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高考大一轮总复习4.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式


§ 4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式
考纲展示? 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、 余弦、正切公式,了解它们的内在联系. 考点 1 三角函数公式的基本应用

(1)[教材习题改编]计算:sin 108° cos 42° -cos 72° sin 42° =________. 1 答案: 2 π ? 3 ? π? (2)[教材习题改编]已知 cos α=- ,α∈? ?2,π?,则 sin?α+3?的值是________. 5 4-3 3 答案: 10 π ? π 3 4 π π ,π ,所以 sin α= ,所以 sin?α+ ?=sin αcos +cos αsin 解析:因为 cos α=- ,α∈? ?2 ? ? 3? 5 5 3 3 3 4 1 3 4-3 3 - ?× = = × +? . 5 2 ? 5? 2 10

公式使用中的误区:角的范围;公式的结构. tan α+2 (1)若函数 f(α)= ,则 α 满足 2tan α≠1,且 α≠________. 1-2tan α π 答案:kπ+ (k∈Z) 2 tan α+2 解析:要使函数 f(α)= 有意义,则 1-2tan α≠0,tan α 有意义,所以 2tan α≠1, 1-2tan α π 则 α≠kπ+ (k∈Z). 2 1 3 (2)化简: sin x- cos x=________. 2 2 π? 答案:sin? ?x-3? π? 1 3 π π 解析: sin x- cos x=cos sin x-sin cos x=sin? ?x-3?. 2 2 3 3

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α± β)=________________; cos(α?β)=________________; tan α± tan β tan(α± β)= . 1?tan αtan β 答案:sin αcos β± cos αsin β cos αcos β± sin αsin β 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α=________________; cos 2α=______________=______________=______________; 2tan α tan 2α= . 1-tan2α 答案:2sin αcos α cos2α-sin2α 2cos2α-1 1-2sin2α

π 7 ? ? π? [典题 1] (1)[2017· 江西新余三校联考]已知 cos? ?3-2x?=-8,则 sin?x+3?的值为(

)

1

1 A. 4

7 1 7 B. C.± D.± 8 4 8

[点石成金] 三角函数公式的应用策略 (1)使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征. (2)使用公式求值,应先求出相关角的函数值,再代入公式求值. 考点 2 三角函数公式的逆用与变形应用

[答案] C

?π ?? [解析] 因为 cos? ?π-?3-2x??
2π? 7 =cos? ?2x+ 3 ?=8, π? 1 ? 7? 1 所以有 sin2? ?x+3?=2×?1-8?=16, π? 1 从而求得 sin? ,故选 C. ?x+3?的值为± 4 3π? 5 ? π? (2)已知 cos θ=- ,θ∈? ?π, 2 ?,则 sin?θ-6?的值为________. 13 5-12 3 [答案] 26 3π? 5 [解析] 由 cos θ=- ,θ∈? ?π, 2 ?得 13 12 sin θ=- 1-cos2θ=- , 13 π? π π 故 sin? ?θ-6?=sin θcos 6-cos θsin 6 5 12 3 1 - ?× =- × -? 13 ? 2 13 2 ? = 5-12 3 . 26

公式的常用变形 (1)tan α± tan β=tan(α± β)(________); 1+cos 2α 1-cos 2α (2)________= ,________= ; 2 2 π? (3)1+sin 2α=(________)2,1-sin 2α=(________)2,________= 2sin? 4?. ?α± (2)cos2α sin2α

答案:(1)1?tan αtan β

(3)sin α+cos α sin α-cos α

sin α± cos α

π ? (3)设 sin 2α=-sin α,α∈? ?2,π?,则 tan 2α 的值是________. [答案] 3

(1)[教材习题改编]计算:sin 43° cos 13° -sin 13° cos 43° =________. 1 答案: 2 1 解析:原式=sin(43° -13° )=sin 30° = . 2 3 (2)[教材习题改编]已知 sin θ= ,θ 为第二象限角,则 sin 2θ 的值为________. 5 24 答案:- 25 3 解析:∵sin θ= ,θ 为第二象限角, 5
2

