三角函数图像高考题(2)老师专用

三角函数图像高考题（2）
一、选择题（每题 5 分，共计 55 分） 1.（2008 山东）函数 y ? ln cos x(?

?
2

?x?

?
2

) 的图象是

（

）

答案：A 解析 本题考查复合函数的图象。

?? ? ? y ? ln cos x ? ? ? x ? ? 是偶函数，可排除 B,D; 由 cos x ? 1 ? ln cos x ? 0 排除 C,选 A 2? ? 2
2?? 的图像如下： 2. （海南、 宁夏理科卷） 已知函数 y ? 2sin(? x ? ? )(? ? 0) )在区间 ?0， 那么 ? ＝ （
A．1 答案：B 解析 由图象知函数的周期 T ? ? ，所以 ? ? B．2 C． ）

1 2

D．

1 3

y 1 O 1

2π

x

2? ?2 T
）

2 3、 （2008 广东）已知函数 f ( x) ? (1 ? cos 2 x)sin x, x ? R ，则 f ( x ) 是（

A、最小正周期为 ? 的奇函数

B、最小正周期为

? 的奇函数 2 ? 的偶函数 2

C、最小正周期为 ? 的偶函数

D、最小正周期为

解析 f ( x) ? (1 ? cos 2 x) sin x ? 2 cos x sin x ?
2 2 2

1 2 1 ? cos 4 x sin 2 x ? 2 4

答案：D 4.（2008 海南、宁夏文科卷）函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x 的最小值和最大值分别为（ ）

A. －3，1

B. －2，2

C. －3，

3 2
2

D. －2，

3 2

解析 ∵ f ? x ? ? 1 ? 2sin x ? 2sin x ? ?2 ? sin x ?
2

? ?

1? 3 ? ? 2? 2

∴当 sin x ?

1 3 时， f max ? x ? ? ，当 sin x ? ?1 时， f min ? x ? ? ?3；故选Ｃ； 2 2

5.（2007 福建）已知函数 f ( x) ? sin ? ? x ?

? ?

?? ? (? ? 0) 的最小正周期为 ? ，则该函数的图象（ ??

）

0 ? 对称 B．关于直线 x ? A．关于点 ? ， 0 ? 对称 D．关于直线 x ? C．关于点 ? ，
答案 A 6.（2007 广东）若函数 f ( x) ? sin x ?
2

?? ?? ?? ??

? ? ? ?

? 对称 ?

? 对称 ?

1 ( x ? R ) ，则 f ( x) 是（ 2

）

A．最小正周期为

π 的奇函数 2

B．最小正周期为 π 的奇函数 D．最小正周期为 π 的偶函数

C．最小正周期为 2 π 的偶函数 答案 D

7.（2007 海南、宁夏）函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

π? ? π ? ? 在区间 ? ? ，π ? 的简图是（ 3? ? 2 ?

）

答案 A

8.（2007 浙江）若函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) ， x ? R （其中 ? ? 0 ， ? ?

? ）的最小正周期是 ? ，且 2

f (0) ? 3 ，则（
A． ? ? 答案 D

） B． ? ?

1 ? ，? ? 2 6

1 ? ? ? ，? ? C． ? ? 2，? ? D． ? ? 2，? ? 2 3 6 3

9.（2006年天津）已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x （a、b为常数， a ? 0 ， x ? R ）在 x ?

?
4

处取得最

小值，则函数 y ? f (

3? ? x) 是（ ） 4
B．偶函数且它的图象关于点 (

A．偶函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称

3? ,0) 对称 2

C．奇函数且它的图象关于点 ( 答案 D

3? ,0) 对称 2

D．奇函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称

sin x ? a 10.（2006年安徽卷）设 a ? 0 ，对于函数， f ? x? ? (0 ? x ? ? ) 下列结论正确的是（） sin x
A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值 C．有最大值且有最小值 答案 B D．既无最大值又无最小值

1 ? cos 2 x ? 8 sin 2 x 11.（2005 全国卷Ⅰ） （6）当 0 ? x ? 时，函数 f ( x) ? 的最小值为 2 sin 2 x
A.2 答案 C 二、填空题（每题 5 分，共计 25 分） 12.（2008 江苏卷） f ( x ) ? cos( wx ? B. 2 3 C.4 D. 4 3

?

