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1.2.1《等差数列的性质》课件(北师大版必修5)_图文


?第二课时

等差数列的性质

温故夯基
an+1-an=d(常数) 1.数列{an}为等差数列?_________________

(n∈N+) ________
an=a1+(n-1)d, .等差数列的通项公式_________________

(n∈N+) . ________

或an=am+(n-m)d(m,n∈N+).

2.等差中项 (1)如果在 a 与 b 中插入一个数 A,使 a,A,b 等差数列 ,那么 A 叫作 a 与 b 的等差中项, 成_________ a+b A= 2 . 或2A=a+b 且_______ (2)在一个等差数列中,从第 2 项起,每一项(有 前一项 与 穷等差数列的末项除外 ) 都是它的 ________ an-1+an+1 后一项 的等差中项,即 an= _______ 或 2an 2 =an-1+an+1(n≥2,n∈N+).

1.等差数列增减性 ? 对于数列an=a1+(n-1)d ? (1)当d>0时,{an}为 递增数列 ; ? (2)当d<0时,{an}为 递减数列 ; ? (3)当d=0时,{an}为 常数列.
?

?若数列{an}的通项公式为an=3n+1,则 a1+a6=23,a2+a5=23,a3+a4=23. 你能看出有什么规律吗?

?

3.等差数列的其它常用性质

若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m, 性质1 a m+ a n n∈N+),则ak+al= 若{an}是等差数列,则2an=an-1+an+1 a n- 1 a n- 2 a1+an=a2+ =a3+ =… 若{an},{bn}分别是以d1,d2为公差的等差数 列, 性质2 pd1+qd2 则{pan+qbn}是以 为公差的等差 数列

1.下列说法中,正确的是( ) ? A.若{an}是等差数列,则{|an|}也是等差数列 ? B.若{|an|}是等差数列,则{an}也是等差数列 ? C.若存在自然数n使2an+1=an+an+2,则{an} 是等差数列 ? D.若{an}是等差数列,则对任意正整数n都有 2an+1=an+an+2 ? 答案: D
?

2.若{an}是等差数列,且a1+a4+a7=45,a2 +a5+a8=39,则a3+a6+a9=( ) ? A .9 B.20 ? C.9.5 D.33 ? 解析:方法一:∵a1+a4+a7=45 ? ∴3a4=45 ? 又∵a2+a5+a8=39 ? ∴3a5=39 ? ∴d=a5-a4=13-15=-2 ? a3+a6+a9=3a6=3(a5+d)=33,故选D.
?

方法二:∵{an}是等差数列, ? ∴ a1 + a4 + a7 , a2 + a5 + a8 , a3 + a6 + a9 也成等 差数列,首项为45,公差为39-45=-6, ? ∴a3+a6+a9=39-6=33. ? 答案: D ? 3 . 方程 x2 + 6x + 1 = 0 的两根的等差中项为 ________. ? 答案: -3 ? 4.在等差数列 {an}中,a4+a5=15,a7=12, 则a2=__________. ? 答案: 3
?

等差数列性质的应用 ? (1)在等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6 =45,求数列的通项公式; ? (2)设{an}为等差数列,若a3+a4+a5+a6+a7= 450, ? 求a2+a8.
?

[解题过程] (1)∵a1+a7=2a4=a2+a6, ? ∴a1+a4+a7=3a4=15. ? ∴a4=5,∴a2+a6=10,且a2a6=9. ? ∴a2,a6是方程x2-10x+9=0的两根
?
? ?a2=1, ∴? ? ?a6=9, ? ?a2=9, 或? ? ?a6=1.

若a2=1,a6=9, 则d=2,∴an=2n-3; ? 若a2=9,a6=1,则d=-2.∴an=13-2n. ? 故an=2n-3或an=13-2n.
?

(2)方法一:∵a3+a7=a4+a6=2a5=a2+a8, ? ∴a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450. ? ∴a5=90,∴a2+a8=2a5=180. ? 方法二 :因为 {an} 为等差数列,设首项为 a1 , 公差为d, ? ∴a3+a4+…+a7=a1+2d+a1+3d+…+a1+ 6d ? =5a1+20d, ? 即5a1+20d=450,∴a1+4d=90, ? ∴a2+a8=a1+d+a1+7d=2a1+8d=180.
?

