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人教版高中数学必修一第一章集合与函数概念1集合的含义与表示(教师版)

集合的含义与表示 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、 通过实例了解集合的含义,并掌握集合中元素的三个特性。 2、 掌握元素与集合的关系,并能用符号“∈”或“?”来表示。 3、 掌握列举法和描述法,会选择不同的方法来表示集合,记住常用数集的符号。 一、集合与元素的概念: 一般地,一定范围内某些确定的,不同的对象的全体构成一个集合,简称集。集合中每一个对 象称为该集合的元素。如所有的三角形可以组成集合,每个三角形都是这个集合的元素;所有的直 角三角形也可以组成集合,每个直角三角形都是集合的元素;由 1,2,3,4 组成的集合{1,2,3, 4} 。1,2,3,4 就是这个集合的元素 。类似“与 2 非常接近的全体实数” , “高个子”这样模糊的 说法就不能确定集合。 特别提醒:1、集合是一个“整体” 。一些对象一旦组成了集合,那么这个集合就是这些对象的 全体,而非个别对象。2、集合具有两个方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要 是它的元素就必须符合条件。3、集合通常用大写的字母表示,如 A、B、C、 ??;元素通常用小写 的字母表示,如 a、b、c、d ??。 二、集合中元素的特性: 1、确定性:设 A 是一个给定的集合, x 是某一具体的对象,则 x 或者是 A 的元素,或者不是 A 的元素,二者必居其一,不能模棱两可. 2、互异性: 对于一个给定的集合,它的任意两个元素是不能相同的。集合中相同的元素只能 算是一个。如方程 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 有两个重根 x1 ? x2 ? 1 ,其解集只能记为 ?1? ,而不能记为 ?1,1? 。 3、无序性:集合中的元素是不分顺序的.如 ?a, b? 和 ?b, a? 表示同一个集合. 特别提醒:集合和点的坐标是不同的概念,在平面直角坐标系中,点(l,0)和点(0,l)表 示不同的两个点,而集合{1,0}和{0,1}表示同一个集合。 三、元素与集合的关系: 一般地,如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于 A ,记作 a ? A ;如果 a 不是集合的元素,就说 a 不属于 A ,记作 a ? A 。 特别提醒:1、 “属于”号 ? 与“不属于”号 ? ,使用时不可反过来写, “A -6”与“A 8”的 写法是错误的;2、根据集合中元素的确定性, a ? A 或 a ? A ,这两种情况必有一种成立;3、集 1 合和元素是两个不同的概念,它们之间是个体与整体的关系,并且这种关系是相对的。如:集合 等的关系,如 2 与 ?3? ,只能是 2 ? ?3? ,不能写成 2 ? ?3? 。4、符号 ? 和 ? 是表示元素和集合之间 A ? ?1? 相对于集合 B ? ??1?,?2?,?3?? 而言, A 是 B 的一个元素;元素与集合之间不存在大小与相 关系的,不能用来表示集合之间的关系,如: ?1? ? ?1, 2? 的写法是错误的,而 ?1 ? ? ?1?,?2? 的写 法是正确的。 四、集合的分类: 按照集合中元素的个数是有限还是无限,集合可分为:有限集和无限集。 (1)有限集:含有有限个元素的集合; (2)无限集:含有无限个元素的集合 (3)空集:特别地,不含任何元素的集合叫做空集,记作 ? .空集是个特殊的集合,空集归入 王新敞 奎屯 新疆 ? ? 有限集。如: {x ? R | x 2 ? 1 ? 0} 。 按照集合中元素的形式,性质及属性,集合可分为: (2)数集:有一些数字组成的集合; (1)单元素集:只含一个元素的集合;如 ?0? , ??? 。 (3)点集:由符合某一条件的点 ? x, y ? ,组成的集合; ?? x, y ? y ? 2 x ? 1? ( 4 )解集:由方程或方程组,不等式或不等式组的解组成的解的集合,简称解集。如:方程 x 2 ? x ? 2 ? 0 的解集是: ??1, 2? 。 五、常用数集的关系及记法 ? ? ?正整数 ? ? ?? ? ? ? ? ?N ? ? ? ?自然数 ? N ? ? ? ? 整数 ? ? ? ?有理数集 ?(Z) ?0 ? 实数集 ? (Q) ? ? ?负整数 ( R) ? ? ? ? ?分数:指有限小数和无限循环小数. ? ?无理数:指无限不循环小数. 六:集合的表示方法 (1)列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合。如,由方程 x 2 ? 1 ? 0 的所有解组成的集合,可以表示为{-1,1} 特别提醒:1、元素间用分隔号“, ” ;2、元素不重复;3、不考虑元素顺序;4、适用于表示元 素较少的集合;对于含有较多元素的集合,如果构成该集合的元素有明显规律,可用列举法,但必 须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号。如:从 51 到 100 的所有整数组成的集合:{51,52, 53,?,100};所有正奇数组成的集合:{1,3,5,7,?} (2)描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合,并把这个条件写在大括号内表示 集合的方法。①格式: x ? A P ? x ? ;②含义:它表示集合由具有性质 P ? x ? 的所有元素构成的。 其中 x 为该集合中元素的代表形式,它表明了该集合中的元素是“谁” ,是“什么样” ; I 表明了 x 的 范 围 ; P ? x? 为 该 集 合 中 元 素 所 具 有 的 特 征 。 如 : 不 等 式 x ? 3 ? 2 的 解 集 可 以 表 示 为 : ? ? {x ? R | x ? 3 ? 2} 或 {x | x ? 3 ? 2} 。 特别提醒:1、写清楚该集合中元

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