?
6

) 的最小正周期为

? ，其中 w ? 0 ，则 w ? 5

解析本小题考查三角函数的周期公式。 T ? 答案：10

2? ? ? ? w ? 10 w 5

13.（广东理科卷）已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)sin x ， x ? R ，则 f ( x ) 的最小正周期．

解析 f ( x) ? sin x ? sin x cos x ?
2

2? 1 ? cos 2 x 1 ? ? 。答案： ? ? sin 2 x ,所以函数的最小正周期 T ? 2 2 2

14.（2007 安徽）函数 f ( x) ? 3sin ? 2 x ? 确结论的编号 ） ． ．． ①图象 C 关于直线 x ?

? ?

π? ? 的图象为 C ，如下结论中正确的是__________（写出所有正 3?

11 ? 2π ? π 对称；②图象 C 关于点 ? ， 0 ? 对称； 12 ? 3 ?

③函数 f ( x ) 在区间 ? ?

? π 5π ? ， ? 内是增函数； ? 12 12 ?
π 个单位长度可以得到图象 C 3

④由 y ? 3sin 2 x 的图角向右平移 答案 ①②③

15.（2007 四川）下面有五个命题： ①函数 y=sin x-cos x 的最小正周期是 ? .②终边在 y 轴上的角的集合是{a|a=
4 4

k? , k ? Z ｝. 2

③在同一坐标系中，函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点. ④把函数 y ? 3 sin( 2 x ?

? ? )的图象向右平移 得到 y ? 3 sin 2 x的图象 . 3 6

⑤函数 y ? sin( x ?

? )在〔0，?〕上是减函数 . 2

其中真命题的序号是 答案 ① ④ 16.（2009 宁夏海南卷文）已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 的图像如图所示，则 f ?

? 7? ? 12

? ??。 ?

答案

0

解析 由图象知最小正周期 T＝

2 5? ? 2? 2? ? ? ）＝ （ ＝ ，故 ? ＝3，又 x＝ 时，f（x）＝0，即 2 3 4 4 3 ? 4

sin(3 ?

?
4

? ? ）＝0，可得 ? ?

?
4

，所以， f ?

? 7? ? 12

7? ? ? ? ? 2 sin( 3 ? 12 ? 4 ) ＝0 ?

三、解答题（共计 70 分） 17.（2008 山东） （ （Ⅰ）小问 4 分， （Ⅱ）小问 6 分）已知函数 f(x)＝ 且函数 y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离 3 sin(?x ? ? ) ? cos(?x ? ? )(0 ? ? ? π ,? ? 0) 为偶函数， 为

π . 2 π ）的值； 8
π 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍， 6

（Ⅰ）求 f（

（Ⅱ）将函数 y＝f(x)的图象向右平移

纵坐标不变，得到函数 y＝g(x)的图象，求 g(x)的单调递减区间. 解（Ⅰ）f(x)＝ 3 sin(?x ? ? ) ? cos(?x ? ? ) ＝ 2?

? 3 ? 1 sin(?x ? ? ) ? cos(?x ? ? )? 2 ? 2 ?
π ) 6

＝2sin( ?x ? ? -

因为 f(x)为偶函数， 所以对 x∈R,f(-x)=f(x)恒成立， 因此 sin（- ?x ? ? -

π π ）＝sin( ?x ? ? - ). 6 6

即-sin ?x cos( ? -

π π π π )+cos ?x sin( ? - )=sin ?x cos( ? - )+cos ?x sin( ? - ), 6 6 6 6 π π )=0.因为 ? ＞0，且 x∈R,所以 cos（ ? - ）＝0. 6 6

整理得 sin ?x cos( ? -

又因为 0＜ ? ＜π ，故

?-

π π π ＝ .所以 f(x)＝2sin( ?x + )=2cos ?x . 6 2 2

由题意得 故

2?

?

? 2?

