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广东省东莞市2013-2014学年度第一学期高二文科数学试卷及答案答案(A卷)


2013—2014 学年度第一学期期末教学质量检查 高二文科数学(A 卷)
考生注意:本卷共三大题,20 小题,满分 150 分,时间 120 分钟.不准使用计算器 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 每小题各有四个选择支,仅有一个 选择支正确. ) 1.设 a ? b, c ? d ,则下列不等式一定正确的是( ) a b A. a ? c ? b ? d B. ac ? bd C. c ? d D. a - c ? b - d 2.在 ?ABC 中,若 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ,则 C =( ) 0 0 0 A. 30 B. 150 C. 45 3.等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S1 ? S 2 ? 0 ,则公比 q =( A.-1 4.已知 M 是椭圆 x9 ?
2 y2 16

D. 1350 ) D.2 )

B.-2

C.1

? 1 上的点,若 F1,F2 是椭圆的两个焦点,则 MF1 ? MF2 =(

A.6 B.8 C.18 D.32 2 5.曲线 y ? ? x ? 1 在点(1,0)处的切线方程为( ) A.2x?y?0 B.2x?y??0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0 6.抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上的一点 A 的横坐标为 2,点 A 到抛物线焦点的距离为 5,则 p 的 值为( ) A.2 B.3 C.4 D.8 4 7.已知 x ? 1 ,则函数 y ? x ? x ?1 的最小值是( ) A.4 B.5
x2 2

C.6
?
y2 m

D.7 )

8.若双曲线

? 1 的离心率为 2,则实数 m 的值为(

A. 2 3 B. 3 C. 3 D. 6 9.命题 p : a ? 1或b ? -1 ,命题 q : a ? b ? 0 ,则 p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10.设函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 上的导函数为 f ?( x) , f ?( x) 在区间 (a, b) 上的导函数为 f ??( x) , 若在区间 (a, b) 上 f ??( x) <0 恒成立,则称函数 f ( x) 在区间 (a, b) 上为“凸函数” . 已知函数
1 4 f ( x) ? 12 x ?1 x3 ? 3 x 2 在区间 (a, b) 上为“凸函数” ,则 b ? a 的最大值为( 3 2



A.4 B.3 C.2 D.1 二、 填空题 (本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 请把答案填在答题卡中相应的位置上. ) 2 ? 11.已知命题 p : ?x ? R, x ? 1 ? 0, 则 p 是_________________.
x 3 ? ax 2 在 x ? 2 处有极值,则实数 a 的值为_______________ 12.已知函数 f ( x) ? 1 3

13.已知数列 {an } 中, a1 ? 2, an ?1 ? an ? n(n ? N ? ) ,则 a5 ? ____________. 14.有 n 粒球 (n ? 2, n ? N ? ) ,任意将它们分成两堆,求出两堆球的乘积,再将其中一堆任意 分成两堆,求这出两堆球的乘积,如此下去,每次任意将其中一堆分成两堆,求这出两堆球 的乘积,直到每堆球都不能再分为止,记所有乘积之和为 S n .例如对于 4 粒球有如下两种分 解: (4) ? (1,3) ? (1,1,2) ? (1,1,1,1) ,此时 S 4 ? 1? 3 ? 1? 2 ? 1? 1 ? 6 ; (4) ? (2,2) ? (1,1,2) ? (1,1,1,1) , 此 时 S 4 ? 2 ? 2 ? 1? 1 ? 1? 1 ? 6 , 于 是 发 现 S 4 为 定 值 , 请 你 研 究 S n 的 规 律 , 归 纳
S n =_______________.
1

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. (本小题满分 12 分) 已知 a 为实数,命题 p :关于 x 的方程 x 2 - ax ? a ? 0 有实数根;命题 q :方程 x9 ? 示的曲线为双曲线,若 p ?( ?q ) 是真命题,求实数 a 的取值范围。
2 y2 a

? 1 所表

16. (本小题满分 12 分) C ? 在 ?ABC 中,已知 sinsin B cos A

2c b

.

