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高中数学第一章集合与函数概念本章小结新人教A版必修1

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【金版学案】 2015-2016 高中数学 第一章 集合与函数概念本章 小结 新人教 A 版必修 1

一、集合 1.集合:某些指定的对象集在一起成为集合. (1)集合中的对象称元素,若 a 是集合 A 的元素,记作 a∈A;若 b 不是集合 A 的元素, 记作 b?A. (2)集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序性. 确定性:设 A 是一个给定的集合,x 是某一个具体对象,则或者是 A 的元素,或者不是 A 的元素,两种情况必有一种且只有一种成立. 互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同 一集合中不应重复出现同一元素. 无序性:集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列,与顺序无关. (3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法. 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号{ }内. 描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{ }内.具体方法:在大括 号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围, 再画一条竖线, 在竖线后写 出这个集合中元素所具有的共同特征. 错误! (4)常用数集及其记法. 非负整数集(或自然数集),记作 N; * 正整数集,记作 N 或 N+; 整数集,记作 Z; 有理数集,记作 Q; 实数集,记作 R. 2.集合的包含关系. (1)集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,则称 A 是 B 的子集(或 B 包含 A),记作 A? B(或 B? A). 集合相等:构成两个集合的元素完全一样.若 A? B 且 B? A,则称 A 等于 B,记作 A=B; 若 A? B 且 A≠B,则称 A 是 B 的真子集,记作 A B. (2)简单性质:①A? A;②??A;③若 A? B,B? C,则 A? C;④若集合 A 是 n 个元素的 n n 集合,则集合 A 有 2 个子集(其中 2 -1 个真子集). 3.全集与补集. (1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集,记作 U. (2)若 S 是一个集合,A? S,则?SA={x|x∈S 且 x?A}称 S 中子集 A 的补集. (3)简单性质:①?S(?SA)=A;②?SS=?;③?S?=S. 4.交集与并集. (1)一般地, 由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合, 叫做集合 A 与 B 的交集. 交 集 A∩B={x|x∈A 且 x∈B}. (2)一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,称为集合 A 与 B 的 并集.并集 A∪B={x|x∈A 或 x∈B}. 错误! 5.集合的简单性质. (1)A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A; (2)A∪?=A,A∪B=B∪A; (3)(A∩B)? (A∪B); (4)A? B?A∩B=A,A? B?A∪B=B;
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(5)?S(A∩B)=(?SA)∪(?SB), ?S(A∪B)=(?SA)∩(?SB). 二、函数 1.函数的概念. 设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个 数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作 y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域; 与 x 的值对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 错误! 2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域. (1)解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域,函数的定义域包含三种形式: ①自然型. 指函数的解析式有意义的自变量 x 的取值范围(如: 分式函数的分母不为零, 偶次根式函数的被开方数为非负数,等等). ②限制型.指命题的条件或人为对自变量 x 的限制,这是函数学习中的重点,往往也是 难点,因为有时这种限制比较隐蔽,容易犯错误. ③实际型.解决函数的综合问题与应用问题时,应认真考查自变量 x 的实际意义. (2)求函数的值域是比较困难的数学问题,中学数学要求能用初等方法求一些简单函数 的值域问题:①配方法(将函数转化为二次函数);②判别式法(将函数转化为二次方程);③ 不等式法(运用不等式的各种性质);④函数法(运用基本函数性质,或抓住函数的单调性、 函数图象等). 3.两个函数的相等. 函数的定义含有三个要素, 即定义域 A、 值域 C 和对应法则 f.当函数的定义域及从定义 域到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定.因此,定义域和对应法则为函数 的两个基本条件, 当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时, 这两个函数才是同 一个函数. 4.区间. (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数轴表示. 5.映射的概念. 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射.记作“f:A→B”. 函数是建立在两个非空数集间的一种对应, 若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意 两个非空集合”, 按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系, 这样的对应就 叫映射. 错误! 6.常用的函数表示法. (1)解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解 析表达式,简称解析式. (2)列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系. (3)图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系. 7.分段函数. 若一个函数的定义域分成了若干个子区间, 而每个子区间的解析式不同, 这种函数又称 分段函数. 8.复合函数. 若 y=f(u),u=g(x),x∈(a,b),u∈(m,n),那么 y=f[g(x)]称为复合函数,u 称 为中间变量,它的取值范围是 g(x)的值域. 三、函数性质 1.奇偶性. (1)定义:如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=-f(x),则称 f(x)为奇
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函数;如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=f(x),则称 f(x)为偶函数. 如果函数 f(x)不具有上述性质,则 f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性 质,则 f(x)既是奇函数,又是偶函数. 错误! (2)利用定义判断函数奇偶性的步骤: ①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称. ②确定 f(-x)与 f(x)的关系. ③作出相应结论: 若 f(-x)=f(x)或 f(-x)-f(x)=0,则 f(x)是偶函数; 若 f(-x)=-f(x)或 f(-x)+f(x)=0,则 f(x)是奇函数. (3)简单性质. ①图象的对称性质: 一个函数是奇函数则它的图象关于原点对称; 一个函数是偶函数则 它的图象关于 y 轴对称. ②设 f(x),g(x)的定义域分别是 D1,D2,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶, 偶×偶=偶,奇×偶=奇. 2.单调性. (1)定义:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2)[f(x1)>f(x2)],那么就说 f(x) 在区间 D 上是增函数(减函数). 错误! (2)如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数, 那么就说函数 y=f(x)在这一 区间具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间. (3)设复合函数 y=f[g(x)],其中 u=g(x),A 是 y=f[g(x)]定义域的某个区间,B 是 映射 g:x→u=g(x)的象集: ①若 u=g(x)在 A 上是增(或减)函数,y=f(u)在 B 上也是增(或减)函数,则函数 y= f[g(x)]在 A 上是增函数. ②若 u=g(x)在 A 上是增(或减)函数,而 y=f(u)在 B 上是减(或增)函数,则函数 y= f[g(x)]在 A 上是减函数. (4)判断函数单调性的方法步骤. 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: ①任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ②作差 f(x1)-f(x2); ③变形(通常是因式分解和配方); ④定号[即判断差 f(x1)-f(x2)的正负]; ⑤下结论[即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性]. (5)简单性质. ①奇函数在其对称区间上的单调性相同. ②偶函数在其对称区间上的单调性相反. ③在公共定义域内: 增函数 f(x)+增函数 g(x)是增函数; 减函数 f(x)+减函数 g(x)是减函数; 增函数 f(x)-减函数 g(x)是增函数; 减函数 f(x)-增函数 g(x)是减函数. 3.最值. (1)定义. 最大值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M;②存在 x0∈I,使得 f(x0)=M.那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值. 最小值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任意的 x∈I,都有 f(x)≥M;②存在 x0∈I,使得 f(x0)=M.那么,称 M 是函数 y=f(x)是最小值. 错误!
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(2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法. ①利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值. ②利用图象求函数的最大(小)值. ③利用函数的单调性判断函数的最大(小)值: 如果函数 y=f(x),x∈[a,c]在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减, 则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b). 如果函数 y=f(x),x∈[a,c]在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增, 则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b).