[解析] ∵sin 2α=2sin αcos α=-sin α, 1 ∴cos α=- . 2 π ? 3 又 α∈? ?2,π?,∴sin α= 2 ,tan α=- 3, 2tan α 2 3 ∴tan 2α= =- = 3. 1-tan2α 1-?- 3?2

4 ∴cos θ=- , 5 4 3 24 - ?=- . ∴sin 2θ=2sin θcos θ=2× ×? 5 ? 5? 25

3 3 4 3 ∴ sin α+ cos α= , 2 2 5 即 3 1 4 sin α+ cos α= . 2 2 5

7π 7π 7π α+ ?=sin αcos +cos αsin 故 sin? 6? ? 6 6 辅助角公式. (1)函数 f(x)=sin x+cos x 的最大值为________. 答案: 2 π π? 解析:sin x+cos x= 2? ?sin xcos 4+cos xsin4? π? = 2sin? ?x+4?≤ 2. =-? 3 1 ?=-4. 5 ? 2 sin α+2cos α? )

(2)在△ABC 中,若 tan Atan B=tan A+tan B+1,则 cos C 的值为( A.- 1 C. 2 [答案] B [解析] 由 tan Atan B=tan A+tan B+1, tan A+tan B 可得 =-1, 1-tan Atan B 即 tan(A+B)=-1, 又 A+B∈(0,π), 3π 所以 A+B= , 4 π 2 则 C= ,cos C= . 4 2 2 2 B. 2 2

1 D.- 2

(2) 一 般 地 , 函 数 f(α) = asin α + bcos α(a , b 为 常 数 ) , 可 以 化 为 f(α) = b? a? ? ________? ?其中tan φ=a?或 f(α)=________?其中tan φ=b?. 答案: a2+b2sin(α+φ) a2+b2cos(α-φ)

解析: 一般地,函数 f(x) = asin α + bcos α(a , b 为常数 ) 可以化为 f(α) = a2+b2 sin(α + b? a? 2 2 ? φ)? ?其中tan φ=a?或 f(α)= a +b cos(α-φ)?其中tan φ=b?.

π ? 4 3 ? 7π? [典题 2] (1)[2017· 贵州贵阳监测]已知 sin? ?3+α?+sin α= 5 ,则 sin?α+ 6 ?的值是( 2 3 A.- 5 2 3 B. 5

)

1+cos 20° ? 1 -tan 5° ?=________. (3)[2017· 陕西西安模拟]计算: -sin 10° · ?tan 5° ? 2sin 20° [答案] 3 2

4 4 C. D.- 5 5 [答案] D π 4 3 ? [解析] ∵sin? ?3+α?+sin α= 5 , π π 4 3 ∴sin cos α+cos sin α+sin α= , 3 3 5
3

2cos210° [解析] 原式= -sin 10° · 4sin 10° cos 10° cos25° -sin25° sin 5° cos 5° = cos 10° sin 20° - 2sin 10° sin 10°

= = =

cos 10° -2sin 20° 2sin 10° cos 10° -2sin?30° -10° ? 2sin 10° cos 10° -2sin 30° cos 10° +2cos 30° sin 10° 2sin 10°

?cos α-sin α? ?1+sin α+cos α?· 2 2? ? 2.化简: (0<α<π)=________. 2+2cos α
答案:cos α 解析:原式=

3 = . 2 [点石成金] 三角函数公式活用的技巧 (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式. (2)tan αtan β,tan α+tan β(或 tan α-tan β),tan(α+β)(或 tan(α-β))三者中可以知二求一, 注意公式的正用、逆用和变形使用. (3)注意切化弦思想的运用.

?2cos2α+2sin αcos α??cos α-sin α? 2 2 2?? 2 2? ?
α 4cos2 2 cos = α α? 2α cos -sin2 ? 2 2? 2? α ?cos ? 2? ?