(1)求 A 的大小; (2)若 b ? 4, ?ABC 的面积 S ? 2 3 ,求边长 a .

2

17. (本小题满分 14 分) 某工厂家具车间有木工和漆工各 1 人,现计划制作 A、B 型两类桌子,每张桌子需木工和漆工 两道工序完成.已知木工做一张 A、B 型桌子分别需要 1 小时和 2 小时,漆工油漆一张 A、B 型 桌子分别需要 3 小时和 1 小时;又知木工、漆工每天工作分别不得超过 8 小时和 9 小时,而 工厂造一张 A、B 型桌子分别获利润 2 千元和 3 千元,试问工厂每天应生产 A、B 型桌子各多 少张,才能获得最大利润?并求出最大利润.

18. (本小题满分 14 分) 已知等比数列{ an }的前 n 项和为 S n ,且满足 S n ? 3n ? k (k为常数,n ? N ? ) . (1)求 k 的值及数列{ an }的通项公式; (2)若数列{ bn }满足
an ?1 2

? (4 ? k ) 2

n ?b n

,求数列{ bn }的前 n 和 Tn .

3

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C1 的一个焦点为 (0,? 3 ) , 且椭圆经过点 ( 1 , 3 ) .开口向上的抛物线 C2 的焦点到准线 2 的距离为 2, C1 的中心和 C2 的顶点均为坐标原点 O . (1)求 C1 和 C2 的标准方程; (2)A、B 为抛物线 C2 上的点,分别过 A、B 作抛物线 C2 的切线,两条切线交于点 Q,若点 Q 恰好在其准线上. ①直线 AB 是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由; ②指出点 Q 与以线段 AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由.

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? a 2 x ? m(a ? 0) . (1)若 a ? 1 时函数 f ( x) 有三个互不相同的零点,求实数 m 的取值范围; (2)若对任意的 a ? [3,6] ,不等式 f ( x) ? 1 对任意 x ? [?1,2] 恒成立,求实数 m 的取值范围.

4

2013—2014 学年度第一学期期末教学质量检查 高二文科数学(A 卷)参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.) 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 B 5 B 6 D 7 B 8 D 9 B 10 A

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 11. ?x0 ? R, x0 ? 1 ? 0
2

12. 1

13. 12

14.

n2 ? n 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.) 15.(本小题满分 12 分) 解:若 p 为真命题,则 ? ? (?a) ? 4a ? 0 ,
2

????2 分 ????4 分 ????6 分 ????8 分

解得 a ? 0 或 a ? 4 . 若 q 为真命题,则 a ? 0 ;若 ?q 为真命题,则 a ? 0 ; ∵ p ? (?q ) 为真命题,∴ p 与 ?q 均为真命题, 即有 ?

? a ? 0或a ? 4, ? a ? 0.

????10 分 ????12 分

∴ a ? 0或a ? 4 .

16.(本小题满分 12 分) 解: (1)由已知

sin C 2c sin C 2sin C , ? 及正弦定理,得 ? sin B cos A b sin B cos A sin B 1 ? cos A ? . 2
又? 0 ? A ? ? , ∴A?

????2 分 ????4 分 ????5 分 ????6 分

?
3

.

(2)? S ?

1 1 3 bc sin A ? ? 4 ? c ? ? 3c ? 2 3 , 2 2 2

????8 分 ????10 分 ????12 分

?c ? 2 .
? a ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 2 3 .

5

17.(本小题满分 14 分) 解:设每天生产 A 型桌子 x 张, B 型桌子 y 张,利润为 z 元, ????1 分

?x ? 2 y ? 8 ?3 x ? y ? 9 ? 则约束条件为 ? ① ? x ? 0, x ? N ? ? y ? 0, y ? N
目标函数为 z ? 2000 x ? 3000 y ,

????4 分

y 9 3x+y=9 M(2,3) x+2y=8 o 3 x

????6 分

不等式组①所表示的平面区域如右图中的阴影部分.??8 分

2 1 x? z, 3 3000 2 1 1 当直线 y ? ? x ? z 最大,即 z 最大. z 经过点 M 时,截距 3000 3 3000
由 z ? 2000 x ? 3000 y 得: y ? ? 由?

