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2011年版-高考题选编(解答题部分)-直线,平面间的位置关系及简单的几何体(四)


高中数学:直线,平面间的位置关系及简单的几何体 全国高考数学试题精选
三.解答题
1.(2009 年广东卷文) 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示,墩的上半部分是正四棱锥 P-EFGH,下半部分 是长方体 ABCD-EFGH.图 5、图 6 分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. (1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图; (2)求该安全标识墩的体积 (3)证明:直线 BD ? 平面 PEG

2.( 2 0 0 9 广 东 卷 理 )如图 6,已知正方体 A B C D

? A1 B 1 C 1 D 1

的棱长为 2,点 E 是正方形 B C C 内的正投影.

1

B 1 的中心,点

F 、G 分

别是棱 C 1 D 1 , A A1 的中点.设点 E 1 , G 1 分别是点 E , G 在平面 D C C

1

D1

(1)求以 E 为顶点,以四边形 F G A E 在平面 D C C 1 D 1 内的正投影为底面边界的棱锥的体积; (2)证明:直线 FG
?

1

平面 FEE

1



z

(3)求异面直线 E 1 G 1 与 E A 所成角的正弦值.

G
1

E
1

y x
3.(2009 浙江卷理) (本题满分 15 分)如图,平面 P A C ? 平面 A B C , ? A B C 是以 A C 为斜边的等腰直角三角形,
E , F , O 分别为 P A , P B , A C 的中点, A C ? 1 6 , P A ? P C ? 1 0 .

(I)设 G 是 O C 的中点,证明: F G / / 平面 B O E ; (II)证明:在 ? A B O 内存在一点 M ,使 F M ? 平面 B O E ,并求点 M 到 O A , O B 的距离.

4.(2009 浙江卷文) (本题满分 14 分)如图, D C
P , Q 分别为 A E , A B 的中点.

?

平面 A B C , E B

/ /DC

, A C ? B C ? E B ? 2 D C ? 2 ,? A C B

? 120

?



(I)证明: P Q

//

平面 A C D ;

(II)求 A D 与平面 A B E 所成角的正弦值.

5.(2009 北京卷文)如图,四棱锥 P (Ⅰ)求证:平面 A E C (Ⅱ)当 P D
? 2 AB

? ABCD

的底面是正方形, P D

? 底 面 ABCD

,点 E 在棱 PB 上.

? 平 面 PDB



且 E 为 PB 的中点时,求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小.

6.(2009 北京卷理)如图,在三棱锥 P ? 在棱 P B , P C 上,且 D E // B C (Ⅰ)求证: B C ? 平面 P A C ;

ABC

中, P A ? 底面 A B C , P A

? AB , ? ABC ? 60 , ? BC A ? 90

?

?

,点 D , E 分别

(Ⅱ)当 D 为 P B 的中点时,求 A D 与平面 P A C 所成的角的正弦值; (Ⅲ)是否存在点 E 使得二面角 A ? D E
?P

为直二面角?并说明理由.

7.(2009 山东卷理) 如图,在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,底面 ABCD 为等腰梯形,AB//CD,AB=4, BC=CD=2, E、E 1 、F 分别是棱 AD、AA 1 、AB 的中点。

AA 1 =2,

D A
1

C
1

(1) 证明:直线 EE 1 //平面 FCC 1 ; (2) 求二面角 B-FC 1 -C 的余弦值。

B
1

1

E
1

D E A F

C B

8.(2009 全国卷Ⅱ文)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB⊥AC,D、E 分别为 AA1、B1C 的中点,DE⊥平面 BCC1 (Ⅰ)证明:AB=AC (Ⅱ)设二面角 A-BD-C 为 60°,求 B1C 与平面 BCD 所成的角的大小

10.(2009 全国卷Ⅰ理)如图,四棱锥 S 点 M 在侧棱 S C 上, ? A B M =60° (I)证明:M 在侧棱 S C 的中点 (II)求二面角 S
? AM ? B

? ABCD

中,底面 A B C D 为矩形, S D ? 底面 A B C D , A D

?

2 D C ? SD ? 2



的大小。

11.(2009 安徽卷理)如图,四棱锥 F-ABCD 的底面 ABCD 是菱形,其对角线 AC=2,BD= 垂直,AE=1,CF=2. (I)求二面角 B-AF-D 的大小; (II)求四棱锥 E-ABCD 与四棱锥 F-ABCD 公共部分的体积.

2 ,AE、CF 都与平面 ABCD

13. 2009 安徽卷文) ( 如图, ABCD 的边长为 2 的正方形, 直线 l 与平面 ABCD 平行, 和 F 式 l 上的两个不同点, EA=ED, g 且 FB=FC, 和 是平面 ABCD 内的两点, 垂直且平分线段 AD:. 和 都与平面 ABCD 垂直, (Ⅰ)证明:直线

(Ⅱ)若∠EAD=∠EAB=60°,EF=2,求多面体 ABCDEF 的体积。

14.(2009 江西卷文)如图,在四棱锥 P ? (1)求证:平面 A B M ⊥平面 P C D ;

ABCD

中,底面 A B C D 是矩形,P A ? 平面 A B C D ,P A ? A D ? 4 ,A B
P

? 2

. 以

B D 的中点 O 为球心、 B D 为直径的球面交 P D 于点 M .

(2)求直线 P C 与平面 A B M 所成角的正弦值; (3)求点 O 到平面 A B M 的距离.
M

A

D

O B C

15.(2009 江西卷理)在四棱锥 P

? ABCD

中,底面 A B C D 是矩形, P A

?