1.在等差数列{an}中, ? (1)已知a2+a3+a23+a24=48,求a13; ? (2)已知a2+a3+a4+a5=34,a2·a5=52,求公 差d. ? 解析: (1) 根据已知条件 a2 + a3+ a23 + a24= 48,得 ? 4a13=48, ? ∴a13=12.
?

(2)由 a2+a3+a4+a5=34,得 2(a2+a5)=34, 即 a2+a5=17.
? a5=52, ?a2· 解? ? ?a2+a5=17, ? ?a2=4, 得? ? ?a5=13 ? ?a2=13, 或? ? ?a5=4.

a5-a2 13-4 a5-a2 4-13 ∴d= = =3 或 d= = =-3. 3 3 5-2 5-2

已知等差数列{an}的首项为a,公差为d,
数列{bn}中,bn=3an+4,试判断{bn}是否为 等差数列?

【解】 法一:根据题意知bn+1=3an+1+4,
∴bn+1-bn=3an+1+4-(3an+4)=3(an+1-

an)=3d(常数).
由等差数列的定义知,数列{bn}为等差数列. 法二:由题意可知,an=a1+(n-1)d(a1、d为 常数), 则bn=3an+4=3[a1+(n-1)d]+4 =3a1+3(n-1)d+4 =3dn+3a1-3d+4.

由于bn是关于n的一次函数(或常函数,d=0
时),故{bn}是等差数列. 法三:∵{an}为等差数列,∴2an+1=an+an+2. 又∵2bn+1=2(3an+1+4)=6an+1+8, bn+bn+2=(3an+4)+3(an+2+4)=3(an+an+
2)+8,

∴bn+bn+2=3×2an+1+8=6an+1+8=2bn+1, 故{bn}是等差数列.

(1)三个数成等差数列,和为6,积为-24, 求这三个数; ? (2) 四个数成递增等差数列,中间两数和为 2 , 首末两项的积为-8,求这四个数.
?

?

[规范作答]

?

(1)方法一:设等差数列的等差中项为 a,公 差为d,则这三个数分别为a-d,a,a+d, 依题意,3a=6且a(a-d)(a+d)=-24,
所以a=2,代入a(a-d)(a+d)=-24,

?
?

?
?

化简得d2=16,于是d=±4,
故这三个数为-2,2,6或6,2,-2.

?

方法二: 设首项为 a ,公差为 d ,这三个数 分别为a,a+d,a+2d, 依题意,3a+3d=6且a(a+d)(a+2d)=-24,

? ? ? ?

所以a=2-d,代入a(a+d)(a+2d)=-24,
得2(2-d)(2+d)=-24,4-d2=-12,

即d2=16,于是d=±4,这三个数为-2,2,6 或6,2,-2.

(2)四个数成递增等差数列,中间两数和为2,首
末两项的积为-8,求这四个数.
?

(2)方法一:设这四个数为a-3d,a-d,a+d, a+3d(公差为2d), ? 依题意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8, ? 即a=1,a2-9d2=-8, ? ∴d2=1,∴d=1或d=-1. ? 又四个数成递增等差数列, ? 所以d>0,∴d=1, ? 故所求的四个数为-2,0,2,4.

方法二:若设这四个数为 a,a+d,a+2d,a+3d(公差 为 d), 依题意,2a+3d=2,且 a(a+3d)=-8, 3 把 a=1-2d 代入 a(a+3d)=-8,
? 3 ?? 3 ? 得?1-2d??1+2d?=-8, ? ?? ?

即1- d2=-8, ? 化简得d2=4,所以d=2或-2. ? 又四个数成递增等差数列, ? 所以 d > 0 ,所以 d = 2 ,故所求的四个数为- 2,0,2,4.
?

3.已知四个数依次成等差数列,且四个数的 平方和为94,首尾两数之积比中间两数之积少 18,求此四数. ? 解析: 设所求四个数为a-3d,a-d,a+d, a+3d依题意可得,
?
2 2 2 2 ? ??a-3d? +?a-d? +?a+d? +?a+3d? =94 ? ? ??a-d??a+d?-?a-3d??a+3d?=18. 2 2 ? ?4a +20d =94, 化简可得? 2 ? ?8d =18

.



? 3 ?d=2, ∴ ? ?a=7, ? 2

? 3 ?d=2, 或 ? ?a=-7, 2 ?

3 ? ?d=-2, 或 ? ?a=-7, 2 ?



3 ? ?d=-2, ? 7 ?a= . ? 2 ∴所求四数为-1,2,5,8或-8,-5,-2,1或1,-2, -5,-8或8,5,2,-1.


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