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2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第8章第48讲两条直线的位置关系_图文

1.如果直线ax ? 2y ? 2 ? 0与直线3x ? y ? 2 ? 0垂直,

则实数a的值是 2 3
解析:易知直线ax ? 2y ? 2 ? 0的斜率是 ? a ,直线 2
3x ? y ? 2 ? 0斜率是3.

依题意,有(? a ) ? 3 ? ?1,所以a ? 2 .

2

3

2.(2010 ?南京模拟)过点?1, 0?且与直线2x ? y ? 4 ? 0
平行的直线方程是  2x ? y ? 2 ? 0  . 
3.直线x ? 2y ?1 ? 0关于直线x ? 1对称的直线方程是
 x ? 2y ? 3 ? 0 .
解析:设所求直线上任意一点(x,y),则它关于x ? 1对称点为(2 ? x,y)在直线x ? 2y ?1 ? 0上,所以2 ? x ? 2y ?1 ? 0化简得x ? 2y ? 3 ? 0.

4.已知定点A?0,1?,点B在直线x ? y ? 0上运动,

当线段AB最短时,点B的坐标是  (? 1,1)   . 22

解析:当直线AB与直线x ? y ? 0垂直时,线 段AB最短,
所以直线AB的斜率是1. 由点斜式得直线AB的方程为y ? x ? 1.



?x

? ?

y

? ?

y x

? ?

0,得B(? 1

1 2

,1 2

).

5.已知点A(1,? 2),B?5,6?到直线l:ax ? y ?1 ? 0
的距离相等,则实数a的值等于 ? 2或 ?1   .
解析:因为点A(1,? 2),B ?5,6?到直线l:ax ? y
?1 ? 0的距离相等, 所以直线AB与直线l平行或AB的中点在直线
l上, 所以 ? a ? 6 ? ??2? 或3a ? 2 ? 1 ? 0, 5 ?1 解得a ? ?2或a ? ?1.

两直线的位置关系
【例1】 已知两直线l1:(a-1)x+(a+1)y+1=0,l2: ax+(a-1)y+2=0,则当a为何值时, (1)l1∥l2; (2)l1⊥l2?

【解析】方法1:当a=1时,直线l1的方程为y=-

1 2

直线l2的方程为x=-2,显然l1 ? l2;

当a=-1时,直线l1的方程为x=

1 2

,直线l2的方程

为x+2y-2=0,l1与l2不平行也不垂直;

当a=0时,直线l1的方程为-x+y+1=0,直线l2的 方程为y=2,l1与l2不平行也不垂直;

当a

?

1且a

?

-1且a

?

0时,直线l1的斜率为11

? ?

a a



直线l2的斜率为1

a ?

a

?1?

欲使l1

/

/l2,必须

1 1

? ?

a a

= 1

a ?

a

,解得a=

1 3

即当a=

1 3

时,l1

/

/l2

.

?2?

欲使l1

?

l2,必须

1 1

? ?

a a

?a 1? a

=-1,解得a=-

1 2

即当a=1和a=-

1 2

时,l1

?

l2 .

方法2:?1?l1 / /l2
(a-1)2-(a+a)a=0,即-3a+1=0,得a=1 3
(2)l1 ? l2 (a-1)a+(a+1)(a-1)=0,即2a2-a-1=0,解
得a=-1或a=- 1 2

本题是由两直线的位置关系,确定参数
的取值问题.一般地,若直线l1与l2的方程分 别为A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0,则 l1∥l2 A1B2 - A2B1 = 0 , 且 A1C2 - A2C1≠0 , l1⊥l2 A1A2+B1B2=0.如果记住了这两个结论, 就可以避免讨论.

【变式练习1】
集合A={(x,y) | y ? 3=a+1}, x?2
B={(x,y) | (a2-1)x+(a-1) y=15}, 当a为何值时,A B=?

【解析】注意到集合A表示直线(a+1) x-y-2a+1
=0(除去点? 2, 3?),
故两直线平行,则应有(a2-1) ? (-1)=(a-1) ? (a+1),
所以a=? 1,若直线B过?2,3?点, 则将点?2,3?代入(a2-1)x+(a-1) y=15,
得a=-4或 5 2
综上,当a=? 1,或a=-4或 5时,A ? B=? 2

对称问题
【例2】 一条光线经过点P(2,3),射在直线l:x+y+1 =0上,反射后穿过点Q(1,1). (1)求光线的入射光线方程; (2)求这条光线从P到Q的长度.

