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三角函数图像高考题(2)老师专用

三角函数图像高考题(2)
一、选择题(每题 5 分,共计 55 分) 1.(2008 山东)函数 y ? ln cos x(?

?
2

?x?

?
2

) 的图象是





答案:A 解析 本题考查复合函数的图象。

?? ? ? y ? ln cos x ? ? ? x ? ? 是偶函数,可排除 B,D; 由 cos x ? 1 ? ln cos x ? 0 排除 C,选 A 2? ? 2
2?? 的图像如下: 2. (海南、 宁夏理科卷) 已知函数 y ? 2sin(? x ? ? )(? ? 0) )在区间 ?0, 那么 ? = (
A.1 答案:B 解析 由图象知函数的周期 T ? ? ,所以 ? ? B.2 C. )

1 2

D.

1 3

y 1 O 1



x

2? ?2 T


2 3、 (2008 广东)已知函数 f ( x) ? (1 ? cos 2 x)sin x, x ? R ,则 f ( x ) 是(

A、最小正周期为 ? 的奇函数

B、最小正周期为

? 的奇函数 2 ? 的偶函数 2

C、最小正周期为 ? 的偶函数

D、最小正周期为

解析 f ( x) ? (1 ? cos 2 x) sin x ? 2 cos x sin x ?
2 2 2

1 2 1 ? cos 4 x sin 2 x ? 2 4

答案:D 4.(2008 海南、宁夏文科卷)函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x 的最小值和最大值分别为( )

A. -3,1

B. -2,2

C. -3,

3 2
2

D. -2,

3 2

解析 ∵ f ? x ? ? 1 ? 2sin x ? 2sin x ? ?2 ? sin x ?
2

? ?

1? 3 ? ? 2? 2

∴当 sin x ?

1 3 时, f max ? x ? ? ,当 sin x ? ?1 时, f min ? x ? ? ?3;故选C; 2 2

5.(2007 福建)已知函数 f ( x) ? sin ? ? x ?

? ?

?? ? (? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则该函数的图象( ??



0 ? 对称 B.关于直线 x ? A.关于点 ? , 0 ? 对称 D.关于直线 x ? C.关于点 ? ,
答案 A 6.(2007 广东)若函数 f ( x) ? sin x ?
2

?? ?? ?? ??

? ? ? ?

? 对称 ?

? 对称 ?

1 ( x ? R ) ,则 f ( x) 是( 2



A.最小正周期为

π 的奇函数 2

B.最小正周期为 π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的偶函数

C.最小正周期为 2 π 的偶函数 答案 D

7.(2007 海南、宁夏)函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

π? ? π ? ? 在区间 ? ? ,π ? 的简图是( 3? ? 2 ?



答案 A

8.(2007 浙江)若函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) , x ? R (其中 ? ? 0 , ? ?

? )的最小正周期是 ? ,且 2

f (0) ? 3 ,则(
A. ? ? 答案 D

) B. ? ?

1 ? ,? ? 2 6

1 ? ? ? ,? ? C. ? ? 2,? ? D. ? ? 2,? ? 2 3 6 3

9.(2006年天津)已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x (a、b为常数, a ? 0 , x ? R )在 x ?

?
4

处取得最

小值,则函数 y ? f (

3? ? x) 是( ) 4
B.偶函数且它的图象关于点 (

A.偶函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称

3? ,0) 对称 2

C.奇函数且它的图象关于点 ( 答案 D

3? ,0) 对称 2

D.奇函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称

sin x ? a 10.(2006年安徽卷)设 a ? 0 ,对于函数, f ? x? ? (0 ? x ? ? ) 下列结论正确的是() sin x
A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值 C.有最大值且有最小值 答案 B D.既无最大值又无最小值

1 ? cos 2 x ? 8 sin 2 x 11.(2005 全国卷Ⅰ) (6)当 0 ? x ? 时,函数 f ( x) ? 的最小值为 2 sin 2 x
A.2 答案 C 二、填空题(每题 5 分,共计 25 分) 12.(2008 江苏卷) f ( x ) ? cos( wx ? B. 2 3 C.4 D. 4 3

?

