新课标人教版高中数学必修1教案学案同步练习题

高中数学必修一

第一章 集合与函数概念................................................................................................................ 2 1.1 集合..................................................................................................................................... 2 1.1.1 集合的含义及其表示 .............................................................................................. 2 1.1.2 子集、全集、补集 .................................................................................................. 5 1.1.3 交集、并集 .............................................................................................................. 8 1.1.4 集合复习课 ............................................................................................................ 10 1.2 函数及其表示................................................................................................................... 12 1.2.1 函数的概念与图象（1） ...................................................................................... 12 1.2.2 函数的概念与图象（2） ...................................................................................... 15 1.2.3 函数的概念与图象（3） ...................................................................................... 18 1.2.4 函数的概念与图象（4） ...................................................................................... 20 1.2.5 函数的表示方法 .................................................................................................... 24 1.3 函数的基本性质............................................................................................................... 29 1.3.1 函数的单调性（一） ............................................................................................ 29 1.3.2 函数的单调性（二） ............................................................................................ 31 1.3.3 函数的奇偶性 ........................................................................................................ 33 1.3.4 映射的概念 ............................................................................................................ 35 第二章 基本初等函数.................................................................................................................... 38 2.1 指数函数........................................................................................................................... 38 2.1.1 分数指数幂(1) ...................................................................................................... 38 2.1.2 分数指数幂(2) ....................................................................................................... 41 2.1.3 指数函数(1) ........................................................................................................... 44 2.1.4 指数函数(2) ........................................................................................................... 47 2.1.5 指数函数(3)(习题课) ............................................................................................ 50 2.2 对数函数........................................................................................................................... 53 2.2.1 对数的概念 ............................................................................................................ 53 2.2.2 对数的运算性质 .................................................................................................... 55 2.2.3 对数函数（1） ...................................................................................................... 57 2.2.4 对数函数（2） ...................................................................................................... 59 2.2.5 对数函数(3) ........................................................................................................... 61 2.3 幂函数............................................................................................................................... 63 2.3.1 幂函数（一） ........................................................................................................ 63 2.3.2 幂函数（二） ........................................................................................................ 67 第三章 函数的应用....................................................................................................................... 71 3.1 函数与方程....................................................................................................................... 71 3.1.1 二次函数与一元二次方程（一） ........................................................................ 71 3.1.2 二次函数与一元二次方程（二） ........................................................................ 74 3.1.3 用二分法求方程的近似解 .................................................................................... 78 3.2 函数模型及其应用 ........................................................................................................... 81 3.2.1 函数的模型及应用（1） ...................................................................................... 81 3.2.2 函数模型及其应用（2） ...................................................................................... 85 3.2.3 函数的模型及应用（3） ...................................................................................... 89

1

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第一章 集合与函数概念
1.1 集合
1.1.1 集合的含义及其表示
[预习自测] 例 1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它. （1）小于 5 的自然数; （2）某班所有高个子的同学; （3）不等式 2 x ? 1 ? 7 的整数解; （4）所有大于 0 的负数; （5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点.

例 2.已知集合

M ? ?a, b, c?

中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形 (
2

一定是 A.直角三角形B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 例 3. 设 的值.

)

a ? N , b ? N , a ? b ? 2, A ?

?? x, y ? ? x ? a ? ? ? y ? a ?
2

? 5b ,

? 若 ?3,2? ? A ,求 a, b

例 4.已知

2 M ? ?2, a, b? N ? ?2a, 2, b ?

,

,且 M ? N ,求实数 a , b 的值.

[课内练习] 1．下列说法正确的是（ ） （A）所有著名的作家可以形成一个集合 （B）0 与 ?0? 的意义相同

? ? 1 A ? ?x x ? , n ? N ? ? n ? ? 是有限集 （C）集合
2

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（D）方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 的解集只有一个元素
2

2．下列四个集合中，是空集的是 A． {x | x ? 3 ? 3} C． {x | x ? 0}
2

（
2

）
2

B． {( x, y) | y ? ? x , x, y ? R} D． {x | x ? x ? 1 ? 0}
2

3．方程组

? y ?2 {x x ? y ?0

的解构成的集合是 B． {1,1}

（

） D． {1} .