α cos α 2 = . ?cos α? 2? ? cos α π 因为 0<α<π,所以 0< < , 2 2 所以 cos α >0,所以原式=cos α. 2 考点 3 角的变换

π ? 1 ? ?π ?? 1.已知 sin? ?6-α?=3,则 cos?2?3+α??的值是( 7 A. 9 1 C.- 3 答案:D π ? 1 解析:∵sin? ?6-α?=3, π ? ? ?π ?? ∴cos? ?3-2α?=cos?2?6-α?? π ? 7 =1-2sin2? ?6-α?=9, 1 B. 3

)

7 D.- 9

角的变换技巧 2α=(α+β)+(α-________); α=(α+________)-β;β= α+β α-β ________ ; 2 2

?π ?? ?2π ? ∴cos? ?2?3+α??=cos? 3 +2α? ?π ?? =cos? ?π-?3-2α??
π 7 ? =-cos? ?3-2α?=-9.
4

α-β ? β ?α ? =?α+2? ?________?2+β?. 2

答案:β β - -

9 10 13 10 cos β= ,sin β= . 50 50 ∴sin(α-2β)=sin [(α-β)-β] =sin(α-β)cos β-cos(α-β)sin β

3 1 [典题 3] 已知 α,β 均为锐角,且 sin α= ,tan(α-β)=- . 5 3 (1)求 sin(α-β)的值; (2)求 cos β 的值. π? [解] (1)∵α,β∈? ?0,2?, π π ∴- <α-β< . 2 2 1 又 tan(α-β)=- <0, 3 π ∴- <α-β <0. 2 10 ∴sin(α-β)=- . 10 3 10 (2)由(1)可得,cos(α-β)= . 10 3 ∵α 为锐角,且 sin α= , 5 4 ∴cos α= . 5 ∴cos β=cos [α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) 4 3 10 3 ? 10? = × + × - 5 10 5 ? 10 ? = 9 10 . 50

24 =- . 25 [题点发散 2] 值. 3 1 解:∵tan α= ,tan(α-β)=- , 5 3 ∴tan(2α-β)=tan[α+?α-β?] 3 1 - 5 3 tan α+tan?α-β? 2 = = = . 3 1 9 1-tan αtan?α-β? 1+ × 5 3 [点石成金] 利用角的变换求三角函数值的策略 (1)当“已知角”有两个时,一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式; (2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后 应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 3 3 若本例中“sin α= ”变为“tan α= ”,其他条件不变,求 tan(2α-β)的 5 5

β? π 1 ?α ? 2 已知 0<β< <α<π,且 cos? ?α-2?=-9,sin?2-β?=3,求 cos(α+β)的值. 2 π 解:∵0<β < <α<π, 2 π β ∴ <α- <π, 4 2 π α π - < -β< , 4 2 2 β? ∴sin? ?α-2?= β? 4 5 1-cos2? ?α-2?= 9 ,

[题点发散 1] 在本例条件下,求 sin(α-2β)的值. 解:∵sin(α-β)=- 10 3 10 ,cos(α-β)= , 10 10

5

α ? cos? ?2-β?=

α ? 5 1-sin2? ?2-β?= 3 ,

= 2(sin 15° cos 45° +cos 15° sin 45° ) = 2sin 60° = 2× 3 6 = . 2 2

α+β ?α-β?-?α-β?? ∴cos =cos? ?? 2? ?2 ?? 2 β α β α α- ?cos? -β?+sin?α- ?sin? -β? =cos? ? 2? ?2 ? ? 2? ?2 ? 1? 5 4 5 2 7 5 =? ?-9?× 3 + 9 ×3= 27 , 则由二倍角公式,可得 α+β 239 cos(α+β)=2cos2 -1=- . 2 729 真题演练集训 1.[2015· 新课标全国卷Ⅰ]sin 20° cos 10° -cos 160° · sin 10° =( 3 A.- 2 答案:D 解析:sin 20° cos 10° -cos 160° sin 10° =sin 20° · cos 10° +cos 20° sin 10° =sin(20° +10° )=sin 1 30° = ,故选 D. 2 π π 2.[2016· 四川卷]cos2 -sin2 =________. 8 8 2 答案: 2 解析:由二倍角公式,得 π? π π 2 cos2 -sin2 =cos? ?2×8?= 2 . 8 8 3.[2015· 四川卷]sin 15° +sin 75° 的值是________. 3 B. 2 1 1 C.- D. 2 2 )

