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高一数学不等关系及不等式的解法练习题


【不等关系及不等式的解法】
本卷共 100 分,考试时间 90 分钟 一、选择题 (每小题 4 分,共 40 分)

2 ? ?3 的解集是( ) x 2 2 2 A. (?? ,? ) B. (?? ,? ) ? (0,??) C. (? ,0) ? (0,??) 3 3 3
1. 不等式 2. 若 0 ? a ? 1, f ( x) ?| loga x | ,则下列各式中成立的是(

D. (? )

2 ,0) 3

1 1 A. f (2) ? f ( ) ? f ( ) 3 4 1 1 C. f ( ) ? f (2) ? f ( ) 3 4

1 1 B. f ( ) ? f (2) ? f ( ) 4 3 1 1 D. f ( ) ? f ( ) ? f (2) 4 3

3. 若不等式 (a ? 2) x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 的解集为 R ,则实数 a 的取值范围是 A

(?2,2) B

(?2,2]

C

(??,?2) ? (2,??)

D (??,2)

?4 x ? 3 y ? 25 ? 0 ? 4. 已知 O 为直角坐标系原点, Q 坐标均满足不等式组 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 , P, 则使 cos ?POQ ?x ? 1 ? 0 ?
取最小值时的 ?POQ 的大小为( A. ) C. 2? D.

? 2
?

B.

?

? 4


5. 设函数 f ( x) ? ?

? x2 ? 4 x ? 6, x ? 0 x ? 6, x ? 0

, 则不等式 f ( x) ? f (1) 的解集是(

A. (?3,1) ? (3, ??) B. (?3,1) ? (2, ??) C. (?1,1) ? (3, ??)

D. (??, ?3) ? (1,3)

6. 已知定义在实数集 R 上的函数 f (x) 满足 f (1) =2,且 f (x) 的导数 f ?(x ) 在 R 上恒有

f ?(x ) < 1( x ? R) ,则不等式 f ( x) ? x ? 1 的解集为(
A. (1,??) B. (??,?1)

) D. (??,?1) ∪ (1,??)

C. (?1,1)

7. 已知定义在实数集 R 上的函数 f (x) 满足 f (1) =1,且 f (x) 的导数 f ?(x ) 在 R 上恒有

x2 1 1 ? 的解集为( f ?(x ) < ( x ? R) ,则不等式 f ( x 2 ) ? 2 2 2
A. (1,??) B. (??,?1) C. (?1,1)



D. (??,?1) ∪ (1,??)

0 8. 已知函数 f ( x) ? ( ) ? log 2 x , ? a ? b ? c ,f (a) f (b) f (c) ? 0 , 实数 d 是函数 f ( x)
x

1 3

的一个零点.给出下列四个判断:① d ? a ;② d ? b ;③ d ? c ;④ d ? c .其中可能成立 的个数为( A.1 ) B.2 C.3 D.4

?x ? m y ? n ? 9. 直线 x ? m y ? n(n ? 0) 经过点 A(4,4 3) , 若可行域 ? 3 x ? y ? 0 围成的三角形的外接 ?y ? 0 ?
圆的直径为

14 3 ,则实数 n 的值是( 3
B.4 或 5

) C. 3 或 6 D.3 或 4

A. 3 或 5

10. 若变量 x, y 满足约束条件 A.6 B.5 C.4

?x ? y ? 3 ? 0 ? ? x ? y ? 1 ? 0 , 则z ?| y ? 2 x | ?y ? 1 ?
D.3

的最大值为





二、填空题 (每小题 4 分,共 16 分)
1 1 11. 若 ? a ? 5 ,则 a ? 的取值范围是 5 a

.

3 12. 已 知 函 数 f ( x)? x ? 2 x, x , 若 不 等 式 f (m cos ? ) ? f (m ? sin ? ) ? 0 , 当 ? R

? ?? ? ? ?0, ? 时恒成立,则实数 m 的取值范围是 ? 2?
13. 已知三个不等式:①ab<0;②- 个作为结论,则可以组成
1 2 2 14. 使 x ? x 成立的 x 的取值范围是________;

c d >- ;③bc>ad.以其中两个作为条件,余下的一 a b

个真命题.