?
2

，所以 ? 　＝2

f(x)=2cos2x.

因为 f ( ) ? 2 cos

?

?
4

8

? 2.

（Ⅱ）将 f(x)的图象向右平移个

? ? 个单位后，得到 f ( x ? ) 的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的 6 6
) 的图象.

4 倍，纵坐标不变，得到 f (

?
4

?

?
6

所以 g ( x) ? f (

?

? ? ? ? ? ? ? ? ) ? 2cos ?2( ? ) ? ? 2cos f ( ? ). 4 6 2 3 ? 4 6 ?
? 2k? ? ? (k∈Z),

当 2 k? ?

?
2

?

?
3

即 4kπ ＋≤

2? 8? ≤x≤4kπ + (k∈Z)时，g(x)单调递减. 3 3

因此 g(x)的单调递减区间为 ?4k? ?

? ?

2? 8? ? ,4k? ? ? 3 3?

(k∈Z)

0 ? ? ? π) ，x ? R 18. （2008 广东） （ （Ⅰ） 小问 4 分， （Ⅱ） 小问 6 分） 已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0，
的最大值是 1，其图像经过点 M ? ， ? ． （1）求 f ( x ) 的解析式； （2）已知 ?，? ? ? 0， ? ，且 f (? ) ?

?π 1? ? 3 2?

? ?

π? 2?

3 12 ， f (? ) ? ，求 f (? ? ? ) 的值． 5 13

解（1）依题意有 A ? 1 ，则 f ( x) ? sin( x ? ? ) ，将点 M (

? 1

? 1 , ) 代入得 sin( ? ? ) ? ， 3 2 3 2

而 0 ? ? ? ? ，?

?

5 ? ? ? ? ? ? ，?? ? ，故 f ( x) ? sin( x ? ) ? cos x ； 3 6 2 2 3 12 ? , cos ? ? ，而 ? , ? ? (0, ) ， 5 13 2

（2）依题意有 cos ? ?

3 4 12 5 ?sin ? ? 1 ? ( )2 ? ,sin ? ? 1 ? ( )2 ? ， 5 5 13 13
3 12 4 5 56 f (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? 5 13 5 13 65

19. （2007 湖北） （ （Ⅰ） 小问 4 分， （Ⅱ） 小问 6 分） 已知函数 f ( x) ? cos ? x ?
2

? ?

1 π? ? ，g ( x) ? 1 ? 2 sin 2 x ． 12 ?

（I）设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴，求 g ( x0 ) 的值． （II）求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间． 解： （I）由题设知 f ( x) ?

1 π [1 ? cos(2 x ? )] ． 2 6
π ? kπ ， 6

因为 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴，所以 2 x0 ?

即 2 x0 ? kπ ?

π （k ?Z ） ． 6

所以 g ( x0 ) ? 1 ?

1 1 π sin 2 x0 ? 1 ? sin(kπ ? ) ． 2 2 6

当 k 为偶数时， g ( x0 ) ? 1 ?

1 ? π? 1 3 sin ? ? ? ? 1 ? ? ， 2 ? 6? 4 4
1 π 1 5 sin ? 1 ? ? ． 2 6 4 4

当 k 为奇数时， g ( x0 ) ? 1 ?

（II） h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

1? π ?? 1 ? 1 ? cos ? 2 x ? ?? ? 1 ? sin 2 x ? 2? 6 ?? 2 ?

?

? 3 1? ? π? ? 3 1? 3 1 cos ? 2 x ? ? ? sin 2 x ? ? ? ? cos2 x ? sin 2 x ? ? ?? 2 2? ? 6? 2 2 ? 2 2? ? ?

1 ? π? 3 ? sin ? 2 x ? ? ? ． 2 ? 3? 2
当 2kπ ?

5π π π π π ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? ，即 kπ ? ≤ x ≤ kπ ? （ k ? Z ）时， 12 12 2 3 2

函数 h( x) ?

1 ? π? 3 sin ? 2 x ? ? ? 是增函数， 2 ? 3? 2 ? ? 5π π? ，kπ ? ? （ k ? Z ） ． 12 12 ?