?
6

) 的最小正周期为

? ,其中 w ? 0 ,则 w ? 5

解析本小题考查三角函数的周期公式。 T ? 答案:10

2? ? ? ? w ? 10 w 5

13.(广东理科卷)已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)sin x , x ? R ,则 f ( x ) 的最小正周期.

解析 f ( x) ? sin x ? sin x cos x ?
2

2? 1 ? cos 2 x 1 ? ? 。答案: ? ? sin 2 x ,所以函数的最小正周期 T ? 2 2 2

14.(2007 安徽)函数 f ( x) ? 3sin ? 2 x ? 确结论的编号 ) . .. ①图象 C 关于直线 x ?

? ?

π? ? 的图象为 C ,如下结论中正确的是__________(写出所有正 3?

11 ? 2π ? π 对称;②图象 C 关于点 ? , 0 ? 对称; 12 ? 3 ?

③函数 f ( x ) 在区间 ? ?

? π 5π ? , ? 内是增函数; ? 12 12 ?
π 个单位长度可以得到图象 C 3

④由 y ? 3sin 2 x 的图角向右平移 答案 ①②③

15.(2007 四川)下面有五个命题: ①函数 y=sin x-cos x 的最小正周期是 ? .②终边在 y 轴上的角的集合是{a|a=
4 4

k? , k ? Z }. 2

③在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点. ④把函数 y ? 3 sin( 2 x ?

? ? )的图象向右平移 得到 y ? 3 sin 2 x的图象 . 3 6

⑤函数 y ? sin( x ?

? )在〔0,?〕上是减函数 . 2

其中真命题的序号是 答案 ① ④ 16.(2009 宁夏海南卷文)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 的图像如图所示,则 f ?

? 7? ? 12

? ??。 ?

答案

0

解析 由图象知最小正周期 T=

2 5? ? 2? 2? ? ? )= ( = ,故 ? =3,又 x= 时,f(x)=0,即 2 3 4 4 3 ? 4

sin(3 ?

?
4

? ? )=0,可得 ? ?

?
4

,所以, f ?

? 7? ? 12

7? ? ? ? ? 2 sin( 3 ? 12 ? 4 ) =0 ?

三、解答题(共计 70 分) 17.(2008 山东) ( (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 6 分)已知函数 f(x)= 且函数 y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离 3 sin(?x ? ? ) ? cos(?x ? ? )(0 ? ? ? π ,? ? 0) 为偶函数, 为

π . 2 π )的值; 8
π 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍, 6

(Ⅰ)求 f(

(Ⅱ)将函数 y=f(x)的图象向右平移

纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)的单调递减区间. 解(Ⅰ)f(x)= 3 sin(?x ? ? ) ? cos(?x ? ? ) = 2?

? 3 ? 1 sin(?x ? ? ) ? cos(?x ? ? )? 2 ? 2 ?
π ) 6

=2sin( ?x ? ? -

因为 f(x)为偶函数, 所以对 x∈R,f(-x)=f(x)恒成立, 因此 sin(- ?x ? ? -

π π )=sin( ?x ? ? - ). 6 6

即-sin ?x cos( ? -

π π π π )+cos ?x sin( ? - )=sin ?x cos( ? - )+cos ?x sin( ? - ), 6 6 6 6 π π )=0.因为 ? >0,且 x∈R,所以 cos( ? - )=0. 6 6

整理得 sin ?x cos( ? -

又因为 0< ? <π ,故

?-

π π π = .所以 f(x)=2sin( ?x + )=2cos ?x . 6 2 2

由题意得 故

2?

?

? 2?

?
2

,所以 ?  =2

f(x)=2cos2x.

因为 f ( ) ? 2 cos

?