平面 A B C D , P A ?

AD ? 4 , AB ? 2

. 以 AC 的

中点 O 为球心、 A C 为直径的球面交 P D 于点 M ,交 P C 于点 N . (1)求证:平面 A B M ⊥平面 P C D ; (2)求直线 C D 与平面 A C M 所成的角的大小; (3)求点 N 到平面 A C M 的距离.
A D P

N

M

O B C

16. (2009 湖北卷理) 如图,四棱锥 S—ABCD 的底面是正方形,SD ? 平面 ABCD,SD=2a, A D 且 D E ? ? a (0 ? ? ? 2 ) (Ⅰ)求证:对任意的 ? ? ( 0 , 2 ] ,都有 A C ? B E (Ⅱ)设二面角 C—AE—D 的大小为 ?

?

2a

点 E 是 SD 上的点,

,直线 BE 与平面 ABCD 所成的角为 ? ,若 ta n ? gta n ? ? 1 ,求 ? 的值

17.(2009 四川卷文)如图,正方形 A B C D 所在平面与平面四边形 A B E F 所在平面互相垂直,△ A B E 是等腰直角三 角形, A B
? AE , FA ? FE , ? AEF ? 45
? 平 面 BCE
?

(I)求证: E F



(II)设线段 C D 、 A E 的中点分别为 P 、 M ,求证: P M ∥ 平 面 B C E (III)求二面角 F ? B D ? A 的大小。

18. (2009 全国卷Ⅱ理) 如图, 直三棱柱 A B C (I)证明: A B ? A C

? A1 B 1 C 1 中,A B ? A C , D

、E 分别为 A A 1 、B 1 C 的中点,D E ? 平面 B C C 1

(II)设二面角 A ? B D ? C 为 60°,求 B 1 C 与平面 B C D 所成的角的大小。

19.(2009 辽宁卷理)如图,已知两个正方行 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内,M,N 分别为 AB,DF 的中点 (I)若平面 ABCD ⊥平面 DCEF,求直线 MN 与平面 DCEF 所成角的正值弦; (II)用反证法证明:直线 ME 与 BN 是两条异面直线。



20.(2009 宁夏海南卷理)如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是地面边长的 上的点。 (Ⅰ)求证:AC⊥SD; (Ⅱ)若 SD⊥平面 PAC,求二面角 P-AC-D 的大小 (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,侧棱 SC 上是否存在一点 E,使得 BE∥平面 PAC。若存在, 求 SE:EC 的值;若不存在,试说明理由。

2 倍,P 为侧棱 SD

21. 2009 湖北卷文) ( 四棱锥 S-ABCD 底面是正方形, SD⊥平面 ABCD,SD=AD=a,点 E 是 SD 上的点, DE= ? a(0< ? ≦1). 且 (Ⅰ)求证:对任意的 ? ? (0、1) ,都有 AC⊥BE: (Ⅱ)若二面角 C-AE-D 的大小为 60 C,求 ? 的值。
0

22. 2009 湖南卷文) ( 如图, 在正三棱柱 A B C (Ⅰ)证明:平面 A1 D E ? 平面 A C C
A1

AB ? A1 B 1 C 1 中, =4, A A1 ?

7

,点 D 是 BC 的中点, E 在 AC 上, DE ? A 1 E. 点 且

1

;

(Ⅱ)求直线 AD 和平面 A1 D E 所成角的正弦值。 23.(2009 辽宁卷文)如图,已知两个正方形 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内,M,N 分别为 AB,DF 的中点。 (I)若 CD=2,平面 ABCD ⊥平面 DCEF,求直线 MN 的长; (II)用反证法证明:直线 ME 与 BN 是两条异面直线。 解:(Ⅰ)取 CD 的中点 G 连结 MG,NG.因为 ABCD,DCEF 为正 方形,且边长为 2,所以 MG⊥CD,MG=2, N G ? MG⊥平面 DCEF,可得 MG⊥NG.所以 M N ?
MG
2

2 .因为平面 ABCD⊥平面 DCEF,

所以

? NG

2

?

6 .

(Ⅱ)假设直线 ME 与 BN 共面, 则 A B ? 平面 MBEN,且平面 MBEN 与平面 DCEF 交于 EN,由已知,两正方形不共 面,故 A B ? 平面 DCEF.又 AB∥CD,所以 AB∥平面 DCEF.而 EN 为平面 MBEN 与平面 DCEF 的交线,所以 AB∥EN.又 AB∥CD∥EF,所以 EN∥EF,这与 E N ? E F = E 矛盾,故假设不成立。 所以 ME 与 BN 不共面,它们是异面直线。 24.(2009 全国卷Ⅰ文)如图,四棱锥 S ? A B C D 中,底面 A B C D 为矩形, S D ? 底面 A B C D , A D ?
D C ? S D ? 2 ,点 M 在侧棱 S C 上, ∠ A B M = 6 0 。
?

2 ,

(I)证明: M 是侧棱 S C 的中点;

? ? ? ? 求二面角 S

? A M ? B 的大小。

解:(I)作 M N ∥ S D 交 C D 于 N,作 N E ? A B 交 A B 于 E,连 ME、NB,则
M N ? 面 ABCD , M E ? AB , N E ? A D ?
? ? M BE ? 60? ? M E ?

2 . 设 MN ? x , 则 N C?
2 2

E B ?
2 2

, 在 RT ?M EB 中 , x

3 x 在 R T ? M N E中 由 M E ? N E ? 。

M N? 3x
2

? x ? 2 ,解得 x ? 1 ,从而

MN ?

