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数列中的奇偶项问题


数列中的奇偶项问题
例 1、已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 1, an?1 ? ?

?an ? 1, n为奇数 n ? N * ,设 bn ? a2 n?1 . , ? 2an,n为偶数

(1)求 b2 , b3 , 并证明: bn?1 ? 2bn ? 2; (2)①证明:数列 ?bn ? 2? 等比数列;②若 a2k , a2k ?1,9 ? a2 k ?2 成等比数列,求正整数 k 的值. 例 2、设等差数列 ?an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 ? 8, S4 ? 40 错误!未找到引用源。.数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn ,且

Tn ? 2bn ? 3 ? 0 , n ? N ? .
(I)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (II)设 cn ? ?

?an n为奇数 , 求数列 ?cn ? 的前 n 项和 P n. b n 为偶数 n ?
n 2

3、 一个数列{an}, 当 n 是奇数时, an=5n+1; 当 n 为偶数时, an= 2 , 则这个数列的前 2m 项的和是________. 练习 1.已知等差数列{an}的公差为 2,项数是偶数,所有奇数项之和为 15,所有偶数项之和为 25,则这个数列的项数 为( ) A.10 B.20 C.30 D.40 2、等比数列的首项为 1 ,项数是偶数,所有的奇数项之和为 85 ,所有的偶数项之和为 170 ,则这个等比数列的项 数为 (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10

3、已知数列{an},{bn}满足 a1=1,且 an,an+1 是函数 f(x)=x2-bnx+2n 的两个零点,则 b10=________. a7 4、已知数列{an}满足 a1=5,anan+1=2n,则 =( ) a3 5 A.2 B.4 C.5 D. 2 n * 5.已知数列{an}满足 a1=1,an+1· an=2 (n∈N ),设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S2 014=( ) 2 014 1 007 1 007 1 007 A.2 -1 B.3×2 -3C.3×2 -1 D.3×2 -2 6. 于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若 a1=2,{an}的“差数列”的通项公式为 2n, 则数列{an}的前 n 项和 Sn=________. 3 7、(2013· 天津高考)已知首项为 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N*),且-2S2,S3,4S4 成等差数列. 2 (1)求数列{an}的通项公式; 1 13 (2)证明 Sn+ ≤ (n∈N*). Sn 6 8、已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,S4,S2,S3 成等差数列,且 a2+a3+a4=-18. ①求数列{an}的通项公式; ②是否存在正整数 n,使得 Sn≥2 013?若存在,求出符合条件的所有 n 的集合;若不存在,说明理由.

解:(1) b2 =a3 ? 2a2 ? 2(a1 ? 1) ? 4, b3 =a5 ? 2a4 ? 2(a3 ? 1) ? 10,

bn?1 =a2n?1 ? 2a2n ? 2(a2n?1 ? 1) ? 2(bn ? 1) ? 2bn ? 2,
(2)①因为 b1 ? a1 ? 1, b1 ? 2 ? 0,

bn?1 ? 2 2(bn ? 2) ? ? 2, 所以数列 ?bn ? 2? 是以 3 为首项,2 为公比的等比数列. bn ? 2 bn ? 2

②由数列 ?bn ? 2? 可得, bn ? 3? 2n?1 ? 2,即a2n?1 ? 3? 2n?1 ? 2 ,则 a2n ? a2n?1 ? 1 ? 3? 2n?1 ?1 , 因为 a2k , a2k ?1,9 ? a2 k ?2 成等比数列,所以 (3? 2k ? 2)2 ? (3? 2k ?1 ?1)(3? 2k ? 8) ,令 2 =t ,得
k

3 2 (3 ? t ? 2)2 ? ( t ? 1)(3t ? 8) ,解得 t ? 或4 ,得 k ? 2 . 3 2
解: (Ⅰ)由题意, ?

? a1 ? d ? 8 ?a1 ? 4 ,得 ? ,? an ? 4n . ?d ? 4 ?4a1 ? 6d ? 40

????3 分

,?当n ? 1时,b1 ? 3 , Tn ? 2bn ? 3? 0

当n ? 2时,Tn?1 ? 2bn?1 ? 3 ? 0 ,两式相减,得 bn ? 2bn?1 ,(n ? 2)
数列 ?bn ?为等比数列,?bn ? 3 ? 2n?1 . (Ⅱ) cn ? ? ????7 分

n为奇数 ?4n . 当 n 为偶数时, n ?1 ? 3 ? 2 n为偶数
(4 ? 4n ? 4) ?
=

P n ? (a1 ? a3 ? ? ? an?1 ) ? (b2 ? b4 ? ? ? bn )

2

n n 2 2 ? 6(1 ? 4 ) ? 2n?1 ? n2 ? 2 . 1? 4

( n?1)?1 当 n 为奇数时, (法一) n ? 1 为偶数, P ? (n ?1)2 ? 2 ? 4n ? 2n ? n2 ? 2n ?1 n ? P n ?1 ? cn ? 2

(法二) P n ? (a1 ? a3 ? ? ? an?2 ? an ) ? (b2 ? b4 ? ? ? bn?1 )

?

