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4.空间向量的正交分解及其坐标表示


3.1.4空间向量的正交 分解及其坐标表示

复习:
? 共线向量定理:

??? ? ? 对空间任意两个向量a、 ( b b ? 0), a / /b ? ? ? 存在实数?,使a=? b。

? 共面向量定理: ? ? ? ? ? 如果两个向量a, b不共线,则向量p与向量a, b共面

? 存在实数对x,y,使 ? ? ? p=xa+yb

平面向量基本定理:
如果e1, e 2是同一平面内的两个不 共线向量, 那么对于这一平面内的 任一向量a,有且只有 一对实数?1,?2,使a=?1 e1+?2 e 2。

(e1、 e 2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底。)

? ? ? 设向量 a 、 b 、c 不共面,那么对于空间任一 ?? ? ? ? 向量 p ,如何用三个不共面的向量 a 、 b 、c 来表 示呢? ? C
作PP ? / / OC交平面OAB于P ?
? ? ???? ???? ???? ???? ???? p ? OP? ? P?P ? OB? ? OA? ? P?P

探究:

c

D O?

p

P

? ? ? ? xa ? yb ? zc

A A′

a

? B′ b
P′

B

一、空间向量基本定理:
? ? ? 如果三个向量 a 、 b 、c 不共面,那么对于空间任一向 ? ? 量 p , 存 在 唯 一 的 有 序 实 数 组 ? x, y, z? 使 ? ? ? ? ? p ? xa ? yb ? zc .

? ? ? {a, b, c} 叫做空间的一个基底

??? a, b, c 都叫做基向量

思考:基底应注意什么呢?
1.任意三个不共面的向量都可作为空间向量的一个基底

2.三个基向量每一个都不能为零向量

3.一个基底是指一个向量组,一个基向量是指一个向量

? 1 .已知 a , b , c 是不共面的三个向量,则能 构成一个基底的一组向量是(

C)

A.2a,a-b,a+2b B.2b,b-a,b+2a C .a,2b,b-c D.c,a+c,a-c

例题讲解: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 例1 设 x ? a ? b, y ? b ? c, z ? c ? a, 且 a, b, c 是空间 的一个基底,给出下列向量组 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ① x, y, z ③ b, c, z ④ x, y, a ? b ? c a, b, x ② 其中可以作为空间的基底的向量组有(

C)

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个

练习

??? ? ??? ? ??? ? 1、已知O,A,B,C为空间四个点,且向量 OA, OB, OC

不构成空间的一个基底,那么点O,A,B,C是否共面
? ?? ? ?? 2、已知向量 {a, b, c}是空间的一个基底,从 a, b, c

? ? ? ? ? ? ? 中选一个向量,一定可以与向量 p ? a ? b, q ? a ? b
构成空间的另一个基底?

例2、如图,M,N分别是四面体OABC的边OA, BC 的中点, P , Q 是 MN 的三等分点。用向量 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 表示 OP 和 OQ 。 OA, OB, OC O
??? ? ???? ? ???? 1 ??? ? 2 ???? ? 解 : OP ? OM ? MP ? OA ? MN 2 3 ? 2 ???? 1 ??? ? 1 ??? ? OA ? (ON ? OA) 2 3 2 ? 1 ??? ? 1 ??? ? 1 ??? ? OA ? OB ? OC 6 3 3

M A Q P C

??? ? ???? ? ???? ? ? 1 ??? OQ ? OM ? MQ ? OA ? 2 ? 1 ??? ? 1 ??? ? 1 ??? ? OA ? (ON ? OA) ? 2 3 2 ? 1 ??? ? 1 ??? ? 1 ??? ? OA ? OB ? OC 3 6 6

N ???? ? 1 MN B 3 ? 1 ??? ? ??? ? 1 ??? OA ? (OB ? OC ) 3 6

例3

变式 空间四边形OABC中,M在OA上,OM=3MA, ??? ? ? ??? ? ? ??? ? ? N在BC上,且BN=2NC,设 OA ? a, OB ? b, OC ? ,c 用向量

???? ???? ? ? ? ? a, b, c 表示 AN , MN .