1 2

S D ? M 为侧棱 S C 的中点 M.

(II)过 M 作 M J ∥ C D 交 S D 于 J ,作 S H ? A J 交 A J 于 H ,作 H K ? A M 交 A M 于 K ,则
J M ∥ C D , J M ? 面 S A D ,面 S A D ? 面 M B A , S H ? 面 A M B ? ? S K H 即为所求二面角的补角.
6 3

可求得二面角 S ? A M ? B 的大小 ? ? arccos



解法二: 分别以 DA、DC、DS 为 x、y、z 轴如图建立空间直角坐标系 D—xyz, 则 A ( 2 , 0 , 0 ), B ( 2 , 2 , 0 ), C ( 0 , 0 , 2 ), S ( 0 , 0 , 2 ) 。 (Ⅰ)设 M ( 0 , a , b )( a ? 0 , b ? 0 ) ,则 BA ? ( 0 , ? 2 , 0 ), BM ? ( ?
2 , a ? 2 , b ), SM ? ( 0 , a , b ? 2 ) ,

? 2(a ? 2) 1 ? 1 ? ? ? ? cos ? BA , BM ? ? 2 2 2 解之个方程组 2 ,即 ? 2 ? ( a ? 2 ) ? b ? 2 SC ? ( 0 , 2 , ? 2 ) ,由题得 ? ? ? ? SM // SC ? ? 2a ? 2(b ? 2)

得 a ? 1 , b ? 1 即 M ( 0 ,1 ,1 ) ,所以 M 是侧棱 S C 的中点。
2? 1? ? 2 1? ? 2 1? ? ? 2 1? ?
o

方法二:设 SM ? ? MC ,则 M ( 0 ,

,

), MB ? ( 2 ,

,

)

又 AB ? ( 0 , 2 , 0 ), ? MB , AB ?? 60 ,故 MB ? AB ? | MB | ? | AB | cos 60 ,即
o

4 1? ?

?

2 ? (

2 1? ?

)

2

? (

2 1? ?

)

2

,解得 ? ? 1 ,所以 M 是侧棱 S C 的中点。

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 M ( 0 ,1 ,1 ), MA ? ( 2 , ? 1 , ? 1 ) ,又 AS ? ( ?

2 , 0 , 2 ) , AB ? ( 0 , 2 , 0 ) ,

设 n 1 ? ( x 1 , y 1 , z 1 ), n 2 ? ( x 2 , y 2 , z 2 ) 分别是平面 SAM 、 MAB 的法向量,则
? n ? MA ? 0 ? n ? MA ? 0 ? 2x ? y ? z ? 0 ? 2x ? y ? z ? 0 ? ? 1 ? 2 ? 1 1 1 2 2 2 且? ,即 ? 且? , ? ?2 y2 ? 0 ?? 2 x1 ? 2 z1 ? 0 ? n 1 ? AS ? 0 ? n 1 ? AB ? 0 ? ? ? ?

分别令 x 1 ? x 2 ?

2 得 z 1 ? 1 , y 1 ? 1 , y 2 ? 0 , z 2 ? 2 ,即 n 1 ? (

2 ,1 ,1 ), n 2 ? (
6 3

2 ,0 ,2 ) ,

∴ cos ? n 1 , n 2 ??

2? 0? 2 2? 6

?

6 3

,二面角 S ? A M ? B 的大小 ? ? arccos



25.(2009 四川卷文)如图,正方形 A B C D 所在平面与平面四边形 A B E F 所在平面互相垂直,△ A B E 是等腰直角 三角形, A B ? A E , F A ? F E , ? A E F ? 4 5 (I)求证: E F ? 平 面 B C E ; (II)设线段 C D 、 A E 的中点分别为 P 、 M ,求证: P M ∥ 平 面 B C E (III)求二面角 F ? B D ? A 的大小。
?

解:因为平面 ABEF⊥平面 ABCD,BC ? 平面 ABCD,BC⊥AB,平面 ABEF∩平面 ABCD=AB, 所以 BC⊥平面 ABEF.所以 BC⊥EF.因为⊿ABE 为等腰直角三角形,AB=AE,所以∠AEB=45°,又因为∠AEF=45,所以 ∠FEB=90°,即 EF⊥BE.因为 BC ? 平面 ABCD, BE ? 平面 BCE,BC∩BE=B 所以 E F ? 平 面 B C E (II)取 BE 的中点 N,连结 CN,MN,则 MN
1 2 AB

PC,∴PMNC 为平行四边形,所以 PM∥CN.

∵CN 在平面 BCE 内,PM 不在平面 BCE 内,∴PM∥平面 BCE. (III)由 EA⊥AB,平面 ABEF⊥平面 ABCD,易知 EA⊥平面 ABCD.作 FG⊥AB,交 BA 的延长线于 G,则 FG∥EA.从而 FG⊥平面 ABCD,作 GH⊥BD 于 H,连结 FH,则由三垂线定理知 BD⊥FH.∴∠FHG 为二面角 F-BD-A 的平面角. ∵FA=FE,∠AEF=45°,∠AEF=90°, ∠FAG=45°.设 AB=1,则 AE=1,AF=
2 2

,

则FG ? AF ? sin FAG ?

1 2
3 2 2 2 3 4 2 3 2

在 Rt⊿BGH 中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+

1 2

=

3 2

,GH ? BG ? sin GBH ?

?

?

,

在 Rt⊿FGH 中, t a n F H G ?