?
4

8

? 2.

(Ⅱ)将 f(x)的图象向右平移个

? ? 个单位后,得到 f ( x ? ) 的图象,再将所得图象横坐标伸长到原来的 6 6
) 的图象.

4 倍,纵坐标不变,得到 f (

?
4

?

?
6

所以 g ( x) ? f (

?

? ? ? ? ? ? ? ? ) ? 2cos ?2( ? ) ? ? 2cos f ( ? ). 4 6 2 3 ? 4 6 ?
? 2k? ? ? (k∈Z),

当 2 k? ?

?
2

?

?
3

即 4kπ +≤

2? 8? ≤x≤4kπ + (k∈Z)时,g(x)单调递减. 3 3

因此 g(x)的单调递减区间为 ?4k? ?

? ?

2? 8? ? ,4k? ? ? 3 3?

(k∈Z)

0 ? ? ? π) ,x ? R 18. (2008 广东) ( (Ⅰ) 小问 4 分, (Ⅱ) 小问 6 分) 已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0,
的最大值是 1,其图像经过点 M ? , ? . (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)已知 ?,? ? ? 0, ? ,且 f (? ) ?

?π 1? ? 3 2?

? ?

π? 2?

3 12 , f (? ) ? ,求 f (? ? ? ) 的值. 5 13

解(1)依题意有 A ? 1 ,则 f ( x) ? sin( x ? ? ) ,将点 M (

? 1

? 1 , ) 代入得 sin( ? ? ) ? , 3 2 3 2

而 0 ? ? ? ? ,?

?

5 ? ? ? ? ? ? ,?? ? ,故 f ( x) ? sin( x ? ) ? cos x ; 3 6 2 2 3 12 ? , cos ? ? ,而 ? , ? ? (0, ) , 5 13 2

(2)依题意有 cos ? ?

3 4 12 5 ?sin ? ? 1 ? ( )2 ? ,sin ? ? 1 ? ( )2 ? , 5 5 13 13
3 12 4 5 56 f (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? 5 13 5 13 65

19. (2007 湖北) ( (Ⅰ) 小问 4 分, (Ⅱ) 小问 6 分) 已知函数 f ( x) ? cos ? x ?
2

? ?

1 π? ? ,g ( x) ? 1 ? 2 sin 2 x . 12 ?

(I)设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值. (II)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间. 解: (I)由题设知 f ( x) ?

1 π [1 ? cos(2 x ? )] . 2 6
π ? kπ , 6

因为 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,所以 2 x0 ?

即 2 x0 ? kπ ?

π (k ?Z ) . 6

所以 g ( x0 ) ? 1 ?

1 1 π sin 2 x0 ? 1 ? sin(kπ ? ) . 2 2 6

当 k 为偶数时, g ( x0 ) ? 1 ?

1 ? π? 1 3 sin ? ? ? ? 1 ? ? , 2 ? 6? 4 4
1 π 1 5 sin ? 1 ? ? . 2 6 4 4

当 k 为奇数时, g ( x0 ) ? 1 ?

(II) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

1? π ?? 1 ? 1 ? cos ? 2 x ? ?? ? 1 ? sin 2 x ? 2? 6 ?? 2 ?

?

? 3 1? ? π? ? 3 1? 3 1 cos ? 2 x ? ? ? sin 2 x ? ? ? ? cos2 x ? sin 2 x ? ? ?? 2 2? ? 6? 2 2 ? 2 2? ? ?

1 ? π? 3 ? sin ? 2 x ? ? ? . 2 ? 3? 2
当 2kπ ?

5π π π π π ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? ,即 kπ ? ≤ x ≤ kπ ? ( k ? Z )时, 12 12 2 3 2

函数 h( x) ?

1 ? π? 3 sin ? 2 x ? ? ? 是增函数, 2 ? 3? 2 ? ? 5π π? ,kπ ? ? ( k ? Z ) . 12 12 ?