设 card(X)表示有限集 X 所含元素的个数,则 ①card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B), 特别地,当 A∩B=?时,card(A∪B)=card(A)+card(B); ② card(A∪B∪C) = card(A) + card(B) + card(C) - card(A∩B) - card(A∩C) - card(B∩C)+card(A∩B∩C). 例 1 某班有 36 名同学分别参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参 加两个小组,已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为 26,15,13,同时参加数学和 物理小组的有 6 人,同时参加物理和化学小组的有 4 人,则同时参加数学和化学小组的有 ________人. 解析:由条件知,每名同学至多参加两个小组,故不可能出现一名同学同时参加数学、 物理、化学课外探究小组,设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为 A,B,C, 则 card(A∩B∩C)=0,card(A∩B)=6,card(B∩C)=4. 由公式 card(A∪B∪C) = card(A) + card(B) + card(C) - card(A∩B) - card(A∩C) - card(B∩C)+card(A∩B∩C)知 36=26+15+13-6-4-card(A∩C),故 card(A∩C)=8. 即同时参加数学和化学小组的有 8 人. 答案:8 ?跟踪训练 1. 已知全集 U=A∪B 中有 m 个元素, (?UA)∪(?UB)中有 n 个元素. 若 A∩B 非空, 则 A∩B 的元素个数为( ) A.mn 个 B.m+n 个 C.n-m 个 D.m-n 个 2.某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱乒乓球运动,8 人对这两项运动 都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为____人. 1.解析:因为 A∩B=(A∪B)-(?UA)∪(?UB),所以 A∩B 共有 m-n 个元素,选 D. 答案:D 2.解析:设两者都喜欢的人数为 x 人,则只喜爱篮球的有(15-x)人,只喜爱乒乓球的 有(10-x)人,由此可得(15-x)+(10-x)+x+8=30,解得 x=3,所以 15-x=12.即所求 人数为 12 人. 答案:12