FG GH

?

2 3

,∴二面角 F ? B D ? A 的大小为 a r c t a n

解法二: 因 ? ABE 等腰直角三角形, AB ? AE ,所以 AE ? AB 又因为 平面 ABEF ? 平面 ABCD ? AB ,所以 AE ⊥平面 ABCD ,所以 AE ? AD 即 AD 、 AB 、 AE 两两垂直;如图建 立空间直角坐标系, (I) 设 AB ? 1 ,则 AE ? 1 , B ( 0 ,1, 0 ), D (1, 0 , 0 ), E ( 0 , 0 ,1 ), C (1,1, 0 ) ∵ FA ? FE , ? AEF ? 45 ? ,∴ ? AFE = 90 ,从而 F ( 0,-
0

1

1 , ) 2 2 1 2 ? 1 2 ? 0 , EF ? BC ? 0

EF ? ( 0 , ?

1 2

,?

1 2

) , BE ? ( 0 , ? 1,1), BC ? (1, 0 , 0 ) 于是 EF ? BE ? 0 ?

∴ EF ⊥ BE , EF ⊥ BC ,∵ BE ? 平面 BCE , BC ? 平面 BCE , BC ? BE ? B , ∴ E F ? 平 面 B C E (II) M ( 0 , 0 ,
1 2 ), P (1, 1 2 , 0 ) ,从而 PM ? ( ? 1 , ? 1 2 , 1 2 )

于是 PM ? EF ? ( ? 1, ?

1 1 1 1 1 1 , ) ? (0 ,? ,? ) ? 0 ? ? ? 0 ,∴ PM ⊥ EF ,又 EF ⊥平面 BCE , 2 2 2 2 4 4 3 1 , ) 2 2

直线 PM 不在平面 BCE 内,故 PM ∥平面 BCE (III)设平面 BDF 的一个法向量为 n 1 ,并设 n 1 =( x , y , z ) , BD ? (1, ? 1, 0 ), BF ? ( 0 , ?

?x ? y ? 0 ? n ? BD ? 0 ? 1 ? ,即 ? 3 , 取 y ? 1 ,则 x ? 1 , z ? 3 ,从而 n 1 =(1,1,3).取平面 ABD D 的一个法 ? 1 y ? z ? 0 ? n 1 ? BF ? 0 ?? ? 2 ? 2

向量为 n 2 ? ( 0 , 0 ,1) , cos ? n 1、 2 ?? n

n1 ? n 2 n1 ? n 2

?

3 11 ? 1

?

3 11 11

.

故二面角 F ? B D ? A 的大小为 arccos

3 11 11

26.(2009 陕西卷文)如图,直三棱柱 A B C ? A1 B 1 C 1 中, AB=1, A C ? A A1 ? (Ⅰ)证明: A B ? A1 C ;

3 ,∠ABC=60 .

0

(Ⅱ)求二面角 A— A1 C —B 的大小。

解: (Ⅰ)因为三棱柱 A B C ? A1 B 1 C 1 为直三棱柱所以 A B ? A1 A 在 ? A B C 中. A B ? 1 ,
, AC ? 3 , ? A B C ? 6 0 ,由正弦定理得 ? A C B ? 3 0 所以 ? B A C ? 9 0 .即 A B ? A C ,
0

0

0

所以 A B ? A C C 1 A , 又因为 A C 1 ? A C C 1 A1 所以 A B ? A1 C . (Ⅱ)如图所示,作 A D ? A1 C 交 A1 C 于 D ,连 B D ,由三垂线定理可得 B D ? A1 C ,所以 ? A B D 为所求角.
A1 Ag A C ? A1 C 3g 6 3 6 2
AB AD 6 3

在 R t ? A A1 C 中 , A D ?

?

n , 在 R t? B A D , t a A B D ? 中

?

,所以

? A D B?

a tr ac n

6 3

.

27.(2009 宁夏海南卷文)如图,在三棱锥 P ? A B C 中,⊿ P A B 是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90 ? (Ⅰ)证明:AB⊥PC (Ⅱ)若 P C ? 4 ,且平面 P A C ⊥平面 P B C ,求三棱锥 P ? A B C 体积。 解: (Ⅰ)因为 ? P A B 是等边三角形, ? P A C ? ? P B C ? 9 0 ? ,所以 R t ? P B C ? R t ? P A C ,可得 A C ? B C 。 取 A B 中点 D ,连结 P D , C D ,则 P D ? A B , C D ? A B ,所以 A B ? 平面 P D C ,所以 A B ? P C 。 (Ⅱ)作 B E ? P C ,垂足为 E ,连结 A E .因为 R t ? P B C ? R t ? P A C ,所以 A E ? P C , A E ? B E . 由已知,平面 P A C ? 平面 P B C ,故 ? A E B ? 9 0 ? .因为 R t ? A E B ? R t ? P E B ,所以 ? A E B , ? P E B , ? C E B 都是 等腰直角三角形。由已知 P C ? 4 ,得 A E ? B E ? 2 , ? A E B 的面积 S ? 2 .因为 P C ? 平面 A E B , 所以三角锥 P ? A B C 的体积 V ?
1 3 ? S ? PC ? 8 3
2 A A ,D 是 A1 B 1 的中点,点 E 在 A1 C 1 上,且

.