1 4.[2015· 江苏卷]已知 tan α=-2,tan(α+β)= ,则 tan β 的值为________. 7 答案:3 解析:tan β=tan[(α+β)-α]= 1 -?-2? 7 = =3. 1 1+ ×?-2? 7 课外拓展阅读 三角恒等变换的综合问题 1.三角恒等变换与三角函数性质的综合应用 利用三角恒等变换先将三角函数式转化为 y =Asin(ωx + φ) 的形式,再求其周期、单调区 间、最值等,一直是高考的热点. [典例 1] [改编题]已知函数 f(x)=2sin ωx-4sin2 在 y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为 2. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)若 f(x)在区间[6,16]上的最大值为 4,求 a 的值. [解] (1)f(x)=2sin ωx-4sin2 π ωx ωx+ ?+a, +2+a=2 2sin? 4? ? 2 ωx +2+a(其中 ω>0,α∈R),且 f(x)的图象 2 tan?α+β?-tan α 1+tan?α+β?tan α

π π π 由题意,知 2ω+ = ,得 ω= . 4 2 8 2π 所以最小正周期 T= =16. ω π π? (2)f(x)=2 2sin? ?8x+4?+a, 9π π π π, ?. 因为 x∈[6,16],所以 x+ ∈? 4? 8 4 ?

答案:

6 2

解析:sin 15° +sin 75° =sin 15° +cos 15° = 2? 2 2 ? + cos 15° 2 ? 2 sin 15° ?
6

π π 9π 由图象可知(图略),当 x+ = , 8 4 4 即当 x=16 时, f(x)的最大值, 由 2 2sin 9π +a=4,得 a=2. 4

因为 cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B, 即 3 2 2 -sin Asin B= , 5 2

3 2 2 2 解得 sin Asin B= - = . 5 2 10 由①得 tan2α-5tan α+4=0, 解得 tan α=1 或 tan α=4. 3.三角恒等变换与向量的综合 三角恒等变换与向量的综合问题是高考中经常出现的问题,一般以向量的坐标形式给出与 三角函数有关的条件,并结合简单的向量运算,往往是两向量平行或垂直的计算,即令 a= (x1,y1),b=(x2,y2),则 a· b=x1x2+y1y2,a∥b?x1y2=x2y1,a⊥b?x1x2+y1y2=0,把向量形式 化为坐标运算后,接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数、解三角形等知识的
2 2 2

2.三角恒等变换与三角形的综合 三角恒等变换经常出现在解三角形中,与正弦定理、余弦定理相结合,综合考查三角形中 的边与角、三角形形状的判断等,是高考热点内容. 根据所给条件解三角形时,主要有两种途径: (1)利用正弦定理把边的关系化成角,因为三个角之和等于 π,可以根据此关系把未知量减 少,再用三角恒等变换化简求解; (2)利用正弦、余弦定理把边的关系化成角的关系,再用三角恒等变换化简求解. [典例 2] 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 a +b + 2ab=c . (1)求 C; 3 2 cos?α+A?cos?α+B? 2 (2)设 cos Acos B= , = ,求 tan α 的值. 5 cos2α 5 [解] (1)因为 a2+b2+ 2ab=c2, a2+b2-c2 - 2ab 2 3π 由余弦定理,得 cos C= = =- .故 C= . 2ab 2ab 2 4 (2)由题意,得 ?sin αsin A-cos αcos A??sin αsin B-cos αcos B? 2 = , cos2α 5 因此(tan αsin A-cos A)(tan αsin B-cos B)= 2 , 5 2 , 5

运用. [典例 3] 已知△ABC 为锐角三角形,若向量 p=(2-2sin A,cos A+sin A)与向量 q=(sin A -cos A,1+sin A),是共线向量. (1)求角 A; (2)求函数 y=2sin2B+cos C-3B 的最大值. 2