【解析】先求出Q关于直线l 的对称点Q′的坐标,从而 可确定过PQ′的直线方程. (1)设点Q′(x′,y′)为Q关 于直线l的对称点,且QQ′交l于M点,因为kl= -1,所以kQQ′=1, 所以QQ′所在直线方程为x-y=0.

由 ??? xx

? ?

y y

?1? ?0

0

得点M

坐标为(?

1 2

,

?

1 ),又因为M 2

为QQ?中点,

? 故由???
? ??

1 2 1 2

(1 (1

? ?

x y

') ')

? ?

? ?

1 2 1 2

, Q?(-2,-2).

设入射光线与l交点为N,且P,N,Q?共线,

得入射光线方程为 y ? 2 ? x ? 2,即5x-4y+2=0. 3?2 2?2
?2?因为l是QQ?的垂直平分线,因而:NQ =| NQ? |,所以

PN + NQ = PN +| NQ? |=| PQ?= ?3 ? 2?2 ? ?2 ? 2?2= 41

即这条光线从P到Q的长度是 41

无论是求曲线关于直线的对称方程, 还是解答涉及对称性的问题,关键在于 掌握点关于直线的对称点的求法.

【变式练习2】 有一条光线从点A(-2,1)射到直线l:x- y=0上后再反射到点B(3,4),求反射光 线的方程.

【解析】设点A关于直线l的对称点A?的坐标为(a,b),

则有

? ?? ? ? ??

b ?1 a?2 a?2
2

?1 ? ?1 ? b?1 ?
2

,解得 0

?a ??b

? ?

1 ?2

即A?的坐标为(1,-2),又反射光线经过点B,

则得反射光线的方程为3x-y-5=0.

直线过定点问题
【例3】 当实数a变化时,直线l1:(2a+1)x+(a+1)y+(a-1) =0与直线l2:m2x+2y+2n-6=0都过同一个定点. (1)当实数m、n变化时,求P(m,n)所在曲线C的方程; (2)过点(-2,0)的直线l与(1)中所求曲线C交于E、F两点, 又过E、F作曲线C的切线l1、l2,当l1⊥l2时,求直线l 的方程.

【解析】?1? l1:(2x+y+1)a+( x+y-1)=0.



?2 ?? x

x? ?y

y ?1 ? 0,得 ?1? 0

? ? ?

x y

? ?

?2, 3

所以直线l1过点(-2, 3).

因为点(-2, 3)在直线l2上,

所以-2m2+6+2n-6=0,

所以n=m2,即点P在曲线C:y=x2上.

所以曲线C的方程为y=x2.

?2?设直线l的方程为y=k(x+2),E(x1,y1),F (x2,y2 )

因为y=x2,所以y?=2x,所以两切线的斜率为2x1、2x2.

由??x2 ? y

,得x2-kx-2k=0.

? y ? k(x ? 2)

则?=k 2+8k ? 0,x1+x2=k,x1x2=-2k.

当l1

?

l2时,2x1

g2x2=-1,所以-8k=-1,得k=

1 8

符合? ? 0.

所以直线l的方程为y=1 (x+2),即x-8y+2=0. 8

(1) 对 求 动 直 线 过 定 点 的 问 题 , 也 可 以对参数a取两个不同值后得到的两直线, 求出它们的交点,得到定点坐标;
(2)曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线l 的斜率k=f'(x0).

【变式练习3】 已知直线l:(2a+b)x+(a+b)y+a-b=0及点 P(3,4). (1)证明直线l过某定点,并求该定点的坐标; (2)当点P到直线l的距离最大时,求直线l的方 程.

【解析】?1? 将直线l的方程化为:a(2x+y+1)+b(x+

y-1)=0,所以无论a,b如何变化,该直线系都恒

过直线2x+y+1=0与直线x+y-1=0的交点.

由 ???2x x??y y??11??00,得

?x

? ?

y

? ?

?2 3

所以直线l过定点Q(-2, 3)

?2?当l ? PQ时,点P到直线l的距离最大,

此时直线l的斜率为-5,

所以直线l的方程为y-3=-5( x+2), 即5x+y+7=0.

1. 设 A = {(x , y)|y = - 4x + 6} , B = {(x , y)|y=3x-8},则A∩B=__{_(_2_,__-__2_)_} __

【解析】A

B={(

x,y)

|

? ? ?

y y

? ?

?4x ? 3x ? 8

6 }

={(2,-2)}

2.已知直线l1:x+ay+6=0和l2:(a-2)x+ 3y + 2a = 0 , 则 l1∥l2 的 充 要 条 件 是 a = ____-__1____.
【解析】根据题意得 ???2aa(a??62()a??32), 解得a=-1.