28.(2009 湖南卷理) 如图 4,在正三棱柱 A B C ? A1 B 1 C 1 中, A B ?
DE ? AE 。

(1) 证明平面 A D E ? 平面 A C C 1 A1 ;

(2) 求直线 A D 和平面 A B C 所成角的正弦值。

解: 1)如图所示, ( 由正三棱柱 A B C ? A1 B 1 C 1 的性质知 A A1 ? 平面 A1 B 1 C 1 .又 DE ? 平面 A 1 B 1 C 1 , 所以 DE ? AA 1 . 而 DE ? AE。AA 1 ? AE=A,∴DE ? 平面 AC C 1 A 1 ,又 DE ? 平面 ADE,故平面 ADE ? 平面 AC C 1 A 1 。 (2) 如图所示, F 使 AB 的中点, 设 连接 DF、 CF, DC、 由正三棱柱 ABC- A 1 B 1 C 1 的性质及 D 是 A 1 B 的中点知 A 1 B ? C 1 D,

A 1 B ? DF,又 C 1 D ? DF=D,所以 A 1 B ? 平面 C 1 DF,而 AB∥A 1 B,∴AB ? 平面 C 1 DF,又 AB ? 平面 ABC,故平面 AB C 1 ? 平面 C 1 DF。 过点 D 做 DH 垂直 C 1 F 于点 H,则 DH ? 平面 AB C 1 ,连接 AH,则 ? HAD 是 AD 和平面 ABC 1 所成的角。 由已知 AB=
DF · DC C1F

2 A A 1 ,不妨设 A A 1 =

2 ,则 AB=2,DF=

2 ,D C 1 =

3 ,C 1 F=

5 ,AD=

AA 1 ? AD

2

2

= 3 ,

DH=

1

=

2 ? 5

3



30 5

,∴sin ? HAD=

DH AD

=

10 5

。即直线 AD 和平面 AB C 1 所成角的正弦值为

10 5



解法二:如图所示,设 O 使 AC 的中点,以 O 为原点建立空间直角坐标系,不妨设 A A 1 =
3 2

2 ,则 AB=2,相关各点

的坐标分别是 A(0,-1,0), B( 3 ,0,0) C 1 (0,1, 2 ) D( , ,

,-

1 2

, 2 ) 。易知 AB =( 3 ,1,0),

AC

1

=(0,2,

2 ), AD =(

3 2

,-

1 2



2 ).

设平面 ABC 1 的法向量为 n=(x,y,z),则有 ?

?n· ? AB ? ?n· ? AC
1

3 x ? y ? 0,

? 2y ?

? 3 ? y, z=? ,解得 x=3 2 z ? 0 ,? ?

2y ,

故可取 n=(1,- 3 , 6 )。所以, cos (n· AD )=

n· AD n ·AD

=

2

3 3

=

10 5

10 ?

。由此即知,直线 AD 和平面 AB C 1 所

成角的正弦值为

10 5



29.(2009 天津卷理)如图,在五面体 ABCDEF 中,FA ? 平面 ABCD, AD//BC//FE,AB ? AD,M 为 EC 的中点, AF=AB=BC=FE=
1 2

AD

(I) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; (II) 证明平面 AMD ? 平面 CDE; (III)求二面角 A-CD-E 的余弦值。 解: (Ⅰ)由题设知,BF//CE,所以∠CED(或其补角)为异面直线 BF 与 DE
// // // 的角。设 P 为 AD 的中点,连结 EP,PC。因为 FE ? AP,所 FA ? EP,同理 AB ? PC。

所成 又

FA⊥平面 ABCD, 所以 EP⊥平面 ABCD。 PC, 都在平面 ABCD 内,故 EP⊥PC, 而 AD EP⊥AD。 AB⊥AD, 由 可得 PC⊥AD 设 FA=a, 则 EP=PC=PD=a,CD=DE=EC= 2 a ,故∠CED=60°。所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 60° (II)因为 DC ? DE 且 M 为 CE 的中点,所以
DM ? CE .连结 MP ,则 MP ? CE . ? 平面 CDE .

又 MP ? DM ? M ,故 CE ? 平面 AMD .而 CE ? 平面 CDE ,所以平面

AMD

(III) 解:设 Q 为 CD 的中点,连结
PC ? PD ,所以

PQ , EQ .因为 CE ? DE ,所以 A ? CD ? E 的平面角

EQ ? CD .因为

PQ ? CD ,故 ? EQP 为二面角

.

由(I)可得, EP ? PQ , EQ ?

6 2

a , PQ ?

2 2

a . 于是在 Rt ? EPQ 中,cos ? EQP ?

PQ EQ

?

3 3



0 0 C 1, 2 0 方法二: 如图所示, 建立空间直角坐标系, A 为坐标原点。 AB ? 1, 点 设 依题意得 B ?1,, ?, ?1, 0 ?, D ? 0 ,, ?,
1 ? ?1 1, F ? 0,,?,M ? , ? . 01 2? ?2

E ? 0 ,1 ?, 1,

(I) 解: ? ? ? 1,,?, DE ? ? 0, 1,?, DE BF 01 ? 1 于是 cos BF ,

?

BF ? DE BF DE

?

0? 0 ?1 2 ? 2

?

1 2

.

所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 60 .
?1 1 , 1, 2 ?2 ? 01 2 0 ?, CE ? ? ? 1,,?, AD ? ? 0,, ?,可得 CE ? AM ? 0 , ?

0

(II)由 AM ? ?

CE ? AD ? 0 .因此,

CE ? AM , CE ? AD .又 AM ? AD ? A ,故 CE ? 平面 AMD .

而 CE ? 平面 CDE ,所以平面

AMD

? 平面 CDE .

