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高三数学一轮总复习第七章立体几何7.6空间向量及其运算开卷速查

畅游学海 敢搏风 浪誓教 金榜题 名。决 战高考 ,改变 命运。 凌风破 浪击长 空,擎 天揽日 跃龙门

开卷速查(四十五)
1.有下列 4 个命题: ①若 p=xa+yb,则 p 与 a,b 共面; ②若 p 与 a,b 共面, 则 p=xa+yb; → → → ③若MP=xMA+yMB,则 P,M,A,B 共面; → → → ④若 P,M,A,B 共面,则MP=xMA+yMB。 其中真命题的个数是( A.1 C.3 )

空间向量及其运算

A 级 基础巩固练

B.2 D.4

解析:①正确。②中若 a,b 共线,p 与 a 不共线,则 p=xa+yb 就不成立。③正确。④ → → → 中若 M,A,B 共线,点 P 不在此直线上,则MP=xMA+yMB不正确。 答案:B → → → → → → 2.在空间四边形 ABCD 中,AB·CD+AC·DB+AD·BC=( A.-1 C.1 B.0 D.不确定 )

→ → → 解析:如图,选取不共面的向量AB,AC,AD为基底, → → → → → → → → → 则原式=AB·(AD-AC)+AC·(AB-AD)+AD·(AC-AB) → → → → → → → → → → → → =AB·AD-AB·AC+AC·AB-AC·AD+AD·AC-AD·AB=0。 答案:B → → → → → 3.平行六面体 ABCD?A1B1C1D1 中,向量AB、AD、AA1两两的夹角均为 60°,且|AB|=1,|AD → → |=2,|AA1|=3,则|AC1|等于( A.5 C.4 ) B.6 D.8

→ → → → → 解析: 设AB=a, AD=b, AA1=c, 则AC1=a+b+c, AC12=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a
1

→ =25,因此|AC1|=5。 答案:A → → → → 4. 平行六面体 ABCD?A′B′C′D′中, 若AC′=xAB+2yBC-3zCC′, 则 x+y+z=( A.1 C. 5 6 B. D. 7 6 2 3 )

→ → → → → → → → → → → → 解析:AC′=AC+CC′=AD+AB+CC′=AB+BC+CC′=xAB+2yBC-3zCC′, 1 1 故 x=1,y= ,z=- , 2 3 1 1 7 ∴x+y+z=1+ - = 。 2 3 6 答案:B → → → → → → 5.若 A、B、C、D 是空间不共面的四点,且满足AB·AC=0,AC·AD=0,AB·AD=0,M 为 BC 中点,则△AMD 是( A.钝角三角形 C.直角三角形 → 1 → → 解析:∵M 为 BC 中点,∴AM= (AB+AC)。 2 → → 1 → → → 1→ → 1→ → ∴AM·AD= (AB+AC)·AD= AB·AD+ AC·AD=0。 2 2 2 ∴AM⊥AD,△AMD 为直角三角形。 答案:C → → → → → 6.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x-1,y,-3),且 BP⊥平 面 ABC,则实数 x,y,z 分别为( A. C. 33 15 ,- ,4 7 7 40 ,-2,4 7 ) B. 40 15 ,- ,4 7 7 ) B.锐角三角形 D.不确定

40 D.4, ,-15 7

→ → 解析:∵AB⊥BC, → → ∴AB·BC=0,即 3+5-2z=0,得 z=4。 又 BP⊥平面 ABC, → ∴BP⊥AB,BP⊥BC,BC=(3,1,4),
? ? ? ?

则?

x- x-

+5y+6=0, +y-12=0,

40 x= , ? ? 7 解得? 15 y=- 。 ? ? 7

答案:B
2

8 7. 若向量 a=(1, λ , 2), b=(2, -1,2)且 a 与 b 的夹角的余弦值为 , 则 λ =__________。 9 8 a·b 2-λ +4 解析:由已知得 = = , 2 9 |a||b| 5+λ · 9 2 2 ∴8 5+λ =3(6-λ ),解得 λ =-2 或 λ = 。 55 2 答案:-2 或 55 8.已知 a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值为__________。 解析:b-a=(1+t,2t-1,0), ∴|b-a|= +t
2



t-

2



? 1?2 9 5? t - ? + , ? 5? 5

1 3 5 ∴当 t= 时,|b-a|取得最小值 。 5 5 3 5 答案: 5 → → → 9. 如图所示, 已知空间四边形 ABCD, F 为 BC 的中点, E 为 AD 的中点, 若EF=λ (AB+DC), 则 λ =________。

3

解析:如图所示,取 AC 的中点 G,连接 EG、GF, → → → 1 → → 则EF=EG+GF= (AB+DC), 2 1 ∴λ = 。 2 1 答案: 2