A． {(1,1)}

C．（1，1） ，则 B＝

4．已知 A ? {?2,?1,0,1} ，

B ? {y | y ? x x ? A}
2

5．若 A ? {?2,2,3,4} ， B ? {x | x ? t , t ? A} ，用列举法表示 B= [归纳反思]

[巩固提高] 1．已知下列条件：①小于 60 的全体有理数；②某校高一年级的所有学生；③与 2 相差很小 的数；④方程 x =4 的所有解。其中不可以表示集合的有--------------------（ A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．下列关系中表述正确的是-----------------------------------------（ A． ）
2

）

0 ? ? x 2 ? 0?

B．

0 ??? 0,0??

C． 0 ??

D． 0 ? N ）

3．下列表述中正确的是----------------------------------------------（ A．

?0? ? ?

B．

?1, 2? ? ?2,1?
2

C．

??? ? ?

D． 0 ? N ）

4．已知集合 A= A．0

?a ? 3, 2a ? 1, a

? 1?

，若 ?3 是集合 A 的一个元素，则 a 的取值是（ D．2

B．-1

C．1

?x ? 3 ? 2 y ? 5x ? y ? 4 的解的集合是---------------------------------------（ 5．方程组 ?
A．

） D．

??1, ?1??

B．

?? ?1,1??

C．

?? x, y ? ?1, ?1??

??1,1?

3

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?2 x ? 4 ? 0 ? 1 ? x ? 2 x ? 1 的整数解集合为： 6．用列举法表示不等式组 ?
1 ? 2 5 ? ? 2 19 ? ? ? x x ? ax ? ? 0? ? x x ? x ? a ? 0? 2 2 ? ，则集合 ? ? 中所有元素的和为： 7．设 2 ?
8、用列举法表示下列集合： ⑴ ⑵

?? x, y ? x ? y ? 3, x ? N , y ? N?
? y x ? y ? 3, x ? N , y ? N ?

9．已知 A={1，2，x2－5x＋9}，B={3，x2＋ax＋a}，如果 A={1，2，3}，2 ∈B，求实数 a 的值.

10.设集合

A ? ?n n ? Z , n ? 3?
2

，集合

B ? ? y y ? x 2 ? 1, x ? A?

，

C?

?? x, y ? y ? x

? 1, x ? A

?

集合，试用列举法分别写出集合 A、B、C.

4

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1.1.2 子集、全集、补集
[预习自测] 例 1．判断以下关系是否正确： ⑴ ⑷

?a? ? ?a? ；
0 ??0?
；

⑵ ⑸

?1,2,3? ? ?3,2,1? ；
???0?
；

⑶ ⑹

? ? ?0? ? ? ?0?

；

；

例 2.设

A ? ? x ? 1 ? x ? 3, x ? Z ?

,写出 A 的所有子集.

例 3.已知集合 值(用 a 表示).

2 M ? ?a, a ? d , a ? 2d? N ? ?a, aq, aq ?

,

q ,其中 a ? 0 且 M ? N ,求 和 d 的

例 4.设全集

U ? ?2,3, a 2 ? 2a ? 3? A ? ? 2a ? 1 , 2? CU A ? ?5?
, ,

,求实数 a 的值.

例 5.已知

A ? ? x x ? 3? B ? ? x x ? a?
,

.

⑴若 B ? A ,求 a 的取值范围; ⑵若 A ? B ,求 a 的取值范围; ⑶若

CR A

CR B ,求 a 的取值范围.