(III) 解:设平面

CDE 的法向量为

? u ? CE ? 0, ? u ? ( x , y , z ),则 ? ?u ? D E ? 0. ?

? ? x ? z ? 0, 01 于是 ? 令 x ? 1,可得 u ? (1,1)又由题设,平面 ACD 的一个法向量为 v ? ( 0,,). 1, . ? y ? z ? 0. ?
u ?v u v 0 ? 0 ?1 3 ?1 3 3

所以, cos u , v ?

?

?

.

30.(2009 四川卷理)如图,正方形 A B C D 所在平面与平面四边形 A B E F 所在平面互相垂直,△ A B E 是等腰直角 三角形, A B ? A E , F A ? F E , ? A E F ? 4 5 (I)求证: E F ? 平 面 B C E ; (II)设线段 C D 的中点为 P ,在直线 A E 上是否存在一点 M ,使得
P M ? 平 面 B C E ?若存在, 请指出点 M 的位置, 并证明你的结论; 若不存在,
?

请 说

明理由; (III)求二面角 F ? B D ? A 的大小。 解: (Ⅰ) 因为平面 A B E F ⊥平面 A B C D , B C ? 平面 A B C D , 平面 A B E F ? 平面 A B C D ? A B , 所以 B C ⊥ 平面 A B E F ,所以 B C ⊥ E F .因为 ? A B E 为等腰直角三角形, A B ? A E , ? A E B ? 4 5 ,又因为 ? A E F ? 4 5 , 所以 ? F E B ? 4 5 ? 4 5 ? 9 0 ,即 E F ⊥ B E ? B ,所以 E F ⊥平面 B C E 。 (Ⅱ)存在点 M ,当 M 为线段 AE 的中点时,PM∥平面 B C E 。
? ? ? ? ?

取 BE 的中点 N,连接 AN,MN,则 MN∥=

1 2

A B ∥=PC,所以 PMNC 为平行四边形,所以 PM∥CN

因为 CN 在平面 BCE 内,PM 不在平面 BCE 内,所以 PM∥平面 BCE。 (Ⅲ)由 EA⊥AB,平面 ABEF⊥平面 ABCD,易知,EA⊥平面 ABCD。作 FG⊥AB,交 BA 的延长线于 G,则 FG∥EA。从而, FG⊥平面 ABCD,作 GH⊥BD 于 G,连结 FH,∴BD⊥FH。∴∠AEF 为二面角 F-BD-A 的平面角。
2 2

∵FA=FE, ∠AEF=45°,∴∠AFE=90°,∠FAG=45°.设 AB=1,则 AE=1,AF=

. FG=AF·sinFAG=

1 2



在 Rt△FGH 中,∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+

1 2

=

3 2

,GH=BG·sinGBH=

3 2

·

2 2

=

3 4

2

在 Rt△FGH 中,tanFHG=

FG GH

=

2 3

故二面角 F-BD-A 的大小为 arctan

2 3

.

解法二:(Ⅰ)因为△ABE 为等腰直角三角形,AB=AE,所以 AE⊥AB.又因为平面 ABEF⊥平面 ABCD,AE ? 平面 ABEF,平面 ABEF∩平面 ABCD=AB,所以 AE⊥平面 ABCD.所以 AE⊥AD. 因此,AD,AB,AE 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系 A-xyz. 设 AB=1,则 AE=1,B(0,1,0) ,D (1, 0, 0 ) ,E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).因为 FA=FE, ∠AEF = 45°,所以∠AFE= 90°. F ( 0 , ? 所
1 1 , ) 2 2


??? ???? ? EF ? BC ? 0

??? ? ???? ??? ? ??? ??? ? ? 1 1 1 1 E F ? ( 0 , ? , ) , B E ? ( 0 , ? 1, 1) , B C ? (1, 0 , 0 ) . E F ? B E ? 0 ? ? ? 0 2 2 2 2

所以 EF⊥BE, EF⊥BC.因为 BE ? 平面 BCE,BC∩BE=B ,所以 EF⊥平面 BCE. (Ⅱ) M(0,0,
???? ??? ? ? 1 2

).P(1,
1

1 2

,0).从而 P M =( ? 1 , ?

???? ?

1 2



1 2

).

于是 P M ? E F ? ? 1 , ? ( PM∥平面 BCE.

1 1 1 , ) 0, ? ( ? , ? ) = 0 ,所以 PM⊥FE,又 EF⊥平面 BCE,直线 PM 不在平面 BCE 内,故 2 2 2 2

(Ⅲ) 设平面 BDF 的一个法向量为 n 1 ,并设 n 1 =(x,y,z) B D =(1, ? 1,0), B F ? ( 0 , ? ,
?? ? ?n ? 1 ? ? ?? ? n1 ?

?? ?

?? ?

????

??? ?

3 1 , ) 2 2

???? ?x ? y ? 0 ?? ? ?? ? ? BD ? 0 ? ,即 ? 3 取 y=1,则 x=1,z=3,从 n 1 =(0,0,3) 。取平面 ABD 的一个法向量为 n 2 =(0, ???? 1 y ? z ? 0 ? BF ? 0 ?? ? 2 2

?? ?? ? ? 0,1) c o s n 1 , n 2 ,

?? ??? ? n1 ? n 2 ? ?? ? ? ? ?? | n1 | ? | n 2 |

3 11 ?1

?

3 11 11

,故二面角 F-BD-A 的大小为 a r c c o s

3 11 11

.