故函数 h( x) 的单调递增区间是 ? kπ ?

0 ?≤ )的 20.（2007 江西） （ （Ⅰ）小问 4 分， （Ⅱ）小问 6 分）如图，函数 y ? 2 cos(? x ? ? )( x ? R，≤
图象与 y 轴交于点 (0，3) ，且在该点处切线的斜率为 ?2 ． （1）求 ? 和 ? 的值；

π 2

0 ? ，点 P 是该函数图象上一点，点 Q( x0，y0 ) 是 PA 的中点， （2）已知点 A ? ，
当 y0 ?

?π ?2

? ?

y

3 ?π ? ， x0 ? ? ，π ? 时，求 x0 的值． 2 ?2 ? 3 ， 2

3
O
A

P

x

解： （1）将 x ? 0 ， y ? 3 代入函数 y ? 2cos(? x ? ? ) 得 cos ? ?

因为 0 ≤ ? ≤

? ? ，所以 ? ? ． 6 2

又因为 y? ? ?2? sin(? x ? ? ) ， y?

x ?0

? ?2 ， ? ?

? ，所以 ? ? 2 ， 6

因此 y ? 2cos ? 2 x ?

? ?

?? ?． 6? ? ? 3 ， 2

0 ? ， Q( x0，y0 ) 是 PA 的中点， y0 ? （2）因为点 A ? ，
所以点 P 的坐标为 ? 2 x0 ?

?? ?2

? ?

? ? ，3 ? ． 2 ? ?? 5? ? 3 ? ． ? 的图象上，所以 cos ? 4 x0 ? ? ? 6? 6 ? 2 ?

又因为点 P 在 y ? 2cos ? 2 x ?

? ?

因为

7? 5? 19? ? ≤ 4 x0 ? ≤ ≤ x0 ≤ ? ，所以 ， 6 6 6 2 5? 11? 5? 13? ? ? 或 4 x0 ? ． 6 6 6 6

从而得 4 x0 ?

即 x0 ?

2? 3? 或 x0 ? ． 3 4

21. （2009 福建卷文） （ （Ⅰ） 小问 4 分， （Ⅱ） 小问 6 分） 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ), 其中 ? ? 0 ，| ? |?

? 2

（I）若 cos

?
4

cos, ? ? sin

?? sin ? ? 0, 求 ? 的值； 4

（Ⅱ）在（I）的条件下，若函数 f ( x ) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于

? ，求函数 f ( x ) 的 3

解析式；并求最小正实数 m ，使得函数 f ( x ) 的图像象左平移 m 个单位所对应的函数是偶函数。 解法一： （I） 由 cos

?
4

cos ? ? sin

3? ? ? sin ? ? 0 得 cos cos ? ? sin sin ? ? 0 4 4 4

即 cos(

?
4

? ? ) ? 0 又 | ? |?

?
2

,?? ?

?
4

（Ⅱ）由（I）得， f ( x) ? sin(? x ?

?
4

)

依题意，

T ? ? 2 3

又T ?

2?

?

,

故函数 f ( x ) 的图像向左平移 m 个单位后所对应的函数为

?? ? g ( x) ? sin ?3( x ? m) ? ? 4? ?
g ( x) 是偶函数当且仅当 3m ?
k? ? ? (k ? Z ) 3 12

?
4

? k? ?

?
2

(k ? Z )

即m ?

从而，最小正实数 m ? 解法二： （I）同解法一

? 12

（Ⅱ）由（I）得， f ( x) ? sin(? x ?

?
4

)

依题意，

T ? ? 2 3
，故 ? ? 3,? f ( x) ? sin(3 x ?

又T ?

2?

?
4

?

)

函数 f ( x ) 的图像向左平移 m 个单位后所对应的函数为 g ( x) ? sin ?3( x ? m) ?

? ?

??
4? ?

g ( x) 是偶函数当且仅当 g (? x) ? g ( x) 对 x ? R 恒成立
亦即 sin( ?3 x ? 3m ?

?

) ? sin(3 x ? 3m ? ) 对 x ? R 恒成立。 4 4

?

