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2019高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.2函数的极值与导数学案新人教A版选修1_1

最新中小学教案、试题、试卷 3.3.2 函数的极值与导数 学习目标:1.了解极值的概念、理解极值与导数的关系.(难点)2.掌握利用导数求函数 极值的步骤,能熟练地求函数的极值.(重点)3.会根据函数的极值求参数的值.(难点) [自 主 预 习·探 新 知] 1.极小值点与极小值 若函数 f(x)满足: (1)在 x=a 附近其他点的函数值 f(x)≥f(a); (2)f′(a)=0; (3)在 x=a 附近的左侧 f′(x)<0,在 x=a 附近的右侧 f′(x)>0,则点 a 叫做函数 y= f(x)的极小值点,f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值. 2.极大值点与极大值 若函数 f(x)满足: (1)在 x=b 附近其他点的函数值 f(x)≤f(b); (2)f′(b)=0; (3)在 x=b 附近的左侧 f′(x)>0,在 x=b 附近的右侧 f′(x)<0,则点 b 叫做函数 y= f(x)的极大值点,f(b)叫做函数 y=f(x)的极大值. 思考:(1)区间[a,b]的端点 a,b 能作为极大值点或极小值点吗? (2)若函数 f(x)在区间[a,b]内存在一点 c,满足 f′(c)=0,则 x=c 是函数 f(x)的极 大值点或极小值点吗? [提示] (1)不能,极大值点和极小值点只能是区间内部的点. (2)不一定,若在点 c 的左右两侧 f′(x)符号相同,则 x=c 不是极大值点或极小值点, 若在点 c 的左右两侧 f′(x)的符号不同,则 x=c 是函数 f(x)的极大值点或极小值点. 3.极值的定义 (1)极小值点、极大值点统称为极值点. (2)极大值与极小值统称为极值. 4.求函数 y=f(x)的极值的方法 解方程 f′(x)=0,当 f′(x0)=0 时, (1)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极大值. (2)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是极小值. [基础自测] 1.思考辨析 (1)导数值为 0 的点一定是函数的极值点. ( (2)函数的极大值一定大于极小值. (3)在可导函数的极值点处,切线与 x 轴平行或重合. ) ( ( ) ) 最新中小学教案、试题、试卷 1 (4)函数 f(x)= 有极值. x ( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× 2.函数 y=x +1 的极大值是( A.1 D 2 3 ) D.不存在 B.0 C.2 3 [y′=3x ≥0,则函数 y=x +1 在 R 上是增函数,不存在极大值.] 3 2 3.若 x=-2 与 x=4 是函数 f(x)=x +ax +bx 的两个极值点则有( ) 【导学号:97792153】 A.a=-2,b=4 C.a=1,b=3 B 2 B.a=-3,b=-24 D.a=2,b=-4 2 [f′(x)=3x +2ax+b, 依题意有 x=-2 和 x=4 是方程 3x +2ax+b=0 的两个根, 2a b 所以有- =-2+4, =-2×4,解得 a=-3,b=-24.] 3 3 [合 作 探 究·攻 重 难] 求函数的极值 (1)已知函数 f(x)=ax +bx +c,其导函数 f′(x)的图象如图 3?3?8 所示,则 函数 f(x)的极小值是( ) 3 2 图 3?3?8 A.a+b+c C.3a+2b (2)求下列函数的极值: 1 3 2 ①f(x)= x -x -3x+3; 3 ②f(x)= 2x -2. x2+1 B.3a+4b+c D.c [解析] (1)由 f′(x)的图象知,当 x<0 时,f′(x)<0, 当 0<x<2 时,f′(x)>0,当 x>2 时,f′(x)<0 因此当 x=0 时,f(x)有极小值,且 f(0)=c,故选 D. [答案] D (2)①函数的定义域为 R,f′(x)=x -2x-3. 2 最新中小学教案、试题、试卷 令 f′(x)=0,得 x=3 或 x=-1. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,-1) + ↗ -1 0 14 极大值 3 (-1,3) - ↘ 3 0 极小值-6 (3,+∞) + ↗ 14 ∴x=-1 是 f(x)的极大值点,x=3 是 f(x)的极小值点,且 f(x)极大值= ,f(x)极小值= 3 -6. ②函数的定义域为 R, f′(x)= x2+ -4x2 =- x2+ 2 x- x+ x2+ 2 . 令 f′(x)=0,得 x=-1 或 x=1. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,-1) - ↘ -1 0 极小值-3 (-1,1) + ↗ 1 0 极大值-1 (1,+∞) - ↘ 由表可以看出: -2 当 x=-1 时,函数 f(x)有极小值,且 f(-1)= -2=-3; 2 2 当 x=1 时,函数 f(x)有极大值,且 f(1)= -2=-1. 2 [规律方法] 函数极值和极值点的求解步骤 (1)确定函数的定义域. (2)求方程 f′(x)=0 的根. (3)用方程 f′(x)=0 的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并列成表格. (4)由 f′(x)在方程 f′(x)=0 的根左右的符号, 来判断 f(x)在这个根处取极值的情况. 提醒:当实数根较多时,要充分利用表格,使极值点的确定一目了然. [跟踪训练] 1.求下列函数的极值. 8 (1)f(x)=2x+ ; x 3 (2)f(x)= +3ln x. x 8 [解] (1)因为 f(x)=2x+ , x 所以函数的定义域为{x|x∈R 且 x≠0}, 最新中小学教案、试题、试卷 f′(x)=2- 2, x 令 f′(x)=0,得 x1=-2,x2=2.