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甘肃省天水一中2014届高三上学期第一学段第一次考试数学(理)试题

天水一中 2011 级 2013-2014 学年度第一学期第一学段考试
数学(理科)
命题:武笎 审核:蔡恒录 一、填空题(每小题 5 分,共 60 分)
x 1. 已知全集 U ? R , 集合 A ? x 0 ? 2 ? 1 ,B ? x log 3 x ? 0 , A ? (CU B) ?( 则

?

?

?

?



A.

? x x ? 1?
?

B.

? x x ? 0?
?

C.

? x 0 ? x ? 1?
? ?


D.

? x x ? 0?

2.设 x ? R ,向量 a ? ( x,1), b ? (1, ?2), 且 a ? b ,则 | a ? b |? ( A. 5 B. 10 C. 2 5 D. 10

?

?

?( 1 ) x ? 7, x ? 0 ? 3.设函数 f ( x) ? ? 2 ,若 f (a ) ? 1 ,则实数 a 的取值范围是( ? x, x ? 0 ?
A. (??, ?3)
4.函数



B. (1, ??)

C. (?3,1) )

D. (??, ?3) ? (1, ??)

f ( x) ? ln( x 2 ? 1) 的图象大致是 (

A. 16. 由直线 x ? ?

B.

C.

D. )

?
3

,x ?

?
3

, y ? 0 与曲线 y ? cos x 所围成的封闭图形的面积为(
C.

A.

1 2

B. 1

3 2

D. 3 )

14. 在△ABC 中,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6:则△ABC 是( A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形

D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形
7.已知函数 f ( x) ? 3 sin ? x ? cos ? x(? ? 0) , y ? f ( x) 的图像与直线 y ? 2 的两个相邻交点

的距离等于 ? ,则 f ( x) 的单调递增区间是( A. [k? ? ? , k? ? 5? ], k ? Z 12 12



B. [k? ? 5? , k? ? 11? ], k ? Z 12 12

C. [k? ? ? , k? ? ? ], k ? Z 3 6 8. ? ? 0 ,函数 y ? sin(? x ? 设 最小值是 ( A. ) B.

D. [k? ? ? , k? ? 2? ], k ? Z 6 3

?
3

) ? 2 的图像向右平移

4? 个单位后与原图像重合,则 ? 的 3

2 3

4 3

C.

3 2

D. 3

9.设 f (x) 的定义域为 R, f (?1) ? 2 ,对任意 x ? R , f ?( x) ? 2 ,则 f ( x) ? 2 x ? 4 的解 集为( A. (?1,1) ) B. (?1,??) C. (??,?1) D. (??,??)

10.已知定义在 R 上的函数 f ( x) ,对任意 x ? R ,都有 f ? x ? 6 ? ? f ? x ? ? f ? 3? 成立,若函 数 y ? f ? x ? 1? 的图象关于直线 x ? ?1 对称,则 f ? 2013? ? ( A. 0 B. 2013 C. 3 ) D. ?2013

11.已知 P 是 ?ABC 内一点,且满足 PA ? 2 PB ? 3PC ? 0,记 ?ABP 、?BCP 、?ACP 的 面积依次为 S 1 、 S 2 、 S 3 ,则 S 1 : S 2 : S 3 等于( A、1:2:3 B、1:4:9 C、 3 : 2 :1 ) D、3:1:2

? a ? x 2 ? 4 x ( x ? 0) 12. 已知 f ( x ) ? ? 且函数 y ? f ( x) ? 2 x 恰有 3 个不同的零点, 则实数 a ? f ( x ? 2)( x ? 0)
的取值范围是( ) A.[-4,0] B. [?8, ??) C. [?4, ??) D. (0, ??)

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60°,c=ta+(1-t)b,若 b· c=0,则 t=_____. 14.已知函数 f ? x ? 是定义在 ? ?1,1? 上的奇函数,在 [0,1] 上 f ? x ? ? 2 ? ln ? x ? 1? ? 1 ,则
x

f ? x ? 在 [?1,0) 上的解析式为
15.若函数 f ? x ? =x ? ax ?
2

1 ?1 ? 在 ? ,?? ? 是增函数,则 a 的取值范围是 x ?2 ?

16. y ? f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数且在 0, ?? ? 上递增,不等式 f ?

?