1.若 a∈A,则 a??UA;若 a∈?UA,则 a?A. 2.若 a∈A∩B,则 a∈A 且 a∈B. 3.设 a<b,则 x∈{ x|a≤x≤b}?a≤x≤b. 已知 A,B 均为集合 U={1,3,5,7,9}的子集,且 A∩B={3},(?UB)∩A={9},则 A=( ) A.{1,3} B.{3,7,9}
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C.{3,5,9} D.{3,9} 解析:∵A∩B={3},(?UB)∩A={9},且 B∪(?UB)=U,∴A={3,9}.故选 D. 本题也可以用 Venn 图(如下图)帮助理解并解决问题.

答案:D ?跟踪训练 2 3.设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a +4},A∩B={3},则实数 a=____. 2 3.解析:∵3∈A∩B,∴3∈B.又 a +4>3,故由 a+2=3, 解得 a=1. 答案:1

有关集合的新定义问题,高考中常见的有两类题型:一是定义集合的新概念,二是定义集合 的新运算. 一、定义集合的新概念 例 3 对于平面上的点集 Ω , 如果连接Ω 中任意两点的线段必定包含于Ω , 则称Ω 为 平面上的凸集:给出平面上 4 个点集的图形如下(阴影区域及其边界),其中为凸集的是 _____________(写出所有凸集相应图形的序号).

解析: 由题中凸集的定义, 观察所给图形知,①④不是凸集,而②③满足条件, 是凸集. 答案:②③ 二、定义集合的新运算 在集合{a,b,c,d}上定义两种运算⊕和○*

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A.a B.b C.c D.d 解析:由上表可知:(a⊕c)=c,故 d○*(a⊕c)=d○*c=a,故选 A. 答案:A ?跟踪训练 4.设 P 是一个数集,且至少含有两个数.若对任意 a,b∈P,都有 a+b、a-b,ab、 ∈P(除数 b≠0),则称 P 是一个数域.例如有理数集 Q 是数域.有下列结论: ①数域必含有 0,1 两个数; ②整数集是数域; ③若有理数集 Q? M,则 M 必为数域; ④数域必为无限集. 其中正确的结论的序号是____(把你认为正确结论的序号都填上).

a b

a b a b b a b a a+b∈P,a-b∈P,b-a∈P,从而 0=(a-b)+(b-a)∈P,于是数域必含有 0,1 两个数,
4.解析:设 a,b∈数域 P,按照定义得 ∈P, ∈P,从而 · =1∈P.又 a,b∈P,则 1 因此①正确;以此类推下去,可知数域必为无限集,④正确.②对除法如 ?Z 不满足,所以 2 1 排除;③取 M=Q∪{ 2},1, 2∈M,但对除法 ?M. 所以①④正确. 2 答案:①④

设集合 M 有 n 个元素,那么集合 M 的所有子集共有 2 个,集合 M 的所有真子集共有 2 n -1 个,集合 M 的所有非空真子集共有 2 -2 个. 若集合 M=?,显然 M 的所有子集共有 1 个;若集合 M 只有一个元素,即 M={a1},M 的 所有子集分别是?和 M={a1},所有子集共有 2 个;设集合 M 含有 n-1 个元素, M 的所有子 集共有 Mn-1 个,当集合 M 含有 n 个元素时,不妨设 M={a1,a2,a3,…,an-1,an},M 的所有
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n

n

子集共分为两类:一类是不含 an 的子集,即{a1,a2,a3,…,an-1}的子集,共有 Mn-1 个,另 一类是含 an 的子集,只需将 an 添加到{a1,a2,a3,…,an-1}的所有子集中去,便得到含 an 的所有子集,显然也有 Mn-1 个,故 Mn=2 Mn-1.由此可知, M1=2 M0=2, M2=2 M1=4, M3=2 M2=8,…,Mn=2 Mn-1=2n. 例 5 设 M 为非空的数集,M? {1,2,3},且 M 中至少含有一个奇数元素,则这样的 集合 M 共有( ) A.6 个 B.5 个 C.4 个 D.3 个 3 解析:集合{1,2,3}的所有子集共有 2 =8(个),集合{2}的所有子集共有 2 个,故满 足要求的集合 M 共有 8-2=6(个). 答案:A 例 6 满足{0,1,2} A? {0,1,2,3,4,5}的集合 A 的个数是________个. 3 解析:集合{3,4,5}的所有非空真子集共有 2 -1=7(个),满足要求的集合 A 就是这 7 个真子集与集合{0,1,2}的并集,故满足要求的集合 A 共有 7 个. 答案:7 ?跟踪训练 5.已知集合 A={1,2,3,4},那么 A 的真子集的个数是( ) A.3 个 B.4 个 C.15 个 D.16 个 5.C 6.已知集合 M={0,1},则满足 M∪N={0,1,2}的集合 N 的个数是( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.8 个 6.C