5

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[课内练习] 下列关系中正确的个数为（

①0∈{0}，②Φ {0}，③{0，1} ? {（0，1）}，④{（a，b）}＝{（b，a）} A）1 （B）2 （C）3 （D）4 2．集合 ?2,4,6,8?的真子集的个数是（ （A）16 (B)15 (C)14 ） (D) 13

）

正方形?， B ? ?矩形?， C ? 平行四边形 , D ? 梯形 ,则下面包含关系中 3．集合 A ? ?
不正确的是（ （A） A ? B ） (B) B ? C (C)

?

?

?

?

C?D

(D) A ? C

4．已知 M={x| ?2≤x≤5}, N={x| a+1≤x≤2a?1}. （Ⅰ）若 M ? N，求实数 a 的取值范围； （Ⅱ）若 M ? N，求实数 a 的取值范围.

[归纳反思]

[巩固提高] 1． 四个关系式： ① ? ? {0} ； ②0 ? {0} ； ③ ? ? {0} ； ④ ? ? {0} .其中表述正确的是[ A．①，② B．①，③ C． ①，④ D． ②，④
U

]

2．若 U={x∣x 是三角形}，P={ x∣x 是直角三角形}，则 A．{x∣x 是直角三角形} C．{x∣x 是钝角三角形} 3．下列四个命题：①

C

P?

----------------------[

]

B．{x∣x 是锐角三角形} D．{x∣x 是锐角三角形或钝角三角形} ；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个子集；④空集 ]

? ? ?0?

是任何一个集合的子集．其中正确的有---------------------------------------------------[ Ａ．０个 Ｂ．１个 Ｃ．２个 Ｄ．３个 ４．满足关系 Ａ．５

?1,2? ? A
Ｂ．６

?1 ,

2 , 3? , 4 , 5

的集合Ａ的个数是--------------------------[ Ｄ．８

]

Ｃ．７

6

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５．若 x, y ? R ， Ａ．A ６．设 A=

A?

? x, y ? ? 1? ?? x, y ? y ? x? ， B ? ? x ? ，则 A, B 的关系是---[ ?
Ｂ．A

?

y

?

]

B

B

Ｃ． A ? B

Ｄ． A ? B

? x x ? 5, x ? N ? ,B={x∣1< x <6,x ? N } ,则 C A B ?
2

７．U={x∣ x ? 8x ? 15 ? 0, x ? R}，则 U 的所有子集是 ８．已知集合 A ? {x | a ? x ? 5} ， B ? {x | x ≥ 2} ，且满足 A ? B ，求实数 a 的取值范围.

９．已知集合 P={x∣ x ? x ? 6 ? 0, x ? R} ，S={x∣ ax ? 1 ? 0, x ? R} ，
2

若 S ? P，求实数 a 的取值集合.

? a, x ? R } １０．已知 M={x∣x ? 0, x ? R }，N={x∣x
（1）若 M ? N ，求 a 得取值范围； （2）若 M ? N ，求 a 得取值范围； （3）若

C

R

M

C

R

N

，求 a 得取值范围.

7

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1.1.3 交集、并集
[预习自测] 1．设 A={x|x＞—2}，B={x|x＜3}，求 A∩B 和 A∪B

2．已知全集 U={x|x 取不大于 30 的质数}，A、B 是 U 的两个子集，且 A∩CUB= {5，13，23}，CUA∩B={11，19，29}，CUA∩CUB={3，7}，求 A，B.