三、解答题 (共 44 分,写出必要的步骤) 15. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? x | x ? a |,(a ? R) (1)若 a ? 2 ,解关于 x 的不等式 f ( x) ? x ; (2)若对 ?x ? (0,1] 都有 f ( x) ? m(m ? R, m 是常数),求 a 的取值范围. 16. (本小题满分 10 分) 要将两种厚度、材质相同,大小不同的钢板截成 A 、 B 、 C 三种 规格的成品.每张钢板可同时截得三种规格的块数如下表:

成品规格类型 钢板类型 第一种钢板 第二种钢板 A 规格 1 1 B 规格 2 1 C 规格 1 3

每张钢板的面积:第一张为 1m 2 ,第二张为 2m2 .今需要 A 、 B 、 C 三种规格的成 品各为 12、15、27 块.则两种钢板各截多少张,可得所需三种规格的成品,且使所用 钢板的面积最少? 17. (本小题满分 12 分) 已知 a , b 都是正数, △ABC 在平面直角坐标系 xOy 内, 以两点 A (a ,0 ) 和 B (0,b )为顶点的正三角形,且它的第三个顶点 C 在第一象限内. (1)若△ABC 能含于正方形 D = { ( x , y ) | 0 ? x ? 1, 0? y ? 1}内, 试求变 量 a , b 的约束条件,并在直角坐标系 aOb 内画出这个约束条件表示的平面区域; (2)当(a, b )在(1)所得的约束条件内移动时,求△ABC 面积 S 的最大值,并求此时(a , b)的值.(14 分) 18. (本小题满分 12 分) 已知甲、 乙两煤矿每年的产量分别为 200 万吨和 300 万吨,需经过东车站和西车站两个车站运往外地,东 车站每年最多运 280 万吨煤,西车站每年最多运 360 万吨煤,甲 煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为 1 元/吨和 1.5 元/ 吨,乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为 0.8 元/吨和 1.6 元/吨.煤矿应怎样编制 调运方案,使总运费最少? 答案 一、选择题 1. B2. D3. B4. D5. A6. A7. D8. C9. A10. D 二、填空题 11. [2,
26 ] 12. m≥113. 314. 5

?1, ???

三、解答题 15. 解: (1)当 a ? 2 时,不等式 f ( x) ? x 即 x | x ? 2 |? x 显然 x ? 0 ,当 x ? 0 时,原不等式可化为:

| x ? 2 |? 1 ? ?1 ? x ? 2 ? 1 ? 1 ? x ? 3

当 x ? 0 时,原不等式可化为: | x ? 2 |? 1 ? x ? 2 ? 1 或 x ? 2 ? ?1 ? x ? 3 或 x ? 1

∴x?0 综上得:当 a ? 2 时,原不等式的解集为 {x |1 ? x ? 3或x ? 0} (2)∵对 ?x ? (0,1] 都有 f ( x) ? m ,显然 m ? 0 即 ?m ? x( x ? a) ? m ? 对 ?x ? (0,1] , ?

m m ? x ? a ? 恒成立 x x

?对 ?x ? (0,1] , x ?
设 g ( x) ? x ?

m m ?a ? x? x x

m m , x ? (0,1] , p ( x) ? x ? , x ? (0,1] x x m m 则对 ?x ? (0,1] , x ? ? a ? x ? 恒成立 ? g ( x)max ? a ? p( x)min , x ? (0,1] x x m ∵ g '( x) ? 1 ? 2 , 当 x ? (0,1] 时 g '( x) ? 0 ∴函数 g ( x) 在 (0,1] 上单调递增, x
∴ g ( x)max ? 1 ? m 又∵ p '( x ) ? 1 ?

m ( x ? m )( x ? m ) = , 2 x x2
∴函数 p ( x) 在 (0,1] 上为减函数

当 m ? 1即 m ? 1 时,对于 x ? (0,1] , p '( x) ? 0 ∴ p( x)min ? p(1) ? 1 ? m .