对于函数的概念及其表示要注意: 1.函数的三要素:定义域、值域、对应关系. 2.定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数. 3.求抽象函数定义域的方法: (1)已知 f(x)的定义域为[a,b],求 f[g(x)]的定义域,就是求不等式 a≤g(x)≤b 的解 集; (2)已知 f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,就是求当 x∈[a,b]时,g(x) 的值域. 4.求函数解析式的常用方法:①凑配法;②换元法;③待定系数法;④构造法. 5.求函数值域的方法:①配方法;②分离常数法;③换元法. 随着学习的深入,我们会有更多的求值域的方法. 3f(x-1)-f(x-2) 例 7 设 x≥0 时,f(x)=2,x<0 时,f(x)=1,又规定 g(x)= 2 (x>0),试写出 y=g(x)的表达式,画出其图象. 分析:对于 x>0 的不同区间,讨论 x-1 与 x-2 的符号可求出 g(x)的表达式. 解析:当 0<x<1 时,x-1<0,x-2<0, 3-1 ∴g(x)= =1; 2 当 1≤x<2 时,x-1≥0,x-2<0, 6-1 5 ∴g(x)= = ; 2 2 当 x≥2 时,x-1>0,x-2≥0. 6-2 ∴g(x)= =2. 2
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1,0<x<1, ? ?5 故 g(x)=? ,1≤x<2, 2 ? ?2,x≥2.

其图象如右图所示. 点评:此题要注意分类讨论,做题时要分段求解析式.画图要注意端点的取舍. ?跟踪训练 7.求下列函数的定义域. 2 (1)f(x)=x+ ; x-1 (2)f(x)= 4-x ; x-1

(3)f(x)= x-1+ 1-x; 1 2 (4)f(x)= x +x+1+ 2 . x -2x+1 7.解析:(1)∵x-1≠0,∴x≠1, ∴函数的定义域是(-∞,1)∪(1,+∞). ?4-x≥0, ? ?x≤4, ? (2)∵? ∴? ? ?x-1≠0, ? ?x≠1. ∴函数的定义域是(-∞,1)∪(1,4]. ?x-1≥0, ? ?x≥1, ? (3)∵? ∴? ? ?1-x≥0, ? ?x≤1. ∴x=1,∴函数的定义域是{1}. 2 2 (4)∵x +x+1 的判别式Δ =1 -4×1×1=-3<0, 2 ∴x +x+1>0 对一切 x∈R 恒成立, 2 ∴函数的定义域由 x -2x+1≠0 确定, 2 由 x -2x+1≠0,得 x≠1. ∴函数的定义域是(-∞,1)∪(1,+∞). 点评:求函数的定义域要注意使函数解析式中每个式子都有意义,有时需解不等式组.

1.判断函数单调性的步骤: (1)任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; (2)作差 f(x1)-f(x2); (3)变形(通分、配方、因式分解); (4)判断差的符号,下结论. 2.求函数单调性要先确定函数的定义域. 3.若 f(x)为增(减)函数,则-f(x)为减(增)函数.
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4.复合函数 y=f[g(x)]的单调性遵循“同增异减”的原则. 5.奇函数的性质: (1)图象关于原点对称; (2)在关于原点对称的区间上单调性相同; (3)若在 x=0 处有定义,则有 f(0)=0. 6.偶函数的性质: (1)图象关于 y 轴对称; (2)在关于原点对称的区间上单调性相反; (3)f(-x)=f(x)=f(|x|). 7.若奇函数 f(x)在[a,b]上有最大值 M,则在区间[-b,-a]上有最小值-M. 例 8 已知 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x|x-2|,求 f(x)在 R 上的表 达式. 解析:(1)当 x=0 时,∵f(x)是奇函数, ∴f(-0)=-f(0),∴f(0)=0. (2)当 x<0 时,-x>0. ∴f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|. 又∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=-x|x+2|, ∴f(x)=x|x+2|. 综上可知,f(x)在 R 上的表达式为 ?x|x-2|,x>0,

f(x)=?0,x=0,

?

