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青海省青海师范大学附属第二中学高中数学人教版选修1-1导学案 3.1.3 导数的几何意义


3.1.3

导数的几何意义

学案编号:GEXX1-1T3-1-3

【学习要求】 1.了解导函数的概念; 理解导数的几何意义.2.会求导函数.3.根据导数的几何意义, 会求曲线上某点处的切线方程. 【学法指导】前面通过导数的定义已体会到其中蕴涵的逼近思想,本节再利用数形结合思想 进一步直观感受这种思想,并进一步体会另一种重要思想——以直代曲. 1. 导数的几何意义 (1)割线斜率与切线斜率 设函数 y=f(x)的图象如图所示,AB 是过点 A(x0,f(x0))与点 B(x0+Δx,f(x0+Δx))的一条割线, Δy fx0+Δx-fx0 此割线的斜率是 = . Δx Δx 当点 B 沿曲线趋近于点 A 时,割线 AB 绕点 A 转动,它的极限位置为直线 AD,这条直线 AD 叫做此曲线在点 A 处的 .于是,当 Δx→0 时,割线 AB 的斜率无限趋向于在点 A 的切线 AD 的斜率 k,即 k= = . (2)导数的几何意义 函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的 .也就 是 说 , 曲 线 y = f(x) 在 点 P(x0 , f(x0)) 处 的 切 线 的 斜 率 是 .相应地,切线方程 为 . 2.函数的导数: 当 x=x0 时, f′(x0)是一个确定的数, 则当 x 变化时, f′(x)是 x 的一个函数, 称 f′(x) 是 f(x)的导函数(简称导数).f′(x)也记作 y′,即 f′(x)=y′= . 探究点一 导数的几何意义 问题 1 如图,当点 Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4)沿着曲线 f(x)趋近于点 P(x0,f(x0))时,割线 PPn 的 变化趋势是什么?

问题 2

曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点?

例 1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 h(t)=-4.9t2+6.5t+10 的图象.根据图 象,请描述、比较曲线 h(t)在 t0,t1,t2 附近的变化情况.

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跟踪 1 (1)根据例 1 图象,描述函数 h(t)在 t3 和 t4 附近增(减)以及增(减)快慢的情况. (2)若函数 y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象 可能是 ( ) 探究点二 求切线的方程 问题 1 怎样求曲线 f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程? 问题 2 曲线 f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与曲线过某点(x0,y0)的切线有何不同?

例 2 已知曲线 y=x2,求: (1)曲线在点 P(1,1)处的切线方程;

(2)曲线过点 P(3,5)的切线方程.

跟踪 2 已知曲线 y=2x2-7,求:(1)曲线上哪一点的切线平行于直线 4x-y-2=0? (2)曲线过点 P(3,9)的切线方程.

【达标检测】 1.已知曲线 y=f(x)=2x2 上一点 A(2,8),则点 A 处的切线斜率为 A.4 B.16 C.8 D.2 ( ) ( )

2.若曲线 y=x2+ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x-y+1=0,则 A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1

C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1

3.已知曲线 y=2x2+4x 在点 P 处的切线斜率为 16,则 P 点坐标为________ 【课堂小结】 1.导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y=f(x)在点(x0, f(x0))处的切线的斜率, 即 k= lim
Δx→0

fx0+Δx-fx0 = Δx

f′(x0),物理意义是运动物体在某一时刻瞬时速度. 2.“函数 f(x)在点 x0 处的导数”是一个数值,不是变数,“导函数”是一个函数,二者有本质的区 别,但又有密切关系,f′(x0)是其导数 y=f′(x)在 x=x0 处的一个函数值. 3.利用导数求曲线的切线方程,要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上,则以该点 为切点的切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);若已知点不在切线上,则设出切点(x0,f(x0)),表 示出切线方程,然后求出切点.
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3.1.3
一、基础过关 1.下列说法正确的是

导数的几何意义

练习题

(

)

A.若 f′(x0)不存在,则曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处就没有切线 B.若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则 f′(x0)必存在 C.若 f′(x0)不存在,则曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在 D.若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线,则 f′(x0)有可能存在 2. 已知 y=f(x)的图象如图所示,则 f′(xA)与 f′(xB)的大小关系是 ( )

B.f′(xA)<f′(xB) π 3.在曲线 y=x 上切线倾斜角为 的点是 4
2

A.f′(xA)>f′(xB)

C.f′(xA)=f′(xB)

D.不能确定 ( )

A.(0,0) 1 1 C.( , ) 4 16

B.(2,4) 1 1 D.( , ) 2 4

4.设曲线 y=ax2 在点(1,a)处的切线与直线 2x-y-6=0 平行,则 a 等于 ( ) 1 1 A.1 B. C.- D.-1 2 2 f?1?-f?1-x? 5.设 f(x)为可导函数,且满足lim =-1,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的 x x→0 斜率是 A.1 B.-1 1 C. 2 D.-2 ( ) ( )

1 6.曲线 y=- 在点(1,-1)处的切线方程为 x A.y=x-2 C.y=x+2 二、能力提升 B.y=x D.y=-x-2

1 7. 已知函数 y=f(x)的图象在点 M(1, f(1))处的切线方程是 y= x+2, 则 f(1)+f′(1)=_______. 2 8.若曲线 y=2x2-4x+P 与直线 y=1 相切,则 P=________. π? 9.设 P 为曲线 C:y=x2+2x+3 上的点,且曲线 C 在点 P 处的切线倾斜角的范围为? ?0,4?, 则点 P 横坐标的取值范围为________. 10.求过点 P(-1,2)且与曲线 y=3x2-4x+2 在点 M(1,1)处的切线平行的直线. 11.已知抛物线 y=x2+4 与直线 y=x+10.求: (1)它们的交点;
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(2)抛物线在交点处的切线方程.

12.设函数 f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0),若曲线 y=f(x)的斜率最小的切线与直线 12x+y=6 平 行,求 a 的值.

三、探究与拓展 13.根据下面的文字描述,画出相应的路程 s 关于时间 t 的函数图象的大致形状: (1)小王骑车一路匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间; (2)小华早上从家出发后,为了赶时间开始加速; (3)小白早上从家出发后越走越累,速度就慢下来了.

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