故函数 h( x) 的单调递增区间是 ? kπ ?

0 ?≤ )的 20.(2007 江西) ( (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 6 分)如图,函数 y ? 2 cos(? x ? ? )( x ? R,≤
图象与 y 轴交于点 (0,3) ,且在该点处切线的斜率为 ?2 . (1)求 ? 和 ? 的值;

π 2

0 ? ,点 P 是该函数图象上一点,点 Q( x0,y0 ) 是 PA 的中点, (2)已知点 A ? ,
当 y0 ?

?π ?2

? ?

y

3 ?π ? , x0 ? ? ,π ? 时,求 x0 的值. 2 ?2 ? 3 , 2

3
O
A

P

x

解: (1)将 x ? 0 , y ? 3 代入函数 y ? 2cos(? x ? ? ) 得 cos ? ?

因为 0 ≤ ? ≤

? ? ,所以 ? ? . 6 2

又因为 y? ? ?2? sin(? x ? ? ) , y?

x ?0

? ?2 , ? ?

? ,所以 ? ? 2 , 6

因此 y ? 2cos ? 2 x ?

? ?

?? ?. 6? ? ? 3 , 2

0 ? , Q( x0,y0 ) 是 PA 的中点, y0 ? (2)因为点 A ? ,
所以点 P 的坐标为 ? 2 x0 ?

?? ?2

? ?

? ? ,3 ? . 2 ? ?? 5? ? 3 ? . ? 的图象上,所以 cos ? 4 x0 ? ? ? 6? 6 ? 2 ?

又因为点 P 在 y ? 2cos ? 2 x ?

? ?

因为

7? 5? 19? ? ≤ 4 x0 ? ≤ ≤ x0 ≤ ? ,所以 , 6 6 6 2 5? 11? 5? 13? ? ? 或 4 x0 ? . 6 6 6 6

从而得 4 x0 ?

即 x0 ?

2? 3? 或 x0 ? . 3 4

21. (2009 福建卷文) ( (Ⅰ) 小问 4 分, (Ⅱ) 小问 6 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ), 其中 ? ? 0 ,| ? |?

? 2

(I)若 cos

?
4

cos, ? ? sin

?? sin ? ? 0, 求 ? 的值; 4

(Ⅱ)在(I)的条件下,若函数 f ( x ) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于

? ,求函数 f ( x ) 的 3

解析式;并求最小正实数 m ,使得函数 f ( x ) 的图像象左平移 m 个单位所对应的函数是偶函数。 解法一: (I) 由 cos

?
4

cos ? ? sin

3? ? ? sin ? ? 0 得 cos cos ? ? sin sin ? ? 0 4 4 4

即 cos(

?
4

? ? ) ? 0 又 | ? |?

?
2

,?? ?

?
4

(Ⅱ)由(I)得, f ( x) ? sin(? x ?

?
4

)

依题意,

T ? ? 2 3

又T ?

2?

?

,

故函数 f ( x ) 的图像向左平移 m 个单位后所对应的函数为

?? ? g ( x) ? sin ?3( x ? m) ? ? 4? ?
g ( x) 是偶函数当且仅当 3m ?
k? ? ? (k ? Z ) 3 12

?
4

? k? ?

?
2

(k ? Z )

即m ?

从而,最小正实数 m ? 解法二: (I)同解法一

? 12

(Ⅱ)由(I)得, f ( x) ? sin(? x ?

?
4

)

依题意,

T ? ? 2 3
,故 ? ? 3,? f ( x) ? sin(3 x ?

又T ?

2?

?
4

?

)

函数 f ( x ) 的图像向左平移 m 个单位后所对应的函数为 g ( x) ? sin ?3( x ? m) ?

? ?

??
4? ?

g ( x) 是偶函数当且仅当 g (? x) ? g ( x) 对 x ? R 恒成立
亦即 sin( ?3 x ? 3m ?

?