3．设集合 A={|a+1|，3，5}，集合 B={2a+1，a2+2a，a2+2a—1}当 A∩B={2，3}时， 求 A∪B

[课内练习] 1．设 A= ?? 1,3? ，B= ?2,4? ，求 A∩B 2．设 A= ?0,1? ，B={0}，求 A∪B 3．在平面内，设 A、B、O 为定点，P 为动点，则下列集合表示什么图形 （1）{P|PA=PB} （2） {P|PO=1}

4．设 A={（x,y）|y=—4x+b},B={（x,y）|y=5x—3 }，求 A∩B

5．设 A={x|x=2k+1，k∈Z}，B={x|x=2k—1，k∈Z}，C= {x|x=2k，k∈Z}， 求 A∩B，A∪C，A∪B

8

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[归纳反思]

[巩固提高] 设全集 U={a，b，c，d，e}，N={b，d，e}集合 M={a，c，d}，则 CU（M∪N） 等于 2．设 A={ x|x＜2}，B={x|x＞1}，求 A∩B 和 A∪B

? 3．已知集合 A= ?1,4? ， B= ?? ?, a ? ，若 A ≠ B，求实数 a 的取值范围

4．求满足{1,3}∪A={1，3，5}的集合 A

5．设 A={x|x2—x—2=0}，B= ?? 2,2?，求 A∩B

6、设 A={（x,y）| 4x+m y =6},B={（x,y）|y=nx—3 }且 A∩B={（1，2）}， 则 m= n= 7、已知 A={2，—1，x2—x+1}，B={2y，—4，x+4}，C={—1，7}且 A∩B=C，求 x，y 的 值

1 8、设集合 A={x|2x2+3px+2=0}，B={x|2x2+x+q=0}，其中 p，q，x∈R，且 A∩B={ 2 }时，
求 p 的值和 A∪B

9、某车间有 120 人，其中乘电车上班的 84 人， 乘汽车上班的 32 人， 两车都乘的 18 人，求： ⑴只乘电车的人数 ⑵不乘电车的人数 ⑶乘车的人数 ⑷只乘一种车的人数

10、设集合 A={x|x2+2（a+1）x+a2—1=0}，B={x|x2+4x=0} ⑴若 A∩B=A，求 a 的值 ⑵若 A∪B=A，求 a 的值
9

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1.1.4 集合复习课
? b ? ?a, ,1? 2 2003 ? b 2004 1．含有三个实数的集合可表示为 ? a ? ，也可表示为 a , a ? b,0 ，求 a

?

?

2．已知集合 A= ?x | x ? ?1或x ? 2? ，集合 B= ?x | 4 x ? p ? 0? ，当 A ? B 时，求实数 p 的 取值范围

3．已知全集 U={1，3， x ? 3x ? 2 x }，A={1，|2x—1|}，若 CUA={0}，则这样的实数 x
3 2

是否存在，若存在，求出 x 的值，若不存在，说明理由

[课内练习] 1．已知 A={x|x<3}，B={x|x<a} （1）若 B?A，求 a 的取值范围 （2）若 A?B，求 a 的取值范围 ? CRB，求 a 的取值范围 （3）若 CRA≠

2．若 P={y|y=x2，x∈R}，Q={y| y=x2+1，x∈R }，则 P∩Q = 3．若 P={y|y=x2，x∈R}，Q={（x，y）| y=x2，x∈R }，则 P∩Q = ? A?{a，b，c，d，e}的集合 A 的个数是 4．满足{a，b} ≠

[巩固提高] 1．已知集合 M={x|x3—2x2—x+2=0},则下列各数中不属于 M 的一个是 （ A．—1 B．1 C．2 D．—2 2．设集合 A= {x|—1≤x＜2}，B={ x|x<a }，若 A∩B≠φ ，则 a 的取值范围是（ A．a＜2 B．a＞—2 C．a＞—1 D．—1≤a≤2 3．集合 A、B 各有 12 个元素，A∩B 中有 4 个元素，则 A∪B 中元素个数为

） ）

1 k 1 x ? k ? ,k ? N x ? ? ,k ? N 4 2 4 4．数集 M={x| }，N={ x| }，则它们之间的关系是
10

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5．已知集合 M={（x,y）|x+y=2 }，N={（x,y）|x—y=4}，那么集合 M∩N= 6．设集合 A={x|x2—px+15=0}，B={x|x2—5x+q=0}，若 A∪B={2，3，5}，则 A= B= 7．已知全集 U=R，A={x|x≤3}，B={ x|0≤x≤5}，求（CUA）∩B