????10 分

?x ? 2 y ? 8 ?x ? 2 ?? , 即 M 点的坐标为 (2,3) . ?3x ? y ? 9 ?y ? 3

????12 分

? z max ? 2 ? 2000 ? 3 ? 3000 ? 13000 .

????13 分

答:每天应生产 A 型桌子 2 张, B 型桌子 3 张,才能获得最大利润,最大利润为 13000 元. ??14 分

18.(本小题满分 14 分) 解: (1)方法一

? a1 ? 3 ? k , ? 由题意,有 ? a1 ? a2 ? 9 ? k , ? a ? a ? a ? 27 ? k , ? 1 2 3 ? a1 ? 3 ? k , ? ∴ ? a2 ? 6, ? a ? 18. ? 3
又∵ ?a n ?为等比数列,∴ a2 ? a1a3 ,即 36 ? 18(3 ? k ) ,解得 k ? ?1 ,
2

????1 分

????2 分

????4 分

∴ Sn ? 3 ? 1 .
n

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? (3 ? 1) ? (3
n n ?1

????5 分

? 1) ? 2 ? 3n ?1 ,

????6 分

显然, n ? 1 时也适合 an ? 2 ? 3

n ?1



6

∴ an ? 2 ? 3 方法二

n ?1

.

????7 分

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 ? k ; 当 n ? 2 时,an ? Sn ? Sn ?1 ? (3 ? 1) ? (3
n n ?1

????1 分

? 1) ? 2 ? 3n ?1 .

????3 分

∵数列 ?a n ?是等比数列,∴

a2 ?3, a1

????4 分



2?3 ? 3, 3? k

????5 分 ????6 分

解得 k ? ?1 , ∴ an ? 2 ? 3
n ?1

.
n
n an ?1 n ? (4 ? k ) 2 bn ,得 bn ? n , 2 2

????7 分 ????9 分

(2)将 k ? ?1 及 an ?1 ? 2 ? 3 ,代入

1 2 3 n ① ? 2 ? 3 ? ... ? n 1 2 2 2 2 1 1 2 3 n ?1 n ② Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? n ? n?1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 n ①-②得: Tn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2 1 n ? 1 ? n ? n ?1 , 2 2 1 n n?2 ∴ Tn ? 2 ? n ?1 ? n ? 2 ? n . 2 2 2 Tn ?
19.(本小题满分 14 分) 解: (1)由题意,可设椭圆 C1 的方程为

????11 分 ????12 分 ????13 分 ????14 分

y2 x2 ? ? 1 ,抛物线 C 2 的方程为 x 2 ? 2 py . a2 b2

1 1 1 7 ? 2a ? ( ? 0) 2 ? ( 3 ? 3 ) 2 ? ( ? 0) 2 ? ( 3 ? 3 ) 2 ? ? ? 4 ,? a ? 2 .???1 分 2 2 2 2
又? c ? 3 ,? b ?

a2 ? c2 ? 1,
????2 分 ????3 分 ????4 分

?椭圆 C1 的方程为

y2 ? x2 ? 1. 4

?抛物线 C 2 的焦点到准线的距离为 2 ,? p ? 2 ,
?抛物线 C 2 的方程为 x 2 ? 4 y .
(2)①解:设 A( x1 ,

x1 x ) , B( x2 , 2 ) . 4 4
7

2

2

由 x ? 4 y 得: y ?
2

1 2 1 x ,? y / ? x , 4 2
????5 分 ????6 分 ????7 分 ????8 分

?过点 A 的切线 AQ 的方程为 y ?