A

M O

B

N
C

3.1.5空间向量运算的 坐标表示

复习: 一、空间向量基本定理:
? ? ? 如果三个向量 a 、 b 、c 不共面,那么对于空间任一向 ? ? 量 p , 存 在 唯 一 的 有 序 实 数 组 ? x, y, z? 使 ? ? ? ? ? p ? xa ? yb ? zc .

? ? ? {a, b, c} 叫做空间的一个基底

??? a, b, c 都叫做基向量

是怎样的情形呢? 空间的一个基底的三个基向量 互相垂直。 正交基底

? ? ? c 两两垂直时 问:当不共面的向量a , b ,

? c

如果空间的一个基底的三个基向量 互相垂直,且长都为1,则这个基底 ?? ? 叫做单位正交基底,常用 {i, j, k}表示

p

? b

? a

一、空间直角坐标系 在空间选定一点 O 和一个单位正交 ? ? ? j , k ?,以点O为原点,分别 基底 ?i , ? ? ? 以 i , j , k 的正方向建立三条数轴:x 轴、y轴、z轴,这样就建立了一个空间 直角坐标系O—xyz.

二、空间向量的正交分解及其坐标表示
由空间向量基本定理,对于空 ? 间任一向量 p 存在唯一的有序 实数组(x,y, z)使
z

? 记作 p =(x,y,z)

? ? ? ? p ? xi ? yj ? zk

P k i x O j

P y P′

如图所示, PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面, M、 N 分别是 AB、 PC 的中点,并且 PA=AB=1.试建立 → 适当的空间直角坐标系, 求向量MN的 坐标.

例4

???? ? 1 1 答案: MN =(0, ,) 2 2

练习:在直三棱柱ABO-A’B’O’中,∠AOB=90。 |AO|=4,|BO|=2,|AA’|=4,D为A’B’的中点,如图 ???? 建立直角坐标系,则 (______ -2,,) -1 -4 DO的坐标是 ???? ? z

( -4, 2,) -4 A ' B的坐标是 _____
B’

O’ A’ O
A D

B

y

x

? ? 设a ? (a1, a2 , a3 ), b ? (b1, b2 , b3 )则 ? ? a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; ? ? a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ;

三、向量的坐标运算

? ?a ? (?a1 , ?a2 , ?a3 ),(? ? R) ; ? ? a ? b ? a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 ;
? ? ? ? a // b ? a ? ? b ? a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) ; ? ? ? ? a ? b ? a ? b ? 0 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0 ;

四、距离与夹角
1.距离公式 (1)向量的长度(模)公式 ?2 ? ? 2 2 2 | a | ? a ? a ? a1 ? a2 ? a3

?2 ? ? 2 2 2 | b | ? b ? b ? b1 ? b2 ? b3
注意:此公式的几何意义是表示长方体 的对角线的长度。

(2)空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中,已知 A( x1 , y1 , z1 ) 、
B( x2 , y2 , z2 ),则

???? AB ?

( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 )

???? ???? ???? 2 2 2 ( x ? x ) ? ( y ? y ) ? ( z ? z ) ?| AB |? AB?AB ? 2 1 2 1 2 1

d AB

???? 2 2 2 ?| AB |? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z2 ? z1 )

2.两个向量夹角公式
? ? ? ? a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 a ?b ; cos ? a , b ?? ? ? ? | a |?| b | a12 ? a2 2 ? a32 ? b12 ? b2 2 ? b32
注意:

? ? ? ? (1)当 cos ? a , b ?? 1 时, a 与 b 同向;

? ? ? a与 (2)当 cos ? a , b ?? ?1 时,
? ? 思考:当 0 ? cos ? a , b ?? 1

? b 反向; ? ? ? ? (3)当cos ? a , b ?? 0 时,a ? b 。

? ? 及 ?1 ? cos ? a , b ?? 0

时,夹角在什么范围内?

