零件的实际出厂价恰好为 51 元,则 a=100+ 60 ? 51 =550(个). 0.02

(2)设一次订购量为x个时零件的实际出厂价为p元,写出p=f(x).
解:(2)当 0<x≤100 时,p=60;
当 100<x<550 时,p=60-0.02(x-100)=62- x ; 50
当 x≥550 时,p=51.
?60,0 ? x ? 100, 所以 p=f(x)= ???62 ? x ,100 ? x ? 550, 其中 x∈N*.
? 50 ??51, x ? 550,

(3)当销售商一次订购量分别为500个,1 000个时,该工厂的利润分别为多 少?(一个零件的利润=一个零件的实际出厂价-一个零件成本)

解:(3)当销售商一次订购量为 x 个时,该工厂的利润为 y 元,则

?20x,0 ? x ? 100,

y=(p-40)x=

? ??22x

?

x2

,100

?

x

?

550,

其中

x∈N*.

?

50

??11x, x ? 550,

所以 x=500 时,y=6 000;x=1 000 时,y=11 000.

因此,当销售商一次订购 500 个零件时,该工厂的利润为 6 000 元,当一次订购 1 000

个时,该工厂的利润为 11 000 元.

规律方法 建立数学模型的步骤 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系; (2)建模:将文字语言中含有相等意义的关键词转化成数学语言,即用等 式表达,用数学知识建立相应的函数模型,即写出相关的函数解析式(注 意有关量的实际意义,即函数的定义域).

真题体验·素养升级

1.(2015·安徽卷)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( A )

(A)y=cos x

(B)y=sin x

(C)y=ln x

(D)y=x2+1

解析:y=cos x是偶函数,且存在零点; y=sin x是奇函数; y=ln x既不是奇函数又不是偶函数; y=x2+1是偶函数,但不存在零点.故选A.

2.(2016·天津卷)已知函数 f(x)=

??x2 ? ? ??loga

?4a ? 3? ? x ?1? ?

x? 1, x

3a, x ?0

?

0,

(a>0,且

a≠1)在

R

上单调递减,且关于

x

的方程|f(x)|=

2-x 恰有两个不相等的实数解,则 a 的取值范围是( C )

(A)(0, 2 ] 3

(B)[ 2 , 3 ] 34

(C)[ 1 , 2 ]∪{ 3 } (D)[ 1 , 2 )∪{ 3 }

33

4

33

4

解析:由 y=loga(x+1)+1 在[0,+∞)上递减, 得 0<a<1. 又由 f(x)在 R 上单调递减,

?02 ? ?4a ? 3? ? 0 ? 3a ? f ?0? ? 1,



? ? ??

3

? 4a 2

?

0

? 1 ≤a≤ 3 .

3

4

如图所示,在同一坐标系中作出函数 y=|f(x)|和 y=2-x 的图象.

由图象可知,在[0,+∞)上,|f(x)|=2-x 有且仅有一个解, 故在(-∞,0)上,|f(x)|=2-x 同样有且仅有一个解.

当 3a>2,即 a> 2 时, 3
由 x2+(4a-3)x+3a=2-x(其中 x<0), 得 x2+(4a-2)x+3a-2=0(其中 x<0),

则Δ=(4a-2)2-4(3a-2)=0,解得 a= 3 或 a=1(舍去); 4

当 1≤3a≤2,即 1 ≤a≤ 2 时,由图象可知,符合条件.

3

3

综上所述,a∈[ 1 , 2 ]∪{ 3 }.故选 C.

33

4

3.(2015·湖

南卷)已知函数

f(x)=

?? x3 ,

? ??

x2

,

x x

? ?

a, a.

若存在实数

b, 使函数

g(x)=f(x)-b

有两个零

点,则 a 的取值范围是

.

解析:当 a<0 时,若 x∈(a,+∞), 则 f(x)=x2,
当 b∈(0,a2)时,函数 g(x)=f(x)-b 有两个零点,分别是 x1=- b ,x2= b . 当 0≤a≤1 时,易知函数 y=f(x)-b 最多有一个零点. 当 a>1 时,f(x)的图象如图所示,
当 b∈(a2,a3]时,函数 g(x)=f(x)-b 有两个零点,分别是 x3= 3 b ,x4= b . 综上,a∈(-∞, 0)∪(1,+∞).
答案:(-∞,0)∪(1,+∞)

4.(2015·四川卷)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函 数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保 鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是 小时.
解析:由已知条件得 192=eb,所以 b=ln 192. 又 48=e22k+b=e 22k+ln 192=192e22k=192(e11k) 2,

1

1

所以

e11k=

? 48 ?? 192

?2 ??

=

? ??

1 4

?2 ??

=

1 2

.

设该食品在 33 ℃的保鲜时间是 t 小时,

则 t=e33k+ln 192 =192e33k=192(e11k)3=192× ( 1 )3=24.

答案:24

2

5.(2017·江苏卷)设

f(x)是定义在

R

上且周期为

1

的函数,在区间[0,1)上,f(x)=

?? ?

x2

,

x

?

D,

其中

??x, x ? D

集合 D={x|x= n ? 1 ,n∈N*},则方程 f(x)-lg x=0 的解的个数是

.

n

解析:由于 f(x)∈[0,1),则只需考虑 1≤x<10 的情况.

在此范围内,当 x∈Q 且 x?Z 时,设 x= q ,p,q∈N*,p≥2 且 p,q 互质, p

若 lg x∈Q,则由 lg x∈(0,1),

可设 lg x = n ,m,n∈N*,m≥2 且 m,n 互质, m

n
因此 10 m

=

q

,则

10n=(

q

)m,此时左边为整数,右边为非整数,矛盾,

p

p

因此 lg x?Q,因此 lg x 不可能与每个周期内 x∈D 对应的部分相等,

只需考虑 lg x 与每个周期 x?D 部分的交点.

画出函数草图.图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数,属于每个周期 x? D 部分, 且 x=1 处(lg x)'= 1 = 1 <1,则在 x=1 附近仅有一个交点,
x ln10 ln10 因此方程解的个数为 8.
答案:8


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