x12 x1 x x2 ? ( x ? x1 ) ,即 y ? 1 x ? 1 . 4 2 2 4 2 x2 x2 x2 x2 同理过点 B 的切线 BQ 的方程为 y ? 即y? x? 2 . ? ( x ? x2 ) , 4 2 2 4
于是得交点 Q(

x1 ? x2 x1 x2 , ). 2 4

?点 Q 恰好在准线 y ? ?1 上,? x1 x2 ? ?4 .
x1 x ? 2 4 = x1 ? x2 , ? 4 4 x1 ? x 2
x12 x1 ? x2 ? ( x ? x 1) , 4 4
2 2

又 k AB

所以直线 AB 的方程为 y ? 化简得 y ?

x1 ? x2 xx x ?x x ? 1 2 ,即 y ? 1 2 x ? 1 , 4 4 4

????9 分 ????10 分 ????11 分 ????13 分

所以直线 AB 过定点 (0,1) . ②? Q(

??? ? x ?x x2 ??? ? x ?x x 2 x1 ? x2 , ?1) ,? QA ? ( 1 2 , 1 ? 1) , QB ? ( 2 1 , 2 ? 1) , 2 4 2 4 2

??? ? ??? ? ( x ? x2 )2 x2 x2 x2 x2 x x 所以 QA ? QB ? ? 1 ? ( 1 ? 1)( 2 ? 1) ? 1 2 ? 1 2 ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 0 . 4 4 4 16 2

? QA ? QB ,即点 Q 在以线段 AB 为直径的圆上.

????14 分

20.(本小题满分 14 分) 解: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? x ? x ? m .
3 2

∵函数有三个互不相同的零点, ∴ x ? x ? x ? m ? 0 即 m ? ? x ? x ? x 有三个互不相等的实数根.
3 2

3

2

????1 分

令 g ( x) ? ? x ? x ? x ,则 g ?( x) ? ?3x ? 2 x ? 1 ? ?(3x ? 1)( x ? 1) .
3 2 2

1 ; 3 1 令 g ?( x) ? 0 ,解得 x ? ?1或x ? , 3 1 1 ∴ g ( x) 在 (??, ?1) 和 ( , ??) 上均为减函数,在 (?1, ) 上为增函数, 3 3
令 g ?( x) ? 0 ,解得 ?1 ? x ? ∴ ? g ( x) ?极小值 =g ( ?1) ? ?1 ,

????2 分 ????3 分 ????4 分

8

1 5 )? , 3 27 5 ∴ m 的取值范围是 (?1, ) . 27

? g ( x)?极大值 =g (

????5 分 ????6 分

(2)∵ f ?( x) ? 3x 2 ? 2a x ? a 2 ? 3( x ? )( x ? a) ,且 a ? 0 , ∴当 x ? ?a 或 x ? 当 ?a ? x ?

a 3

????7 分

a 时, f ?( x) ? 0 ; 3

a 时, f ?( x) ? 0 . 3 a 3 a 3
????8 分

∴函数 f ( x) 的单调递增区间为 (??, ?a) 和 ( , ??) , 单调递减区间为 ( ? a, ) . 当 a ? [3, 6] 时,

a ? [1, 2] , ?a ? ?3 . 3
????9 分

又 x ?[?1, 2] , ∴ f ( x) 的最大值为 f (?1) 和 f (2) 中的较大者. ∵ f (?1) ? f (2) ? 3 a ? 3 a ? 9 ? 0 ,
2

∴ ? f ( x)?max ? f (?1) ? ?1 ? a ? a ? m .
2

????10 分

要使得 f ( x) ? 1 对任意 x ?[?1, 2] 恒成立,
2 即 ? f ( x) ?max ? 1 ,亦即 ?1 ? a ? a ? m ? 1 ,

即当 a ? [3, 6] 时,m ? ?a ? a ? 2 恒成立.
2

????12 分 ????13 分 ????14 分

∵ ?a ? a ? 2 在 a ? [3, 6] 上的最小值为 ?40 ,
2

∴ m 的取值范围是 (??, ?40] .

9


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