当 m ? 1,即 0 ? m ? 1 时, x ? (0, m ] , p '( x) ? 0 当 ∴在 (0,1] 上, p( x)min ? p( m ) ? 2 m (或当 0 ? m ? 1 时,在 (0,1] 上, p ( x) ? x ?

当 x ? ( m ,1] , p '( x) ? 0

m m ? 2 x ? ? 2 m ,当 x ? m 时取等号) x x

又∵当 0 ? m ? 1 时,要 g ( x)max ? a ? p( x)min 即 1 ? m ? a ? 2 m 还需满足

2 m ? 1 ? m 解得 3 ? 2 2 ? m ? 1
∴当 3 ? 2 2 ? m ? 1 时, 1 ? m ? a ? 2 m ;---13 分 当 m ? 1 时, 1 ? m ? a ? 1 ? m . 略 16. 解 : 设 需 第 一 种

x 张 , 第 二 种 y 张 , 所 用 钢 板 面 积 z m2 , 则

? x ? y ? 12 ?2 x ? y ? 15 ? , 其中x, y ? Z , 目 标 函 数 z ? x ? 2 y , 作 图 ( 略 ) 由 ? x ? 3 y ? 27 ? ? x ? 0, y ? 0 ?

? x ? 3 y ? 27 ? 9 15 ? ? A? , ? , ? ?2 2 ? ? x ? y ? 12
由于点 A 不是整数点,可以在可行域内找出整点 ? 4,8? 和 ? 6, 7 ? 使得 z 最小值是 20 .∴ Zmin ? 20 17. 解析: (1)由题意知:顶点 C 是分别以 A、B 为圆心,以|AB|为半径的两圆在第一象限 的交点,由圆 A: ( x – a) + y = a + b , 圆 B: x + ( y – b ) = a + b . 解得 x = a ? 3b , y =
2
2 2 2 2 2 2 2 2

3a ? b ,∴C( a ? 3b , 3a ? b ) 2 2 2

△ABC 含于正方形 D 内,即三顶点 A,B,C 含于区域 D 内时,



?0 ? a ? 1, ?0 ? b ? 1, ? ? a ? 3b ?0 ? ? 1, 2 ? ? 3a ? b ?0 ? ? 1. 2 ?

这就是 ( a , b )的约束条件. 其图形为右图的六边形, ∵a > 0 , b > 0 , ∴图中坐标轴上的点除外. (2)∵△ABC 是边长为 a 2 ? b 2 的正三角形,∴ S =

3 2 2 ( a + b ) 4

在(1)的条件下, 当 S 取最大值等价于六边形图形中的点( a, b )到原点的距离最大, 由六边形中 P、Q、R 相应的 OP、OQ、OR 的计算. OP = OR = 1 + ( 2 –
2 2 2

3 )2 = 8 – 4 3 ,OQ2 = 2( 3 – 1)2 = 8 – 4 3 . 3 – 1), 或( 2 – 3 ,

∴ OP = OR =OQ ∴当 ( a , b ) = ( 1, 2 – 3 ), 或( 3 – 1, 1 )时, Smax =2 3 – 3.

18. 解析:设甲煤矿调往东站的煤为 x 万吨,乙煤矿调往东站的煤为 y 万吨,则 那么总运费: z ? x ? 1.5(200? x) ? 0.8 y ? 1.6(300? y) 万元,

x ? y ? 280 ? ?200 ? x ? 300 ? y ? 360 ? 即 z ? 780 ? 0.5 x ? 0.8 y ,而 x, y 满足 ? ,作出可行域, x ? 0;200 ? x ? 0 ? ? y ? 0;300 ? y ? 0 ?
(略)设直线 x ? y ? 280与 y 轴交点为 M (0,280) ,则.把直线 l : 0.5 x ? 0.8 y ? 0 向上平 移至 M 时 z 最小。所以甲煤矿生产的煤全部运往西站;乙煤矿向东站运 280 万吨,向西站云 20 万吨时,总运费最少。


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