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2.6.1 求数列通项公式


观察法:已知前几项, 类型一 观察法:已知前几项,写通项公式

例1 写出下面数列的一个通项公式, 使 它 的 前 4项 分 别 是 下 列 各 数 : 1 1 1 1 () 1, - , , 2 3 4 0 2 (2 2 , , , 0 )

( 1) 1 解: () an = n n+1 (2) an = ( 1) + 1

n+1

类型二, 项和法 已知前n项和 项和, 类型二,前n项和法 已知前 项和,求通项公式
( n = 1) S1 an = S n Sn 1 ( n ≥ 2)
例2: {an}的前 项和为 n,且满足 n=n2+2n-1, : 的前n项和为 且满足 项和为S 且满足s 设 的通项公式. 求{an}的通项公式

解 : ∵ sn = n + 2 n 1
2

∴ 当n = 1时 a1 = s1 = 2 ∴ 当n ≥ 2时 an = sn sn 1 = n + 2n 1
2

[( n 1) + 2( n 1) 1] = 2n + 1
2

2 n = 1 ∴ an = 2n + 1 n ≥ 2

类型三, 类型三,累加法 形如 an +1 = an + f (n) 的递推式
已知a 求通项a 在 求通项 例2: {an}中,已知 1=1,an=an-1+n (n≥2),求通项 n. :
解: ∵ an = an 1 + n an 2 = an 3 + n 2 ....... a3 = a2 + 3 a2 = a1 + 2 以上各式相加得 a n = a1 + (2 + 3 + 4 + + n ) (n+2)(n-1) =1+ 2 a n 1 = a n 2 + n 1 an 3 = an 4 + n 3

练: 知 {an }中,a1 = 1, an = 3n1 + an1 已

3n 1 ( n ≥ 2)证明:an = 2

类型四, 类型四,累乘法形如 an +1 = f (n) an 的递推式
已 例4: 知 {an } 中,a1 = 2, an+1 = 3 an , 求通项an . :
n

an 解: = 3 n 1 , a n 1 .......

an 1 = 3n 2 , an 2 a3 = 32 , a2

an 2 = 3n 3 , an 3

an 3 = 3n 4 an 4

a2 =3 a1

以上各式相乘得an = a1 3 32 33 3n 2 3n1 = 2 31+ 2+ 3++ ( n-1) = 2 3 an = 2 3
n ( n -1) 2 n ( n -1) 2

练: 知 {a n } 中 , a1 = 2, a n + 1 已

2 = 2 + an , 求 通 项 an . n

类型五, 类型五,形如 an +1 = pan + q 的递推式
求 例5:数列{an } 满足a1 = 1, an +1 = 2an + 1 , an . :
分析:配凑法构造辅助数列 分析:配凑法构造辅助数列
解 : ∵ a n = 2a n 1 + 1 an + 1 ∴ =2 a n 1 + 1 ∴ ∴ an + 1 = 2an1 + 1 + 1 = 2(an-1 + 1) a

{an + 1} 是以a1 + 1为首项,

以2为公比的等比数列an = ( 1 + 1) 2n1 = 2n

类型六, 类型六,形如 a n +1
取倒法构造辅助数列 取倒法构造辅助数列 例6: 数列 :

pa n = 的递推式 qa n + p

{an } 满足:a1 = 1, an+1

a n 1 解: a n = 2a n 1 + 1

求 {a n } 通 项 公 式

an , = 2an + 1

1 2an 1 + 1 1 = = +2 an an 1 a n 1

1 1 为首项,以2为公差的等差数列 是以 a1 an
1 1 = + ( n 1)2 = 2n + 1 an an 1 ∴ an = 2n + 1

an +1 = Aan + B An +1 的递推式 类型七, 类型七,相除法形如

例7: 列 : 数

{an } 满足:a1 = 3, an+1 = 3an + 3 求 {a n } 通 项 公 式 .
n

n+1

,

解 : ∵ a n = 3a n 1 + 3

a n a n 1 ∴ n = n 1 + 1 3 3

a1 an ∴ n 是以 为首项,以1为公差的等差数列 3 3 an a1 ∴ n = + n - 1 × 1 = n ∴ an = n 3n ( ) 3 3

类型八, 类型八,形如 an +1 an = pan +1an 的递推式
例8: : 已知a1 = 2, an ≠ 0, 且an +1 an = 2an +1an ,求an .
解 : ∵ a n + 1 a n = 2a n + 1 a n 1 1 ∴ =2 an an + 1

1 1 ∴ 是以 为首项,以 - 2为公差的等差数列 a1 an 1 1 5 4n + 5 ∴ = + n - 1 (-2) = -2n + = ( ) 2 2 an a1 2 ∴ an = 4 n + 5

求数列的通项公式
类型 1,已知前几项 , 2,已知前n项和 n ,已知前 项和 项和S 观察法 前n项和法 项和法 方法

3,形如 an +1 = an + f (n)的递推式 累加法 , 4,形如 an+1 = f (n) an 的递推式 累乘法 , 5,形如 an +1 = pan + q 的递推式 待定系数法 , 6,形如 a n + 1 = ,
pa n qa n + p

构 造 辅 助 数 列

的递推式 取倒法

7,形如an+1 = Aan + B An+1的递推式 相除法 ,
an +1 an = pan +1an

练习
5 1: 数列{an } , a1 = , 若对任意的n ∈ N , n ≥ 2, 二次方程 : 设 6 2 an1 x an x + 1 = 0都有根α,β,且满足3α - αβ + 3β = 1 1 (1)求证:an 是等比数列; 2 (2)求通项an; (3)求前n项和Sn .

2: 已知 {a } , a = 3, 2a = S S : n 1 n n n 1

( n ≥ 2)

1 (1)求证: 是等差数列,并求公差; Sn (2)求 {an } 的通项公式 .

3. 在 {an }中,an+ 2 2an+ 1 + an = 4, 且a1 = 1, a2 = 3, 求an .

4:(2004年高考河南卷第 题) 年高考河南卷第22题 年高考河南卷第

已知数列{an } 中,a1 = 1, 且a2 k = a2 k 1 + ( 1) ,
k

( Ι ) 求 a 3 , a5 ; ( ΙΙ ) 求 {an } 的通项公式.

a2 k +1 = a2 k + 3k , 其中k = 1, 2, 3,

作业

课本75页 组 , , , 课本 页A组2,3,4, 5,6,7, , , ,


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