) ? sin(3 x ? 3m ? ) 对 x ? R 恒成立。 4 4

?

? sin(?3x) cos(3m ? ) ? cos(?3 x) sin(3m ? ) 4 4 ? sin 3x cos(3m ? ) ? cos 3x sin(3m ? ) 4 4
即 2sin 3 x cos(3m ?

?

?

?

?

?
4

) ? 0 对 x ? R 恒成立。

? cos(3m ? ) ? 0 4
故 3m ?

?

?
4

? k? ?

?
2

(k ? Z )

?m ?

k? ? ? (k ? Z ) 3 12

从而,最小正实数 m ?

? 12

22.(2009 重庆卷理) ( (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 6 分) 设函数 f ( x) ? sin(

?x ?

?x ? ) ? 2 cos 2 ?1 . 4 6 8

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期.

(Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,求当 x ? [0, ] 时 y ? g ( x) 的最大值.

4 3

解: (Ⅰ) f ( x ) = sin

?
4

x cos

?
6

? cos

?
4

x sin

?
6

? cos

?
4

x

=

3 ? 3 ? sin x ? cos x 2 4 2 4

= 3 sin(

?

x? ) 4 3

?

故 f ( x ) 的最小正周期为 T =

2?

? 4

=8

(Ⅱ)解法一: 在 y ? g ( x) 的图象上任取一点 ( x, g ( x)) ,它关于 x ? 1 的对称点 (2 ? x, g ( x)) . 由题设条件,点 (2 ? x, g ( x)) 在 y ? f ( x) 的图象上,从而

g ( x) ? f (2 ? x) ? 3 sin[ (2 ? x) ? ] 4 3
= 3 sin[

?

?

?
2

?

?

x? ] 4 3

?

= 3 cos(

?

x? ) 4 3

?

当0 ? x ?

4 3 ? ? ? 2? 时, ? x ? ? ,因此 y ? g ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值为 3 4 3 4 3 3

gmax ? 3 cos
解法二:

?
3

?

3 2

因区间 [0, ] 关于 x = 1 的对称区间为 [ , 2] ,且 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图象关于

4 3

2 3

x = 1 对称,故 y ? g ( x) 在 [0, ] 上的最大值为 y ? f ( x) 在 [ , 2] 上的最大值

4 3

2 3

由(Ⅰ)知 f ( x ) = 3 sin(

?

x? ) 4 3

?



2 ? ? ? ? ? x ? 2 时, ? ? ? ? 3 6 4 3 6
4 3

因此 y ? g ( x) 在 [0, ] 上的最大值为

gmax ? 3 sin

?
6

?

3 2

23.(2009 重庆卷文) ( (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 6 分) 设函数 f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x)2 ? 2cos2 ? x(? ? 0) 的最小正周期为 (Ⅰ)求 ? 的最小正周期. (Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 的图像是由 y ? f ( x) 的图像向右平移 间. 解: (Ⅰ)

2? . 3

? 个单位长度得到, 求 y ? g ( x) 的单调增区 2

f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x)2 ? 2cos2 ? x ? sin 2 ? x ? cos2 ? x ? sin 2? x ?1 ? 2cos 2? x
? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 ? 2 sin(2? x ? ) ? 2 4
依题意得

?

2? 2? 3 ? ,故 ? 的最小正周期为 . 2? 3 2

(Ⅱ)依题意得: g ( x) ?

? ?? 5? ? 2 sin ?3( x ? ) ? ? ? 2 ? 2 sin(3x ? ) ? 2 2 4? 4 ?
(k ? Z )

由 2 k? ?

?
2

≤ 3x ?

5? ? ≤ 2 k? ? 4 2

解得

2 ? 2 7? k? ? ≤ x ≤ k ? ? 3 4 3 12 2 3

(k ? Z ) \

故 y ? g ( x) 的单调增区间为: [ k? ?

? 2

7? , k? ? ] (k ? Z ) 4 3 12