? x ? ? 1? ? ? f ?? ? 的 ? x ?1? ? 2?

解集为_____________ 三、解答题 17. (本小题 10 分)已知向量 m ? (sin A, cos A) , n ? ( 3,?1) , m? n ? 1 ,且 A 为锐角。 (1)求角 A 的大小; (2)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? 4 cos A sin x( x ? R) 的值域。 18. (本小题 12 分)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 (1)求角 B 的大小; (2)若 b= 13 ,a+c=4,求 a 的值. 19. (本小题 12 分)已知函数 f ( x) ?
? ?
? ?

cos B b . ?? cos C 2a ? c

ax 2 ? x ? a . ex

(1)函数 f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,求 a 的值; (2)当 x ? [0, 2] 时, f ( x) ?

1 恒成立,求 a 的取值范围. e2

20 .( 本 小 题 12 分 ) 在 △ABC 中 , 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c, 已 知 cosC+(cosA- 3 sinA)cosB=0. (1) 求角 B 的大小; (2)若 a+c=1,求 b 的取值范围 21. (本小题 12 分)已知 sin θ,cos θ 是关于 x 的方程 x2-ax+a=0(a∈R)的两个根. π π (1)求 cos3?2-θ?+sin3?2-θ?的值; ? ? ? ? (2)求 tan(π-θ)- 1 的值 tan θ

2 22.(本小题 12 分)设函数 f(x)=x +aln(x+1)

(1)若函数 y=f(x)在区间[1,+∞ )上是单调递增函数,求实数 a 的取值范围;
(2)若 函 数 y=f(x )有 个 值 1,x2 且 x1<x2 求证: 0 ? 两 极 点x

f ( x2 ) 1 ? ? ? ln 2 x1 2

数学(理科)答案
一、1D 2B 3C 4A 5D 6B 7C 8C 9B 10A 11D 12C
13. t = 2 14. ?

1 ? ln(1 ? x) ? 1 2x

15. [3, ??)

16. ( ?

1 ,1) 3

m?n ? 3 sin A ? cos A ? 1
17.解:(Ⅰ)由题意得

? ? 1 2sin( A ? ) ? 1,sin( A ? ) ? 6 6 2
?

由 A 为锐角得 A ?

?
6

?

3 6 1 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 cos A ? ,所以 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x ? 1 ? 2sin x ? 2sin x 2 1 3 ? ?2(sin x ? ) 2 ? 2 2 1 3 因为 x ? R ,所以 sin x ? ? ?1,1? ,因此,当 sin x ? 时, f ( x) 有最大值 , 2 2
当 sin x ? ?1 时, f ( x) 有最小值-3,所以所求函数 f ( x) 的值域是 ? ?3, ? 18.解:本小题主要考查正弦定理、余弦定理、两角和的三角函数等基础知识和利用三角 公式 进行恒等变形的技能,考查运算能力和逻辑思维能力 (1)解法一:由正弦定理

,A?

?

? ?

3? 2?

a b c = = =2R, sin A sin B sin C

得 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,

cos B b cos B sin B 中, 得 , ?? ?? cos C 2a ? c cos C 2sin A ? sin C 即 2sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B ? 0 ,
代入

2sin A cos B ? sin( B ? C ) ? 0 ,
∵ A+B+C= ? , ∴ sin(B+C)=A ∴ 2sin A cos B ? sin A ? 0 ∵ sinA≠0, ∴ cosB=-

1 , 2

又角 B 为三角形的内角,故 B=

2? . 3

a 2 ? c2 ? b2 a 2 ? b2 ? c2 解法二:由余弦定理 cosB= ,cosC= , 2ac 2ab
代入

cos B b 中, 得 ?? cos C 2a ? c

a 2 ? c 2? b2 2ab b · 2 =? , 2 2 2ac a ?b ?c 2a ? c

整理,得

a 2 ? c 2 ? b2 ? a c? , 0

∴ cosB=

a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac 1 = =- , 2ac 2 2 ac

又角 B 为三角形的内角,故 B= (2)将 b= 13 ,a+c=4,B= 得 整理得

2? , 3

2? . 3
代入余弦定理 b ? a ? c ? 2ac ? cos B ,
2 2 2

13 ? a 2 ? (4 ? a)2 ? 2a(4 ? a) ? cos
, a 2 ? 4a ? 3? 0

2? , 3
a=1 或 a=3.