? ?x|x+2|,x<0.

点评:解决本题的关键在于通过区间的过渡,将(-∞,0)上的变量转换到(0,+∞) 上, 从而利用函数的奇偶性和函数在(0, +∞)上的解析式求出函数在(-∞, 0)上的解析式, 但不要忘记 f(x)为奇函数且 x∈R 时,f(0)=0. ?跟踪训练 2 8.设函数 f(x)=x -2|x|-1(-3≤x≤3). (1)证明:f(x)是偶函数; (2)指出函数 f(x)的单调区间,并说明在各个单调区间上 f(x)是增函数还是减函数; (3)求函数的值域. 2 2 8.(1)证明:∵f(-x)=(-x) -2|-x|-1=x -2|x|-1=f(x),即 f(-x)=f(x), ∴f(x)是偶函数. 2 2 2 (2)解析:当 x≥0 时,f(x)=x -2x-1=(x-1) -2;当 x<0 时,f(x)=x +2x-1= 2 (x+1) -2. 2 ? ?(x-1) -2,x≥0, ? ∴f(x)= 2 ?(x+1) -2,x<0. ? 根据二次函数的作图方法,可得函数图象如图所示. 函数 f(x)的单调区间为[-3,-1),[-1,0),[0,1),[1,3].f(x)在区间[-3, -1),[0,1)上为减函数,在[-1,0),[1,3]上为增函数. (3)解析:由图象可知,函数值域为[-2,2].

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点评:利用函数的奇偶性,可以作出相应的图象. 9. 若 f(x)是奇函数, 且在(0, +∞)内是增函数, 又 f(3)=0, 则 xf(x)<0 的解集是( ) A.{x|-3<x<0 或 x>3} B.{x|x<-3 或 0<x<3} C.{x|x<-3 或 x>3} D.{x|-3<x<0 或 0<x<3} 9.解析:因为 f(x)在(0,+∞)内是增函数,f(3)=0,所以当 0<x<3 时,f(x)<0; 当 x>3 时, f(x)>0.又因 f(x)是奇函数, 其图象关于原点对称, 所以当-3<x<0 时, f(x) >0;当 x<-3 时,f(x)<0,可见 xf(x)<0 的解集是{x|-3<x<0 或 0<x<3}. 答案:D

分段函数是指在定义域的不同子集上解析式不同的函数.在求分段函数的有关问题时, 要根据自变量的所在范围,选择相应的解析式进行研究. 分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各解析式的取值范围的并集. 分段函数的性质往往要结合函数图象进行判断研究. 分段函数解析式的确定一定要分类讨论,根据不同情形分别确定. 例 9 某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在 30 人或 30 人以下,飞机票每张收 费 900 元;若每团人数多于 30 人,则给予优惠:每多 1 人,机票每张减少 10 元,直到每张 降为 450 元为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费 15 000 元. (1)写出飞机票的价格关于人数的函数; (2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润? 解析:(1)设旅行团人数为 x 人,由题知 0<x≤75,飞机票价格为 y 元,则 ?900,0<x≤30, ? y=? ?900-(x-30)·10,30<x≤75, ? ? ?900,0<x≤30, 即 y=? ?1 200-10x,30<x≤75. ? (2)设旅行社获利为 S 元, ?900x-15 000,0<x≤30, ? 则 S=? ?x(1 200-10x)-15 000,30<x≤75, ? ? ?900x-15 000,0<x≤30, 即 S=? 2 ?-10(x-60) +21 000,30<x≤75, ? 因此,当 x=60 时,旅行社可获得最大利润. ?跟踪训练 ? ?1,x∈[0,1], 10.函数 f(x)=? 若 f[f(x)]=1,求 x 的取值 ? ?3-x,x∈(-∞,0)∪(1,+∞), 范围. 10.解析:f[f(x)]=1 等价于:
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f(x)∈[0,1],① 或 3-f(x)=1.② ①式又等价于 x∈[0,1]或 ? ?3-x∈[0,1],

? ?x∈(-∞,0)∪(1,+∞); ?