31. (2009 福建卷文) 如图, 平行四边形 A B C D 中,? D A B ? 6 0 ,A B ? 2 , A D ? 4 将 ? C B D 沿 B D 折起到 ? E B D 的位置,使平面 E D B ? 平面 A B D

?

(I)求证: A B ? D E (Ⅱ)求三棱锥 E ? A B D 的侧面积。 证: (I)在 ? A B D 中,? A B ? 2 , A D ? 4 , ? D A B ? 6 0
? BD ? ? AB
2
?

AB
2

2

? AD
2

2

? 2 A B ? 2 A D cos ? D A B ? 2

3

? BD

? A D ,? A B ? D E

又? 平面 E B D ? 平面 A B D ,平面 E B D ? 平面 A B D ? B D , A B ? 平面 A B D ,? A B ? 平面 E B D
? D F ? 平面 E B D ,? A B ? D E

(Ⅱ)由(I)知 A B ? B D , C D // A B ,? C D ? B D , 从而 D E ? D ,在 R t ? D B E 中,
? DB ? 2 3 , D E ? D C ? A B ? 2 , ? S ?ABE ?

1 2

DB ? DE ? 2 1 2

3

又 ? A B ? 平 面 E B ,D

B E平 面 ?

E B ,D ?

A B ?

, ? B E ? B C ? A D ? 4 ,? S ? A B E ? B E

AB ? BE ? 4 1 2

? D E ? B D , 平 面 EBD ? 平 面

A B D ? E D ? 平面 A B D

而 A D ? 平面 A B D ,? E D ? A D ,? S ? A D E ?

AD ? DE ? 4

综上,三棱锥 E ? A B D 的侧面积, S ? 8 ? 2 3 。 32.(2009 重庆卷理)如图,在四棱锥 S ? A B C D 中, A D ? B C 且 A D ? C D ;平面 C S D ? 平面 A B C D ,
C S ? D S , C S ? 2 A D ? 2 ; E 为 B S 的中点, C E ?
2, AS ? 3 .求:

(Ⅰ)点 A 到平面 B C S 的距离;

(Ⅱ)二面角 E ? C D ? A 的大小.

.

解: (Ⅰ)因为 AD//BC,且 B C ? 平 面 B C S , 所以 A D / / 平 面 B C S , 从而 A 点到平面 B C S 的距离等于 D 点到平面
B C S 的距离。

因为平面 C S D ? 平 面 A B C D , A D ? C D , 故 A D ? 平 面 C S D , 从而 A D ? S D ,由 AD//BC,得
B C ? D S ,又由 C S ? D S

知 D S ? 平 面 B C S ,从而 D S 为点 A 到平面 B C S 的距离。 在 R t ? A D S 中, D S ?
2

AS

? AD

2

?

3 ?1 ?

2

(Ⅱ)过 E 电作 E G ? C D , 交 C D 于点 G, 又过 G 点作 G H ? C D ,交 AB 于 H, ? EGH 故 平面角,记为 ? 。

为二面角 E ? C D ? A 的

过 E 点 作 EF//BC, 交 C S 于 点 F, 连 结 GF, 因 平 面 A B C D ? 平 面 C S D , G H ? C D , 易 知 G H ? G F , 故
? ? ?
2 ? ?EGF . 1 2 C S ? 1 ,在 R t ? C F E 中, E F ?

由于 E 为 BS 边中点,故 C F ?

CE ? CF
2

2

?

2 ?1 ? 1,

因 E F ? 平 面 C S D ,又 E G ? C D ,故由三垂线定理的逆定理得 F G ? C D ,从而又可得 ? C G F : ? C S D ,

因此

GF DS

?

CF CD

CD ?

CS

2

? SD

2

? 1 6

4? 2 ? ? 2 ? 1

6,

而在 R t ? C S D 中,

故 GF ?

CF CD

.

?DS ?

3

在 R t ? F E G 中, ta n E G F ?

EF FG

?

3 可得 ? E G F ?

?
3

,故所求二面角的大小为 ? ?

?
6

解法二: (Ⅰ)以 S(O)为坐标原点,射线 OD,OC 分别为 x 轴,y 轴正向,建立空间坐标系,设 A ( x A , y A , z A ) , 因平面 C O D ? 平 面 A B C D , A D ? C D , 故 A D ? 平 面 C O D , 即点 A 在 xoz
uuv 2 2 uuu v xA ? 1 ? AS ? A D ? 1 ,又 从而A (
2





上,因此 y A ? 0, z A

? 3, x A ?

2

2,, 0 1)

因 AD//BC,故 BC⊥平面 CSD,即 BCS 与平面 yOx 重合,从而点 A 到平面 BCS 为 xA ?
2 .
uuv uuv

的距离

(Ⅱ)易知 C(0,2,0),D(,0,0). 因 E 为 BS 的中点.Δ BCS 为直角三角形 ,知 B S ? 2 C E ? 2 2 设 B(0,2, Z B ), Z B >0,则 Z A =2,故 B(0,2,2) ,所以 E(0,1,1) ,在 CD 上取点 G,设 G( x 1 , y 1 , 0 ) , 使 GE⊥CD。由 C D ? ( 2 , ? 2 , 0 ), G E ? ( ? x1 , ? y 1 ? 1,1), C D ? G E ? 0 故 2 x1 ? 2 ( y 1 ? 1) ? 0 ① 又点 G 在直线 CD 上, C G // C D , C G = x 1 , y 1 ? 2 , 0 ) 则有 即 由 ( ,
uuu v uuu v uuu v
x1 2
uuu v , 0 ) ,故 G E = ( ?

uuu v

uuu v

uuu uuu v v

?

y1 ? 2 ?2



联立①、②,解得 G= (
uuu v

2 3

,

4 3

2 3

,?