解得

19.解:(1)由已知得 ? cos( A ? B) ? cos A cos B ? 3 sin A cos B ? 0 即有 sin A sin B ? 3 sin A cos B ? 0 因为 sin A ? 0 ,所以 sin B ? 3 cos B ? 0 ,又 cos B ? 0 ,所以 tan B ? 3 , 又 0 ? B ? ? ,所以 B ?
2

?
3
2

.
2

(2)由余弦定理,有 b ? a ? c ? 2ac cos B .

1 1 2 1 2 ,有 b ? 3(a ? ) ? . 2 2 4 1 1 2 又 0 ? a ? 1,于是有 ? b ? 1 ,即有 ? b ? 1 . 2 4
因为 a ? c ? 1, cos B ? 20.已知 sin θ,cos θ 是关于 x 的方程 x2-ax+a=0(a∈R)的两个根. π π (1)求 cos3?2-θ?+sin3?2-θ?的值; ? ? ? ? 1 (2)求 tan(π-θ)- 的值. tan θ 解:由已知原方程的判别式 Δ≥0, 即(-a)2-4a≥0,∴a≥4 或 a≤0. ?sin θ+cos θ=a, ? 又? (sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ, a2-2a-1=0, 则 从而 a=1- 2 ? ?sin θcos θ=a, 或 a=1+ 2(舍去), 因此 sin θ+cos θ=sin θcos θ=1- 2. π π (1)cos3?2-θ?+sin3?2-θ?=sin3θ+cos3θ=(sin θ+cos θ)(sin2θ-sin θcos θ+cos2θ)=(1- ? ? ? ? 2)[1-(1- 2)]= 2-2. 1 1 (2)tan(π-θ)- =-tan θ- tan θ tan θ sin θ cos θ 1 =-?cos θ+ sin θ ?=- ? ? sin θcos θ 1 =- =1+ 2. 1- 2

21.解: (Ⅰ) f ?( x) ? 分

?ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1 ? a ex

……………………………2

f ?(0) ? 1 ? a ,

……………………………3 分

因为函数 f ( x) 在点 (0, f (0)) 的切线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行 所以 1 ? a ? ?2 , a ? 3 (Ⅱ) f ?( x) ? ……………………………5 分

?ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1 ? a ?(ax ? 1 ? a)( x ? 1) ? ex ex

令 f ?( x) ? 0 当 a ? 0 时, f (0) ? 0, f (2) ? 当 a ? 0 时,x1 ? 1, x2 ? 1 ?

2 x ? 1 ,结论不成立.………………………6 分 e2
……………………………7 分 ……………………………9 分

1 a

若 a ? 0 , f (0) ? a ? 0 ,结论不成立 若 0 ? a ? 1,则 1 ?

1 ? 0 ,在 (0,1) 上,有 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 增; a
在 (1, 2) 上,有 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 减,

1 1 ? ? ? f (0) ? e 2 ?a ? e2 ? ? 只需 ? ,得到 ? , ?a ? ? 1 ? f (2) ? 1 ? ? 5 e2 ? ?
所 以 ……………………………11 分

1 ? a ?1 e2

1 1 ? ? f (1 ? a ) ? e 2 1 1 ? 若 a ? 1 , 0 ? 1 ? ? 1 ,函数在 x ? 1 ? 有极小值,只需 ? a a ? f (2) ? 1 ? e2 ?
1 ?1? ? a 1 ?1? ? 2a ? 1 ? e 得到 ? ,因为 2a ? 1 ? 1, e a ? 1 ,所以 a ? 1 1 ?a ? ? 5 ?

………………………13

分 综









a?

1 e2
/

……………………………14 分

22.解:(Ⅰ)

在区间 [1,??) 上恒成立, 2x 2 ? 2x ? a f ( x) ? ?0 x ?1

即 a ? ?2 x ? 2 x 区间 [1,??) 上恒成立, …………………1 分
2

a ? ?4 .………………3 分
经检验,

2 x 2 ? 2 x ? 4 2( x ? 2)( x ? 1) 当 a=- 4 时, f ( x) ? , x ? [1,??) 时, ? x ?1 x ?1
/

f / ( x) ? 0 ,
所以满足题意的 a 的取值范围为 [?4, ??) .………………4 分 (Ⅱ)函数的定义域 (?1,??) , f ( x) ?
/

2x 2 ? 2x ? a ? 0 ,依题意方程 2 x 2 ? 2 x ? a ? 0 x ?1

? ?? ? 0 ? 2 在区间 (?1,??) 有两个不等的实根,记 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? a ,则有 ? g ( ?1) ? 0 , ? 1 ? ? ? ?1 ? 2
得0 ? a ?