? sin(?3x) cos(3m ? ) ? cos(?3 x) sin(3m ? ) 4 4 ? sin 3x cos(3m ? ) ? cos 3x sin(3m ? ) 4 4
即 2sin 3 x cos(3m ?

?

?

?

?

?
4

) ? 0 对 x ? R 恒成立。

? cos(3m ? ) ? 0 4
故 3m ?

?

?
4

? k? ?

?
2

(k ? Z )

?m ?

k? ? ? (k ? Z ) 3 12

从而，最小正实数 m ?

? 12

22.（2009 重庆卷理） （ （Ⅰ）小问 4 分， （Ⅱ）小问 6 分） 设函数 f ( x) ? sin(

?x ?

?x ? ) ? 2 cos 2 ?1 ． 4 6 8

（Ⅰ）求 f ( x ) 的最小正周期．

（Ⅱ）若函数 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称，求当 x ? [0, ] 时 y ? g ( x) 的最大值．

4 3

解： （Ⅰ） f ( x ) = sin

?
4

x cos

?
6

? cos

?
4

x sin

?
6

? cos

?
4

x

=

3 ? 3 ? sin x ? cos x 2 4 2 4

= 3 sin(

?

x? ) 4 3

?

故 f ( x ) 的最小正周期为 T =

2?

? 4

=8

(Ⅱ)解法一： 在 y ? g ( x) 的图象上任取一点 ( x, g ( x)) ，它关于 x ? 1 的对称点 (2 ? x, g ( x)) . 由题设条件，点 (2 ? x, g ( x)) 在 y ? f ( x) 的图象上，从而

g ( x) ? f (2 ? x) ? 3 sin[ (2 ? x) ? ] 4 3
= 3 sin[

?

?

?
2

?

?

x? ] 4 3

?

= 3 cos(

?

x? ) 4 3

?

当0 ? x ?

4 3 ? ? ? 2? 时， ? x ? ? ，因此 y ? g ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值为 3 4 3 4 3 3

gmax ? 3 cos
解法二：

?
3

?

3 2

因区间 [0, ] 关于 x = 1 的对称区间为 [ , 2] ，且 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图象关于

4 3

2 3

x = 1 对称，故 y ? g ( x) 在 [0, ] 上的最大值为 y ? f ( x) 在 [ , 2] 上的最大值

4 3

2 3

由（Ⅰ）知 f ( x ) ＝ 3 sin(

?

x? ) 4 3

?

当

2 ? ? ? ? ? x ? 2 时， ? ? ? ? 3 6 4 3 6
4 3

因此 y ? g ( x) 在 [0, ] 上的最大值为

gmax ? 3 sin

?
6

?

3 2

23.（2009 重庆卷文） （ （Ⅰ）小问 4 分， （Ⅱ）小问 6 分） 设函数 f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x)2 ? 2cos2 ? x(? ? 0) 的最小正周期为 （Ⅰ）求 ? 的最小正周期． （Ⅱ）若函数 y ? g ( x) 的图像是由 y ? f ( x) 的图像向右平移 间． 解： （Ⅰ）

2? ． 3

? 个单位长度得到， 求 y ? g ( x) 的单调增区 2

f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x)2 ? 2cos2 ? x ? sin 2 ? x ? cos2 ? x ? sin 2? x ?1 ? 2cos 2? x
? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 ? 2 sin(2? x ? ) ? 2 4
依题意得

?

2? 2? 3 ? ，故 ? 的最小正周期为 . 2? 3 2

（Ⅱ）依题意得: g ( x) ?

? ?? 5? ? 2 sin ?3( x ? ) ? ? ? 2 ? 2 sin(3x ? ) ? 2 2 4? 4 ?
(k ? Z )

由 2 k? ?

?
2

≤ 3x ?

5? ? ≤ 2 k? ? 4 2

解得

2 ? 2 7? k? ? ≤ x ≤ k ? ? 3 4 3 12 2 3

(k ? Z ) \

故 y ? g ( x) 的单调增区间为: [ k? ?

? 2

7? , k? ? ] (k ? Z ) 4 3 12