2 3

uuu v , 1) .又由 AD⊥CD,所以二面角 E-CD-A 的平面角为向量 G E

与向量 D A 所成的角,记此角为 ? 。
uuu v 2 因为 G E =
3 3

uuu uuu v v uuu v uuu v uuu uuu v v GE ?DA , D A ? ( 0 , 0 ,1), D A ? 1, G E ? D A ? 1 ,∴ c o s ? ? uuu uuu ? v v GE ? DA

3 2

,故所求的二面角的大小



?
6

.
?
2

33.(2009 重庆卷文)如题(18)图,在五面体 A B C D E F 中, A B ∥ D C , ? B A D ? 形 A B F E 为平行四边形, F A ? 平面 A B C D , F C ? 3 , E D ? (Ⅰ)直线 A B 到平面 E F C D 的距离; (Ⅱ)二面角 F ? A D ? E 的平面角的正切值.
7 .求:

, C D ? A D ? 2 ,四边

解:(Ⅰ)? A B ? D C , D C ? 平面 E F C D , ? AB 到面 E F C D 的距离等于点 A 到面 E F C D 的距离,过点 A 作
A G ? F D 于 G,因 ? B A D ?

?
2

A B ∥ D C ,故 C D ? A D ;又 ? F A ? 平面 A B C D ,由三垂线定理可知,

C D ? F D ,故 C D ? 面 F A D ,知 C D ? A G ,所以 AG 为所求直线 AB 到面 E F C D 的距离。

在 R t △ A B C 中, F D ?

FC

2

? CD

2

?

9?4 ?

5 ,由 F A ? 平面 A B C D ,得 F A ? AD,从而在 R t △ F A D
2 5 2 5 5

中, F A ?

FD ? AD
2

2

?

5 ? 4 ? 1 ,? A G ?

FA ? AD FD

?

?

。即直线 A B 到平面 E F C D 的距离为

2 5

5


?
2

( Ⅱ ) 由 己 知 , F A ? 平 面 A B C D, 得 F A ? AD , 又 由 ? B A D ?

, 知 A D ? A B, 故 A D ? 平 面

ABFE,? D A ? A E ,所以, ? F A E 为二面角 F ? A D ? E 的平面角,记为 ? . 在 R t △ A E D 中, A E ? 在 R t △ A E F 中, F E ?
ED ? AD
2 2

? ?

7?4 ? 3 ?1 ?

3 ,由 ? A B C D 得, F E ? B A ,从而 ? A F E ? 2

?
2

AE ? AF
2

2

,故 ta n ? ?

FE FA

?

2 所以二面角

F ? A D ? E 的平面角的正切值为

2 .
??? ???? ???? ?

解法二:(Ⅰ) 如图以 A 点为坐标原点, A B , A D , A F 的方向为 x , y , z 的正方向建立空间直角坐标系数,则 A(0,0,0)
z

C(2,2,0)
??? ?

D(0,2,0)

设 F (0, 0, z0 )
????

( z0 ? 0)

F

E

G

可得 F C ? ( 2 , 2 ,? z0 ), 由 | F C | ? 3 . 即

2 ? 2 ? z 0 ? 3 , 解得 F ( 0 , 0 , 1 )
2 2 2
x B A

? A B ∥ D C , D C ? 面 E F C D ,所以直线 AB 到面 E F C D 的距离等于

点 A 到面 E F C D 的距离。

C

D y

???? ???? ???? 设 A 点在平面 E F C D 上的射影点为 G ( x 1 , y 1 , z 1 ) ,则 A G ? ( x1 , y 1 , z 1 ) 因 A G ? D F ? 0 ???? ????
???? ????

C 且 A G ? C D ? 0 ,而 D F ? ( 0 , ? 2 , 1) , D ? ( ? 2 , 0 , 0 ) ,此即 ?

? ? 2 y1 ? z1 ? 0 ? ? 2 x1 ? 0
y1 2 ? ? z 1 ?1

, 解得 x 1 ? 0



,知 G 点在 yo z 面上,
2 4 , ), 5 5

故 G 点在 FD 上. G F ? D F , G F ? ( ? x1 , ? y 1 , ? z 1 ? 1) 故有

????

????

????



联立①,②解得, G ( 0 ,

???? ???? ???? 2 5 2 4 ? | A G | 为直线 AB 到面 E F C D 的距离.而 A G ? ( 0 , , ) ,所以 | A G | ? 5 5 5

(Ⅱ)因四边形 A B F E 为平行四边形,则可设 E ( x 0 , 0 , 1)
???? | E D |? 7 得

???? ( x 0 ? 0 ) , E D ? ( ? x 0 2 , ? 1) .由
???? 2 , 0 , 1) .故 A E ? ( ?

x0 ? 2 ? 1 ?
2 2

7 ,解得 x

0

? ?

2 .即 E ( ?

???? 2 , 0 , 1) 。由 A D ? ( 0 , 2 , 0 ) ,

???? ??? ? ???? ???? ???? A F ? ( 0 , 0 , 1) 因 A D ? A E ? 0 , A D ? A F ? 0 ,故 ? F A E 为二面角 F ? A D ? E 的平面角,
???? 又? E F ? (

???? 2 , 0 , 0 ) , | E F |?

??? ? ???? | EF | ? 2 , | A F | ? 1 ,所以 ta n ? F A E ? ??? ? | FA |

2 .


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