3.点P(x,y)在直线x ? y ? 4 ? 0上,则x2 ? y2的最
小值是 8  .
解析:x2 ? y2可看成原点到直线上的点的距离 的平方,垂直时最短:d ? | ?4 | ? 2 2,d 2 ? 8.
2

4.已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分 线所在的直线,若A、B的坐标分别是 A(-4,2)、B(3,1),求点C的坐标,并判 断△ABC的形状.

【解析】设A(-4, 2)关于直线y=2x对称的点

为M (x,y),

则由????2 ? ???2 ?

x
y x

?4 2 ?2 ?4

? ?

y? 2
?1

4

?

0 ,

解得

?x

? ?

y

? ?

4 ,即M ?2

(4,-2).

由几何知识知,M 应在直线BC上.

由两点式得直线BC的方程为

y ?1 ? x ? 3 ,即3x+y-10=0. ?2 ?1 4 ? 3

解方程组

?3x+y-10=0 ??y ? 2x

,

得C点的坐标为?

2,

4?.

因为 AB 2 =(3+4)2+(1-2)2=50,

AC 2 =(2+4)2+(4-2)2=40,

BC 2 =(3-2)2+(1-4)2=10,

所以 AC 2 + BC 2 = AB 2 ,

即VABC是直角三角形,且?C=90?.

5.已知三条直线l1:2x-y+a=0?a ? 0?,直线l2:
-4x+2y+1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1与l2 的距离是 7 5
10

?1? 求a的值;

? 2 ? 能否找到一点P,使得P点同时满足下

列三个条件:

①P是第一象限的点;

②P点到l1的距离是P点到l2的距离的

1 2



③P点到l1的距离与P到l3的距离之比是

2∶ 5;若能,求P点坐标;若不能,

说明理由.

【解析】?1?由l2:2x-y-

1 2

=0,所以l1与l2的距离

| a ? ?? 1 ? |

d=

2

?7

5

22 ? ??1?2 10

化简得:| a+1 |=7 ,因为a ? 0,所以a=3. 22

?2?设点P(x0,y0 ),若P点满足条件②,则

P点在与l1,l2平行的直线系l:2x-y+c=0

(c ? 3,且c ? - 1)上, 2



|

c

?

3

|=|

c

?

1 2

|,即c=13

或c=11

5

5

2

6

所以2x0-y0+123=0或2x0-y0+161=0.

若P点满足条件③,由点到直线的距离 公式,有:

| 2x0 ? y0 ? 3 |= 2 g| x0 ? y0 ?1|

5

5

2

即| 2x0-y0+3 |=| x0+y0-1|,

所以x0-2y0+4=0,或3x0+2=0,

由P在第一象限,所以3x0+2=0不可能,

由方程组:???2x0-y0+123

?

0

?

? ?

x0

?

?

?3 1 (舍去),

?? x0-2y0+4=0

?? y0 ? 2

由???2x0-y0+121 ? ?? x0-2y0+4=0

0



? ??

x0

?

? ??

y0

? ?

1 9 37 18

,所以P(

1 9

,37 18

),

即为同时满足三个条件的点.

1.?1? 两条直线平行:
l1 Pl2 ? k1=k2两条直线平行的条件是: ①l1和l2是两条不重合的直线; ②在l1和l2的斜率都存在的前提下得到的.
因此,应特别注意,抽掉或忽视其中任一个
“前提”都会导致结论的错误.
推论:如果两条直线l1,l2的倾斜角为?1,? 2 , 则l1 Pl2 ? ?1=?2.

? 2 ? 两条直线垂直:
两条直线垂直的条件:
①设两条直线l1和l2的斜率分别为k1和k2, 则有l1 ? l2 ? k1k2=-1这里的前提是l1,l2的 斜率都存在.
②l1 ? l2 ? k1=0,且l2的斜率不存在或 k2=0,且l1的斜率不存在.

2.点到直线的距离公式:设点P(x0,y0),则

距离 点P到直线Ax+By+C=0

公式
d=| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B2

点P到直线x=a 点P到直线y=b

d=|x0-a| d=|y0-b|

与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By +C1=0(C1为参数且C1 ? C),与直线Ax+By+C=0 垂直的直线系方程为Bx-Ay+C2=0(C2为参数).
3.用公式d= | C1 ? C2 | 求两平行线的距离时, A2 ? B2
要先将两个方程中x、y项系数化为相同. 4.解决对称问题的常用方法是:待定系数法、
轨迹法.


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