化简 [思路分析] (1) 向量共线 → 三角函数式 ― ― → 得sin2A的值 → 得锐角A (2) 化函数为Asin?ωx+φ??+b的形式 → 根据B的范?围求最值 [解] (1)因为 p,q 共线,所以(2-2sin A)(1+sin A)=(cos A+sin A)(sin A-cos A), 3 则 sin2A= . 4 又 A 为锐角,所以 sin A= (2)y=2sin2B+cos C-3B 2 3 π ,则 A= . 2 3

tan2αsin Asin B-tan α(sin Acos B+cos Asin B)+cos Acos B= tan2αsin Asin B-tan αsin(A+B)+cos Acos B= 3π π 因为 C= ,A+B= , 4 4 所以 sin(A+B)= 2 . 2 2 .① 5

7

=2sin B+cos
2

2

?π-π-B?-3B ? 3 ?
2

1 3 解析:由已知得 cos α= ,sin α=- , 2 2 π 1 3 1 α- ?= cos α+ sin α=- . ∴cos? 3 ? ? 2 2 2 1 3 2tan 14° 3.[2017· 河南六市联考]设 a= cos 2° - sin 2° ,b= ,c= 2 2 1-tan214° ( ) A.a<c<b C.b<c<a 答案:D 解析:由题意可知,a=sin 28° ,b=tan 28° ,c=sin 25° , ∴c<a<b. 4.[2017· 安徽师大附中学高三上学期期中]设当 x=θ 时,函数 y=sin x-2cos x 取得最大 值,则 cos θ=( 课时跟踪检测(二十) [高考基础题型得分练] A.- 5 5 ) B. 5 5 B.a<b<c D.c<a<b 1-cos 50° ,则有 2

π ? =2sin B+cos? ?3-2B? 1 3 =1-cos 2B+ cos 2B+ sin 2B 2 2 3 1 = sin 2B- cos 2B+1 2 2 π? =sin? ?2B-6?+1. π? π ? π 5π? 因为 B∈? ?0,2?,所以 2B-6∈?-6, 6 ?, π π 所以当 2B- = 时,函数 y 取得最大值, 6 2 π 解得 B= ,ymax=2. 3

1.(1+tan 17° )(1+tan 28° )的值是( A.-1 C.1 答案:D

) B.0 D.2

2 5 C.- 5 答案:C 解析:f(x)=sin x-2cos x= 5? 5sin(x-α), 2 5 5 其中 sin α= ,cos α= , 5 5

2 5 D. 5

5 2 5 ? sin x- cos x = 5 ?5 ?

解析:原式=1+tan 17° +tan 28° +tan 17° · tan 28° =1+tan 45° (1-tan 17° · tan 28° )+tan 17° · tan 28° =1+1=2. π π ? 1 ? π? 2.已知 sin? ?2+α?=2,-2<α<0,则 cos?α-3?的值是( 1 A. 2 1 C.- 2 答案:C 2 B. 3 D.1 )

因为当 x=θ 时,函数 y=sin x-2cos x 取得最大值,所以 sin(θ-α)=1, 即 sin θ-2cos θ= 5, 2 5 又 sin2θ+cos2θ=1,联立方程组可得 cos θ=- ,故选 C. 5 π 1 α- ?=( ) 5.已知 sin 2α= ,则 cos2? ? 4? 3 1 A.- 3
8

1 B. 3

2 C.- 3 答案:D

2 D. 3

答案:A π ? ?π ? 解析:因为 α∈? ?4,π?,所以 2α∈?2,2π?, 又 sin 2α= π ? 5 ?π π? ,所以 2α∈? ?2,π?,α∈?4,2?, 5