10.如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,G 为△BC1D 的重心, (1)试证:A1,G,C 三点共线; (2)试证:A1C⊥平面 BC1D。 → → → → → → → 证明:(1)CA1=CB+BA+AA1=CB+CD+CC1, 1→ → 1 → → → 可以证明:CG= (CB+CD+CC1)= CA1, 3 3 → → ∴CG∥CA1,即 A1,G,C 三点共线。 → → → (2)设CB=a,CD=b,CC1=c,则|a|=|b|=|c|=a, 且 a·b=b·c=c·a=0, → → ∵CA1=a+b+c,BC1=c-a, → → 2 2 ∴CA1·BC1=(a+b+c)·(c-a)=c -a =0, → → 因此CA1⊥BC1,即 CA1⊥BC1, 同理 CA1⊥BD, 又 BD 与 BC1 是平面 BC1D 内的两相交直线, 故 A1C⊥平面 BC1D。 B 级 能力提升练 → → 1→ → 11.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,点 M 在AC1上且AM= MC1,N 为 B1B 的中点,则|MN 2 |为( )
4

A. C.

21 a 6 15 a 6

B. D.

6 a 6 15 a 3

解析:以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz,则

A(a,0,0),C1(0,a,a), a? ? N?a,a, ?。

?

2?

设 M(x,y,z)。 → → 1→ ∵点 M 在AC1上且AM= MC1, 2 1 ∴(x-a,y,z)= (-x,a-y,a-z), 2 2 a a ?2a a a? ∴x= a,y= ,z= ,得 M? , , ?, 3 3 3 ? 3 3 3? → ∴|MN|= 答案:A

?a-2a?2+?a-a?2+?a-a?2= 21a。 ? 3 ? ? 3? ?2 3? 6 ? ? ? ? ? ?

12.[2016·衡水模拟]如图所示,在空间直角坐标系中,BC=2,原点 O 是 BC 的中点, 点 A 的坐标是?

? 3 1 ? , ,0?,点 D 在平面 yOz 上,且∠BDC=90°,∠DCB=30°。 ?2 2 ?
5

→ (1)求向量OD的坐标; → → (2)设向量AD和BC的夹角为 θ ,求 cosθ 的值。

解析:(1)如图所示,过 D 作 DE⊥BC,垂足为 E, 在 Rt△BDC 中,由∠BDC=90°, ∠DCB=30°,BC=2,得 BD=1,CD= 3。 所以 DE=CD·sin30°= 3 , 2 1 1 2 2

OE=OB-BD·cos60°=1- = 。
1 3? ? 所以 D 点坐标为?0,- , ?, 2 2? ? 1 3? ? → 即向量OD的坐标为?0,- , ?。 2 2 ? ? → ? 3 1 ? → → (2)依题意知,OA=? , ,0?,OB=(0,-1,0),OC=(0,1,0)。 ?2 2 ? 3 3? → → → → → → ? 所以AD=OD-OA=?- ,-1, ?,BC=OC-OB=(0,2,0)。 2 2 ? ? 则 cosθ =

AD·BC
→ → |AD||BC|

→ →



3 3? ? + ×0 ?- ?×0+ - 2 ? 2? 3?2 ? ? 3?2 2 2 2 2 +? ? · 0 +2 +0 ?- ? + - ? 2? ?2? -2 10 =- 10 。 5



6

13.如图,在棱长为 a 的正方体 OABC-O1A1B1C1 中,E、F 分别是棱 AB,BC 上的动点,且

AE=BF=x,其中 0≤x≤a,以 O 为原点建立空间直角坐标系 O-xyz。
(1)写出点 E,F 的坐标; (2)求证:A1F⊥C1E; → 1→ → (3)若 A1,E,F,C1 四点共面,求证:A1F= A1C1+A1E。 2 解析:(1)E(a,x,0),F(a-x,a,0)。 (2)证明:∵A1(a,0,a),C1(0,a,a), → → ∴A1F=(-x,a,-a),C1E=(a,x-a,-a), → → 2 ∴A1F·C1E=-ax+a(x-a)+a =0, → → ∴A1F⊥C1E,∴A1F⊥C1E。 (3)证明:∵A1、E、F、C1 四点共面, → → → ∴A1E、A1C1、A1F共面。 → → → → → 选A1E与A1C1为一组基向量,则存在唯一实数对(λ 1,λ 2),使A1F=λ 1A1C1+λ 2A1E, 即(-x,a,-a)=λ 1(-a,a,0)+λ 2(0,x,-a)=(-aλ 1,aλ 1+xλ 2,-aλ 2), -x=-aλ 1, ? ? ∴?a=aλ 1+xλ 2, ? ?-a=-aλ 2, → 1→ → 于是A1F= A1C1+A1E。 2 1 解得 λ 1= ,λ 2=1。 2

7


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