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人教版高中数学2.2.2《反证法》课件(人教A版选修2-2)_图文

2.2.2 反证法

一般地,从要证明的结论出发,逐步

寻求推证过程中,使每一步结论成立的充

分条件,直至最后,把要证明的结论归结

为判定一个明显成立的条件(已知条件、

定理、定义、公理等)为止,这种证明的

方法叫做分析法.

特点:执果索因.

用框图表示分析法

得到一个明显

Q ? P1

P1 ? P2

P2 ? P3



成立的结论

复习

经过证明 的结论

思考题:甲、乙、丙三箱共有小球384个,先 由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内,所放个 数分别为乙、丙箱内原有个数,继而由乙箱 取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后由丙 箱取出若干个球放进甲、乙两箱内,方法同 前.结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、 乙、丙三箱原有小球数
甲:208个,乙:112个,丙:64个

思考?
A、B、C三个人,A说B撒谎,B说 C撒谎,C说A、B都撒谎。则C必定 是在撒谎,为什么?
分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - -- -那么A假且B假;
由A假, 知B真. 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 则C必定是在撒谎.

反证法:
假设命题结论的反面成立,经过正确的 推理,引出矛盾,因此说明假设错误,从而 证明原命题成立,这样的的证明方法叫反 证法。
反证法的思维方法:
正难则反

反证法的基本步骤:
(1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成------立;
(2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;
(3)从矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结 -----论正确 归缪矛盾:
(1)与已知条件矛盾;
(2)与已有公理、定理、定义矛盾;
(3)自相矛盾。

应用反证法的情形:
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论. (3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷 多个” ---类命题; (4)结论为 “唯一”类命题;

例1:用反证法证明: 如果a>b>0,那么 a > b 证:假设 a > b不成立,则 a ≤ b
若 a = b,则a = b,与已知a > b矛盾,
若 a < b,则a < b, 与已知a > b矛盾, 故假设不成立,结论 a > b成立。

例2 已知a≠0,证明x的方程ax=b有且只有 一个根。
证:假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根,
不妨设其中的两根分别为x1,x2且x1 ≠ x2
则ax1 = b,ax2 = b ∴ ax1 = ax2 ∴ ax1 - ax2 = 0 ∴a(x1 - x2)= 0 ∵ x1 ≠ x2,x1 - x2 ≠ 0 ∴a = 0 与已知a ≠ 0矛盾, 故假设不成立,结论成立。

例3:证明:圆的两条不全是直径的相交
弦不能互相平分. 已知:在⊙O中,弦AB、CD相交于P,且
AB、CD不全是直径
求证:AB、CD不能互相平分。

C

A

P

B

O

D

例4 求证:2 是无理数。
证:假设 2是有理数,
则存在互质的整数m,n使得 2 = m , n
∴ m = 2n ∴ m2 = 2n2
∴ m2是偶数,从而m必是偶数,故设m = 2k(k∈N?)
从而有4k2 = 2n2,即n2 = 2k2 ∴n2也是偶数, 这与m,n互质矛盾!
所以假设不成立,2是有理数成立。

作业

1:若p1 p2 = 2(q1 + q2),证明:关于x的方程 x2 + p1x + q1 = 0与x2 + p2x + q2 = 0中至少有一 个有实根.
2:若a,b,c均为实数,且a = x2 - 2y + ? ,
2

b = y2 - 2z + ? ,c = z2 - 2x + ? ,

3

6

求证 : a,b,c中至少有一个大于0.


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