π? 1 2 解析:依题意,得 cos2? ?α-4?=2(cos α+sin α) 1 2 = (1+sin 2α)= . 2 3 π? 6.[2017· 广西柳州、北海、钦州三市模拟]若 sin? ?α-4?=-cos 2α,则 sin 2α 的值可以为 ( ) 1 A.- 或 1 2 3 C. 4 答案:A 解析:解法一:由已知得 α=0, 1 解得 sin 2α=- 或 1. 2 π? π? ? 解法二:由已知得 sin? ?α-4?=sin?2α-2? π? ? π? =2sin? ?α-4?cos?α-4?, π? 1 ? π? ∴cos? ?α-4?=2或 sin?α-4?=0, π? 1 1 2? ? π?? 则 sin 2α=cos? ?2?α-4??=2cos ?α-4?-1=2×4-1=-2或 sin 2α=1. 7.[2017· 四川成都一诊]若 sin 2α= +β 的值是( 7π A. 4 5π 7π C. 或 4 4 ) 9π B. 4 5π 9π D. 或 4 4
9

2 5 故 cos 2α=- . 5 3π? ?π 5π? 又 β∈? ?π, 2 ?,所以 β-α∈?2, 4 ?, 3 10 故 cos(β-α)=- . 10 所以 cos(α+β)=cos [2α+(β-α)] =cos 2αcos(β-α)-sin 2αsin(β-α) 2 5 ? 3 10? 5 10 2 =- × - - × = , 5 10 2 ? 10 ? 5 5π 7π ? 且 α+β∈? ? 4 ,2π?,故 α+β= 4 . 2cos 10° -sin 20° 8.计算 =________. sin 70° 答案: 3 2cos?30° -20° ?-sin 20° 解析:原式= sin 70° = = 2?cos 30° cos 20° +sin 30° sin 20° ?-sin 20° sin 70° 3cos 20° = 3. cos 20°

1 B. 2 3 D.- 4

2 2 (sin α-cos α)=sin2α-cos2α,∴sin α+cos α= 或 sin α-cos 2 2

π ? 3π 5 10 ,π ,β∈?π, ?,则 α ,sin(β-α)= ,且 α∈? 2? ?4 ? ? 5 10

π? 4 π? ? 9.设 α 为锐角,若 cos? ?α+6?=5,则 sin?2α+12?的值为________. 17 2 答案: 50 π? 4 解析:因为 α 为锐角,cos? ?α+6?=5, π? 3 ? π? 24 所以 sin? ?α+6?=5,sin 2?α+6?=25,

π? 7 cos 2? ?α+6?=25, π? ? ? π? π? 所以 sin? ?2α+12?=sin 2?α+6?-4

sin αsin β 1 所以 tan αtan β= = . cos αcos β 3

?

?

[冲刺名校能力提升练] π? 7 2 7 1.已知 sin? ?α-4?= 10 ,cos 2α=25,则 sin α=( 4 A. 5 3 C. 5 答案:C π? 7 2 解析:由 sin? ?α-4?= 10 得, 7 sin α-cos α= ,① 5 7 7 由 cos 2α= 得,cos2α-sin2α= , 25 25 所以(cos α-sin α)(cos α+sin α)= 7 ,② 25 4 B.- 5 3 D.- 5 )

24 2 7 2 17 2 = × - × = . 25 2 25 2 50 π? π? 2? 2 10.化简 sin2? ?α-6?+sin ?α+6?-sin α 的结果是________. 1 答案: 2 π? π? ? 1-cos? ?2α-3? 1-cos?2α+3? 解析:解法一:原式= + -sin2α 2 2 1 ?2α-π?+cos?2α+π??-sin2α =1- ? cos 3? 3?? ? 2? ? π =1-cos 2α· cos -sin2α 3 cos 2α 1-cos 2α 1 =1- - = . 2 2 2 1 1 1 解法二:令 α=0,则原式= + = . 4 4 2 1 1 11.已知 cos(α+β)= ,cos(α-β)= ,则 tan αtan β 的值为________. 6 3 1 答案: 3 1 解析:因为 cos(α+β)= , 6 1 所以 cos αcos β-sin αsin β= .① 6 1 因为 cos(α-β)= , 3 1 所以 cos αcos β +sin αsin β= .② 3 1 ①+②得 cos αcos β= . 4 1 ②-①得 sin αsin β= . 12
10