8．已知集合 A={x|x2—3x+2=0}，B={x|x2—mx+(m—1)=0}，且 B

A，求实数 m 的值

9．已知 A={x|x2+x—6=0}，B={x|mx+1=0}，且 A∪B=A，求实数 m 的取值范围

10．已知集合 A={x|—2＜x＜—1 或 x＞0}，集合 B={ x|a≤x≤b}，满足 A∩B={x|0＜x≤2}， A∪B={x|x＞—2}，求 a、b 的值

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1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念与图象（1）
[预习自测] 例 1．判断下列对应是否为函数：

2 x ? , x ? 0, x ? R; x （1）
2 （2） x ? y , 这里 y ? x, x ? N , y ? R.

f :x?y? x 补充：（1） A ? R, B ? {x ? R ︱ x ? 0 } ， ；
（2）

A ? B ? N, f : x ? y ? x ? 3

；

（3） A ? {x ? R ︱ x ? 0} ， B ? R, f : x ? y ? ? x ；

（4）

A ? {x 0

≤x≤

6}, B ? {x 0

≤x≤

3}, f : x ? y ?

x 2
]

例 2． 下列各图中表示函数的是------------------------------------------[

y

y

y

y

x
O A B O

x
O C

x
O D

x

例 3． 在下列各组函数中， f ( x) 与 g ( x) 表示同一函数的是------------------[
0 A． f ( x) =1， g ( x) = x

]

B．
2

y?x与y?

x2

C． y ? x 与 y ? ( x ? 1)
2

2 D． f ( x) =∣ x ∣， g ( x) = x

[课内练习] 1．下列图象中表示函数 y=f(x)关系的有--------------------------------(

)

12

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A.(1)(2)(4) B.(1)(2) C.(2)(3)(4) D.(1)(4) 2．下列四组函数中，表示同一函数的是----------------------------------( A． y ?

)

4 x2 ? 12 x ? 9 和 y ? 3 ? 2x
y? x
2

B． y ? x 和
2

y?x x

C． y ? x 和 3．下列四个命题

D． y ? x 和

y?

? x?

2

（1）f(x)= x ? 2 ? 1 ? x 有意义; （2） f ( x) 表示的是含有 x 的代数式 （3）函数 y=2x(x ? N )的图象是一直线；
2 ? ?x , x ? 0 ? 2 ?? x , x ? 0 （4）函数 y= ? 的图象是抛物线，其中正确的命题个数是 （

）

A．1

B．2
2

C．3

D．0

４．已知 f(x)=

? x ? 1( x ? 1) ? ? 2 ? ?1 ? x ( x ? 1)

3 ，则 f( 3 )=

；

5．已知 f 满足 f(ab)=f(a)+ f(b)，且 f(2)= [归纳反思]

p ， f (3) ? q 那么 f (72) =

[巩固提高] 1．下列各图中，可表示函数 y ? f ( x) 的图象的只可能是--------------------[ ]

y

y

y

y

x

x

x

x

A B C D 2．下列各项中表示同一函数的是-----------------------------------------[
0 A． y ? ( x ? 1) 与 y ? 1

]

B．

1 2 x3 x y = 2 ， y = 2x

C． y ? x ? 1, x ? R 与 y ? x ? 1, x ? N

D． f ( x) ? 2 x ? 1 与 g (t ) ? 2t ? 1 ]

2 3．若 f ( x) ? x ? a ( a 为常数)， f ( 2 ) =3，则 a =------------------------[

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A． ? 1

B．1

C．2

D． ? 2

x ?1 , x ? ?1 f ( x ) ? x ?1 4．设 ，则 f (? x) 等于--------------------------------[

]

1 A． f ( x )

B． ? f ( x )

?
C． ，

1 f ( x)
f ( x ? 1) =

D． f ( x )