(4 ? 4n) ?

n ?1 n ?1 2 6(1 ? 4 ) 2 ? ? 2 n ? n 2 ? 2n ? 1 . 2 1? 4

? 2n ?1 ? n2 ? 2, n为偶数 ? Pn ? ? n 2 ?2 ? n ? 2n ? 1,n为奇数
解析:当 n 为奇数时,{an}是以 6 为首项,以 10 为公差的等差数列;当 n 为偶数时,{an}是以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列.所以,

m?m-1? a2?1-2m? S2m=S 奇+S 偶=ma1+ ×10+ =6m+5m(m-1)+2(2m-1) 2 1-2 2 m+1 m+1 2 =6m+5m -5m+2 -2=2 +5m +m-2.
解析:选 A 设这个数列有 2n 项,则由等差数列的性质可知:偶数项之和减去奇数项之和等于 nd,即 25-15 =2n,故 2n=10,即数列的项数为 10. 解析:∵an+an+1=bn,an· an+1=2n,∴an+1· an+2=2n 1,∴an+2=2an.


又∵a1=1,a1· a2=2,∴a2=2,∴a2n=2n,a2n-1=2n 1(n∈N*),∴b10=a10+a11=64. + an+1an+2 2n 1 an+2 解析:选 B 依题意得 = n =2,即 =2,故数列 a1,a3,a5,a7,?是一个以 5 为首项、2 为公比 2 an anan+1


a7 的等比数列,因此 =4. a3 + an+2an+1 an+2 2n 1 解析: 选B 由 = = n =2, 且 a2=2, 得数列{an}的奇数项构成以 1 为首项, 2 为公比的等比数列, an 2 an+1an 1-21 007 偶数项构成以 2 为首项, 2 为公比的等比数列, 故 S2 014=(a1+a3+a5+?+a2 013)+(a2+a4+a6+?+a2 014)= 1-2 + 2?1-21 007? =3×21 007-3. 1-2

对比: an+1/an=2n 则用累乘法, 解析:∵an+1-an=2n∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1 + 2-2n 2-2n 1 n+1 n-1 n-2 2 n n =2 +2 +?+2 +2+2= +2=2 -2+2=2 .∴Sn= =2 -2. 1-2 1-2 [解题指导] (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比,写出通项公式; (2)求出前 n 项和,根据函数的单调性证明. [解] (1)设等比数列{an}的公比为 q,因为-2S2,S3,4S4 成等差数列,所以 S3+2S2=4S4-S3,即 S4-S3=S2- a4 1 S4,可得 2a4=-a3,于是 q= =- . a3 2 1 3 3 3 - ?n-1=(-1)n-1· n. 又 a1= ,所以等比数列{an}的通项公式为 an= ×? 2 2 ? 2? 2

?2+2 ?2 +1?,n为奇数, 1? 1? 1 1 ? ? (2)证明:S =1-?-2? ,S + =1-?-2? + =? S 1 1 - ? 1-? ? 2? ?2+2 ?2 -1?,n为偶数.
n n n n n n n n n n

1

1 当 n 为奇数时,Sn+ 随 n 的增大而减小, Sn 1 1 13 所以 Sn+ ≤S1+ = . Sn S1 6 1 当 n 为偶数时,Sn+ 随 n 的增大而减小, Sn 1 1 25 所以 Sn+ ≤S2+ = . Sn S2 12 1 13 故对于 n∈N*,有 Sn+ ≤ . Sn 6 解析:①设数列{an}的公比为 q,则 a1≠0,q≠0. ?S2-S4=S3-S2, ? 由题意得? ?a2+a3+a4=-18, ?
2 3 2 ? ? ?-a1q -a1q =a1q , ?a1=3, ? ? 即 解得 2 ?a1q?1+q+q ?=-18, ? ? ?q=-2.

故数列{an}的通项公式为 an=3×(-2)n 1. 3×[1-?-2?n] ②由①有 Sn= =1-(-2)n. 1-?-2? 若存在 n,使得 Sn≥2 013,则 1-(-2)n≥2 013, 即(-2)n≤-2 012. 当 n 为偶数时,(-2)n>0,上式不成立; 当 n 为奇数时,(-2)n=-2n≤-2 012, 即 2n≥2 012,则 n≥11. 综上,存在符合条件的正整数 n,且所有这样的 n 的集合为{n|n=2k+1,k∈N,k≥5}.


点评:当数列涉及底数是负数时,要对指数 n 分奇偶讨论。


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