②式又等价于 3-x=2. 解得 x 的取值范围是[0,1]∪[2,3]. 11.通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生的接受能力依赖于老师引入概念和 描述问题所用的时间.讲座开始时,学生的兴趣激增;中间有一段不太长的时间,学生的兴 趣保持较理想的状态;随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明,用 f(x)表示学 生掌握和接受概念的能力,x 表示提出概念和讲授概念的时间(单位:分钟),可有以下的公 式: 2 ?-0.1x +2.6x+43,0<x≤10,

f(x)=?59,10<x≤16,

?

? ?-3x+107,16<x≤30.

(1)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多少时间? (2)开讲后 5 分钟与开讲后 20 分钟比较,学生的接受能力何时强一些? (3)一个数学难题需要 55 的接受能力以及 13 分钟时间,老师能否及时在学生一直达到 所需接受能力的状态下讲授完这个难题? 11.解析:(1)易知在前 10 分钟学生的接受能力一直增强,所以开讲后 10 分钟学生的 接受能力最强,此时达到 59;而从 16 分钟后开始,学生的接受能力从 59 起一直在下降, 故能维持 6 分钟. (2)因为开讲后 5 分钟学生的接受能力为-0.1×25+13+43=53.5,开讲后 20 分钟学 生的接受能力为-3×20+107=47,所以学生在开讲后 5 分钟接受能力强一些. 52 (3)因为易求得从第 6 分钟开始学生的接受能力开始达到 55, 一直维持到第 分钟时开 3 52 34 始从 55 下降, 所以能保持接受能力为 55 的时间为 -6= <13, 因为讲这个数学难题需要 3 3 55 的接受能力和 13 分钟, 因此老师不能在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个 难题.

抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函 数.由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题是函数内容的难点之一,其性质常常是 隐而不漏,但一般情况下大多是以常见函数为背景,通过代数表述给出函数性质. 处理抽象函数的问题时, 往往需要对某些变量进行适当的赋值, 这是一般向特殊转化的 必要手段.也是解决这类问题的主要方法. + 例 10 已知定义域为 R 的函数 f(x),同时满足下列条件: 1 ①f(2)=1,f(6)= ; 5 ②f(x·y)=f(x)+f(y). 求 f(3)、f(9)的值. 解析:取 x =2,y =3,得 f(6)=f(2)+f(3), 1 4 ∵f(2)=1,f(6)= ,∴f(3)=- . 5 5 8 又取 x =y =3,得 f(9)=f(3)+f(3)=- . 5
11

点评: 通过观察已知与未知的联系, 巧妙地取 x=2, y=3, 这样便把已知条件 f(2)=1, 1 f(6)= 与欲求的 f(3)联系了起来.这是解此类问题的常用技巧. 5 ?跟踪训练 2 2 12.已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f[f(x)-x +x]=f(x)-x +x. (1)若 f(2)=3,求 f(1);又若 f(0)=a,求 f(a); (2)设有且仅有一个实数 x0,使得 f(x0)=x0,求函数 f(x)的解析表达式. 12.解析:(1)因为对任意 x∈R, 2 2 有 f[f(x)-x +x]=f(x)-x +x, 2 2 所以 f[f(2)-2 +2]=f(2)-2 +2. 2 2 又由 f(2)=3 得 f(3-2 +2)=3-2 +2, 即 f(1)= 1. 2 2 若 f(0)=a,则 f(a-0 +0)=a-0 +0, 即 f(a)= a. 2 2 (2)因为对任意 x∈R,有 f[f(x)-x +x]=f(x)-x +x, 2 又因为有且只有一个实数 x0,使得 f(x0)=x0, 所以, 对任意 x∈R,有 f(x)-x +x=x0, 2 在上式中令 x =x0,有 f(x0)-x0+x0=x0, 2 又因为 f(x0)=x0,所以 x0-x0= 0,故 x0= 0 或 x0=1. 2 2 若 x0= 0,则 f(x)-x +x= 0,即 f(x)=x -x. 2 但方程 x -x = x 有两个不同实根,与题设矛盾,故 x0≠0. 2 2 若 x0= 1,则有 f(x)-x +x= 1,即 f(x)=x -x+1. 易验证该函数满足题设条件. 2 综上可知,所求函数为 f(x)=x -x+1(x∈R).