? ? 例1.已知 a ? (2, ?3,5), b ? ( ?3,1, ?4) ? ? ? ? ? ? ? ? 求a ? b, a ? b,| a |,8a, a ? b
解:

五、应用举例

? ? a ? b ? (2, ?3,5) ? (?3,1, ?4) ? (?1, ?2,1) ? ? a ? b ? (2, ?3,5) ? (?3,1, ?4) ? (5, ?4,9)
? | a |? 22 ? (?3) 2 ? 52 ? 38 ? 8a ? 8(2, ?3,5) ? (16, ?24, 40)

? ? a ? b ? (2, ?3,5) ? (?3,1, ?4) ? 2 ? (?3) ? (?3) ?1? 5? (?4) ? ?29

三、应用举例
例2 已知 A(3 , 3 ,1)、 B(1, 0 , 5) ,求:

(1)线段 AB 的中点坐标和长度; (2)到 A 、B 两点距离相等的点 P ( x , y , z ) 的 坐标 x , y , z 满足的条件。 3 答案:( 1)M (2, , ,3) 2

AB = 29

(2) 4 x ? 6 y ? 8z ? 7 ? 0

三、典型例题、拓展训练

坐标形式下平行与垂直条件的应用 请同学们独立思考,把过程写在练习本上,举手 B(- 1,1,2)、 C(- 例3 已知空间三点 A(- 2,0,2)、 → → 3,0,4).设 a=AB , b=AC . → (1)若 |c|= 3, c∥BC ,求 c; (2)若 ka+b 与 ka- 2b 互相垂直,求 k.
【解】 → → (1)∵BC=(-2,-1,2)且 c∥BC, → ∴设 c=λBC=(-2λ,-λ,2λ),λ∈R. ∴|c|= ?-2λ?2+?-λ?2+?2λ?2=3|λ|=3. 解得 λ=± 1. ∴c=(-2,-1,2)或 c=(2,1,-2).

29

三、典型例题、拓展训练
→ → (2)∵a=AB=(1,1,0),b=AC=(-1,0,2), ∴ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4). ∵(ka+b)⊥(ka-2b), ∴(ka+b)· (ka-2b)=0. 即(k-1,k,2)· (k+2,k,-4) 2 = 2 k +k-10=0. 总结:利用空间向量的坐标运算来解题,要熟练 5 解得 k=2 或 k=- . 掌握以下两个常用的充要条件,若 a = (x1 , y1 , 2

z1),b=(x2,y2,z2),则a∥b?x1=λx2,y1=λy2,
z1=λz2(λ∈R);a⊥b?x1x2+y1y2+z1z2=0.

30

例3

B1 E1 ? 如图, 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,

A1 B1 ? D1 F1 ? ,求 BE1 4

与 DF1 所成的角的余弦值.

z
D1 A1 F1 E1 B1 C1

O
A B

D

C

y

15 答案: 17

x

例 4 如图, 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E ,F 分别是 BB1 ,D1 B1 中点,求证: EF ? DA1

例5. 在正方体 ABCD ? A 中E, F分别是BB1 , CD的中点, 1B 1C1D 1

求证D1F ? 平面ADE

练习1: 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面, M , N 分 别是 AB, PC 的中点,并且 PA ? AD ,求证: MN ? 平面PDC

z
P
D
A
y

N

C

x

M

B

练习 2 ABCD , 顶点 A(1,0,0), B(0,1,0) , C (0,0,2) , ⑴ 已知 (1,-1,2) 则顶点 D 的坐标为______________; ? ⑵ Rt △ ABC 中, ?BAC ? 90 , A(2,1,1), B(1,1, 2) , 2 C ( x,0,1) ,则 x ? ____;

练习 3: ⑴已知 A( 0, 2, 3)、B(? 2,1,6), C(1, ?1,5) , 7 3 则 △ ABC 的面积 S=_____.

? ? ? ? 2 ⑵ a ? ( x, 2,1) , b ? (?3, x , ?5) 且 a 与 b 的夹角为 钝角,则 x 的取值范围为 ( ? 1, 5 ) . 2

2


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