1 .……………………6 分 2

1 1 ? 2a 1 2 ? x1 ? x2 ? ?1, 2 x2 ? 2 x2 ? a ? 0 , x 2 ? ? ? , ? ? x2 ? 0 , 2 2 2
2 2 f ( x 2 ) x 2 ? (2 x 2 ? 2 x 2 ) ln( x 2 ? 1) x 2 ? (2 x 2 ? 2 x) ln( x ? 1) 1 ? , x ? (? ,0) ,令 k ( x) ? x1 ? 1 ? x2 ?1? x 2

……………………8 分

k ( x) ?
//

x2 2x 2 ? 6x ? 2 ? x2 ? 2 ln( x ? 1) , k // ( x) ? ? 2 x ln( x ? 1) , k / ( x) ? , x ?1 ( x ? 1) 3 ( x ? 1) 2

因为 k (? ) ? ?

1 2

x
k // ( x)

1 // 1 , k (0) ? 2 ,存在 x0 ? (? ,0) ,使得 k // ( x0 ) ? 0 , 2 2 1 x0 (? , x0 ) 2
0

( x0 ,0)
+

1 1 k / (0) ? 0 , k / (? ) ? 1 ? 2 ln 2 ? 0 ,? k / ( x) ? 0 ,所以函数 k (x) 在 (? ,0) 为减函数, 2 2

…………………10 分

f ( x2 ) 1 1 ? ? ? ln 2 ……………………12 分 k (0) ? k ( x) ? k (? ) 即 0 ? x1 2 2
法二:6 分段后面还有如下证法,可以参照酌情给分. 【证法 2】 x 2 为方程 2 x2 ? 2 x ? a ? 0 的解,所以 a ? ?2 x 2 ? 2 x 2 ,
2

1 1 1 ? 2a 1 , x1 ? x2 ? 0 , x2 ? ? ? ,∴ ? ? x2 ? 0 , 2 2 2 2 f ( x2 ) 先证 ? 0 ,即证 f ( x2 ) ? 0 ( x1 ? x2 ? 0 ), x1

∵0? a ?

在区间 ( x1 , x2 ) 内, f ?( x) ? 0 , ( x2 , 0) 内 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x2 ) 为极小值, f ( x2 ) ? f (0) ? 0 , 即 f ( x2 ) ? 0 ,∴ 再证
f ( x2 ) ? 0 成立;…………………8 分 x1

f ( x2 ) 1 1 1 ? ? ? ln 2 ,即证 f ( x2 ) ? (? ? ln 2)(?1 ? x2 ) ? ( ? ln 2)( x2 ? 1) , x1 2 2 2

1 1 x22 ? (2 x22 ? 2 x2 ) ln( x2 ? 1) ? ( ? ln 2) x2 ? ? ln 2 , 2 2 1 1 令 g ( x) ? x 2 ? (2 x 2 ? 2 x) ln( x ? 1) ? ( ? ln 2) x , x ? (? , 0) …………………10 分 2 2

g ?( x) ? 2 x ? (4 x ? 2) ln( x ? 1) ?

2 x( x ? 1) 1 ? ( ? ln 2) , x ?1 2

1 ? ?2(2 x ? 1) ln( x ? 1) ? ( ? ln 2) , 2
1 ln( x ? 1) ? 0 , 2x ? 1 ? 0 , ? ln 2 ? 0 , 2 1 ∴ g ?( x) ? 0 , g ( x ) 在 (? , 0) 为增函数. 2

1 1 1 1 1 1 g ( x) ? g (? ) ? ? (2 ? ? 1) ln ? ( ? ln 2) 2 4 4 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ? ln ? ? ln 2 ? ? ln 2 . 4 2 2 4 2 2 f ( x2 ) 1 综上可得 0 ? ? ? ? ln 2 成立.………………………12 分 x1 2 ?


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