二次函数的一般式 y=ax +bx+c(a≠0)中有三个参数 a,b,c. 解题时常常需要通过三个 独立条件“确定”这三个参数. 2 二次函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0)的图象为抛物线,具有许多优美的性质,如对称性、 单调性、 凹凸性等. 结合这些图象特征解决有关二次函数的问题, 可以化难为易, 形象直观. 二次函数的图象关于直线 x=- 对称, 设二次函数的图象与 x 轴的两个交点的横坐 2a 标为 x1,x2,则 x1+x2=- 也反映了二次函数的一种对称性. 将二次函数的一般式 y = ax + bx + c(a≠0)进行配方可得二次函数的顶点式: y = b ?2 4ac-b2 ? a?x+ ? + ,由此可知函数的对称轴、最值及判别式. 4a ? 2a? 二次函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0)在区间?-∞,- ?和区间?- ,+∞?上分别单 2a? ? ? 2a ?
2 2

2

b

b a

?

b?

?

b

?

调,所以二次函数 f(x)在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得. 例 11 某公司有价值 a 万元的一条流水线,要提高该流水线的生产能力,就要对其进 行技术改造,改造就需要投入,相应就要提高产品附加值.假设附加值 y 万元与技术改造投 入 x 万元之间的关系满足: ①y 与 a-x 和 x 的乘积成正比; ②x= 时 y=a ; 2 ③0≤ ≤t,其中 t 为常数,且 t∈[0,1]. 2(a-x) (1)设 y=f(x),求出 f(x)的表达式,并求出 y=f(x)的定义域;
12

a

2

x

(2)求出附加值 y 的最大值,并求出此时的技术改造投入的 x 的值. 解析:(1)设 y=k(a-x)x,由 x= 时 y=a ,可得 k=4,∴y=4(a-x)x. 2 2at ? ? ∴定义域为?0, ?,t 为常数,t∈[0,1]. ? 1+2t? 2 ? a? 2 (2)y=4(a-x)x=-4?x- ? +a , ? 2? 2at a 1 a 2 当 ≥ 时,即 ≤t≤1,x= 时,ymax=a ; 1+2t 2 2 2 2at ? 2at a 1 ? 当 < 时,即 0≤t≤ 时,y=4(a-x)x 在?0, ?上为增函数. 1+2t 2 2 ? 1+2t? 2 2at 8a t ∴当 x= 时,ymax= 2 . 1+2t (1+2t) 1 a 2 ∴当 ≤t≤1 时,投入 x= 时,附加值 y 最大为 a 万元; 2 2 2 1 2at 8a t 当 0≤t< 时,投入 x= 时,附加值 y 最大为 2万元. 2 1+2t (1+2t) ?跟踪训练 2 13.函数 f(x)=x +mx+1 的图象关于直线 x=1 对称,则( ) A.m=-2 B.m=2 C.m=-1 D.m=1 13.解析:函数 f(x)=x +mx+1 的对称轴为 x=- ,于是- =1? m=-2. 2 2 答案:A 14.设 abc>0,二次函数 f(x)=ax +bx+c 的图象可能是(
2 2

a

2

m

m

)

14. 解析: 当 a>0 时, b、 c 同号, C、 D 两图中 c<0, 故 b<0, - >0, 选项 D 符合. 当 2a a<0 时,同理可排除 A、B. 答案:D 点评:根据二次函数图象开口向上或向下,分 a>0 或 a<0 两种情况分类考虑.另外还要 注意 c 值是抛物线与 y 轴交点的纵坐标,还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等. 15.函数 y=ax -2(a-1)x+2 (a≠0)在区间(-∞, 4]上递增,那么实数 a 的取值范 围是( )
13
2

b

1 1 A.a≥- B.- ≤a<0 3 3 1 C.a≤- D.a<0 3 15.B 2 16.函数 f (x)=(a-1)x +2ax+3 为偶函数,那么 f(x)在(-5, -2)上是( A.增函数 B.减函数 C.先减后增 D.先增后减 16.A

)

17.将长度为 1 的铁丝分成两段,分别围成一个正方形和一个圆形.要使正方形与圆的 面积之和最小,正方形的周长应为________. 1-x 17.解析:设正方形周长为 x,则圆的周长为 1-x,半径 r= . 2π 2 x?2 x2 (1-x) ? ∴S 正=? ? = ,S 圆=π · . 2 4π ?4? 16 2 (π +4)x -8x+4 ∴S 正+S 圆= (0<x<1). 16π 4 ∴当 x= 时有最小值. π +4 4 答案: π +4

14


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