1 由①②可得,cos α+sin α=- ,③ 5 3 由①③可得,sin α= . 5 1 2.[2017· 江西九校联考]已知锐角 α,β 满足 sin α-cos α= ,tan α+tan β+ 3tan αtan β= 6 3,则 α,β 的大小关系是( π A.α< <β 4 π C. <α<β 4 答案:B 1 π 解析:∵α 为锐角,sin α-cos α= >0,∴α> . 6 4 又 tan α+tan β+ 3tan αtan β= 3, tan α+tan β ∴tan(α+β)= = 3, 1-tan αtan β ) π B.β< <α 4 π D. <β<α 4

π π π ∴α+β= ,又 α> ,∴β< <α. 3 4 4 3 1 3.[2017· 河北衡水中学二调] - =( cos 10° sin 170° A.4 C.-2 答案:D 3 1 3 1 解析: - = - cos 10° sin 170° cos 10° sin 10° = = 3sin 10° -cos 10° sin 10° cos 10° 2sin?10° -30° ? 1 sin 20° 2 B.2 D.-4 )

3 ? 1? - - 4 ? 7? tan 2α-tan β 所以 tan(2α-β)= = =1. 1 3 1+tan 2αtan β - ? 1+ ×? 4 ? 7? π 因为 0<β<π,所以-π<2α-β< , 4 3π 所以 2α-β=- . 4 π 1 13 0<β<α< ?. 5.已知 cos α= ,cos(α-β)= ? 2? ? 7 14 (1)求 tan 2α 的值; (2)求 β 的值. 1 π 4 3 解:(1)∵cos α= ,0<α< ,∴sin α= , 7 2 7 ∴tan α=4 3, 2×4 3 2tan α 8 3 ∴tan 2α= =- . 2 = 47 1-tan α 1-48 π π (2)∵0<β<α< ,∴0<α-β< , 2 2 3 3 ∴sin(α-β)= , 14 ∴cos β=cos [α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) 1 13 4 3 3 3 1 = × + × = . 7 14 7 14 2 π ∴β = . 3 π 1 ? ?π ? ?π π? 6.[2017· 安徽合肥质检]已知 cos? ?6+α?cos?3-α?=-4,α∈?3,2?. (1)求 sin 2α 的值; (2)求 tan α- 1 的值. tan α

-2sin 20° = =-4. 1 sin 20° 2 1 1 4.[2017· 山东菏泽二模 ] 已知 α , β ∈ (0 , π) ,且 tan(α - β) = , tan β =- ,则 2α - β = 2 7 ________. 3π 答案:- 4 解析:因为 tan α=tan [(α-β)+β] 1 1 - 2 7 tan?α-β?+tan β 1 = = = <1, 1 ? 1? 3 1-tan?α-β?tan β 1- ×?-7? 2 π 所以 0<α< . 4 2tan α 又因为 tan 2α= = 1-tan2α π 所以 0<2α< , 4 1 2× 3 3 = <1, 1 ?2 4 1-? 3 ? ?

π ? ?π ? 解:(1)cos? ?6+α?cos?3-α?

11

π ? ?π ? =cos? ?6+α?sin?6+α? π 1 1 2α+ ?=- , = sin? 3? 2 ? 4 π? 1 即 sin? ?2α+3?=-2. π π? π ? 4π? ∵α∈? ?3,2?,∴2α+3∈?π, 3 ?, π? 3 ∴cos? ?2α+3?=- 2 , π π 2α+ ?- ? ∴sin 2α=sin?? 3? 3 ?

?

?

π π π π 1 2α+ ?cos -cos?2α+ ?sin = . =sin? 3? 3? ? ? 3 3 2 π π? ?2π ? (2)∵α∈? ?3,2?,∴2α∈? 3 ,π?, 1 3 又由(1)知 sin 2α= ,∴cos 2α=- . 2 2 ∴tan α- = 1 sin α cos α = - tan α cos α sin α

sin2α-cos2α -2cos 2α = sin αcos α sin 2α

3 - 2 =-2× =2 3. 1 2

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