2 5．已知 f ( x) = x ? 1 ，则 f ( 2) =

6．已知 f ( x) = x ? 1 ， x ? Z 且 x ? [?1,4] ，则 f ( x) 的定义域是 值域是
2 ? ? x ? 1? x ? 1? 3 ? 2 f( )? 1 ? x x ? 1 ? ? ? 3 7．已知 f ( x) = ? ，则

，

3 8．设 f ( x) ? x ? 1 ，求 f { f [ f (0)]}的值

f ( x) ?
9．已知函数

1 9 x ? 3, f ( x) ? ( , 4) 2 8 求使 的 x 的取值范围

2 10．若 f ( x) ? 2x ? 1 ， g ( x) ? x ? 1 ，求 f [ g ( x)] ， g[ f ( x)]

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1.2.2 函数的概念与图象（2）
例 1．求下列函数的定义域：

（1）f ( x) ? 1 ? x ? x

1 f ( x) ? 1 1 2 1? x? x f ( x ) f ( x ) x （4） （2） = （3） = 5? x ? 2 ? x

分析：如果 f ( x) 是整式，那么函数的定义域是实数集 R ；如果 f ( x) 是分式，那么函数的 定义域是使分母 ? 0 的实数的集合；如果 f ( x) 是二次根式，那么函数的定义域是使根号内 的表达式≥0 的实数的集合。★注意定义域的表示可以是集合或区间。

例 2． 周长为 l 的铁丝弯成下部为矩形， 上部为半圆形的框架 （如图） ， 若矩形底边长为 2 x ， 求此框架围成的面积

y 与 x 的函数关系式，并指出其定义域

例 3．若函数

y ? f ( x) 的定义域为[ ? 1,1]

（1）求函数 f ( x ? 1) 的定义域；

1 1 f (x ? ) ? f (x ? ) y? 4 4 的定义域。 （2）求函数

[课内练习]

f ? x? ?
１．函数 Ａ．

1 x? x
Ｂ．

的定义域是―――――――――――――――――（ Ｃ． [0, ??) Ｄ．Ｒ

）

? ??,0?

? 0, ?? ?

1 ２．函数 f(x)的定义域是[ 2 ,1]，则 y=f(3-x)的定义域是―――――――――（ 5 B ［2， 2 ］ 5 C ［0， 2 ］
15

）

A ［0,1］

D

? ??,3?

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３．函数

f ? x?

?1 ? x ? =

0

? 1? x

的定义域是：

４．函数 f ( x) ? lg( x ? 5) 的定义域是

5．函数

f ?x ? ?

4? x ? log3 ?x ? 1? x ?1 的定义域是

[归纳反思]

[巩固提高] 1．函数

y = 1 ? x 2 + x 2 ? 1 的定义域是----------------------------[
B．（ ? ?,?1] ? [1,??) C．[0，1]

]

A．[ ? 1 ， 1 ]

D．{ ? 1,1 } ]

2．已知 f ( x) 的定义域为[ ? 2,2 ]，则 f (1 ? 2 x) 的定义域为------------[

A．[ ? 2,2 ]

1 3 , ] B．[ 2 2 ?
0

C．[ ? 1,3]

3 ] ? 2 , 2 D．[

? x ? 1? y?
3．函数 A．

x ?x

的定义域是------------------------------------[

]

? x x ? 0?

B．

? x x ? 0?

C．

? x x ? 0, x ? ?1?

D．

? x x ? 0, x ? ?1?

x ?1 4．函数 y = x 的定义域是

x ?1 5．函数 f ( x) = 的定义域是 （
y?
6．函数

） ；值域是 （

） 。

1 1? x

的定义域是： （

） 。

7．求下列函数的定义域 (1) y = 2 x ? 3 ； 8．若函数

1 （2） y = (1 ? 2 x)( x ? 1) ；

y?
（3） 的定义域.

1? x x?5

f ? x?

的定义域为

x ???3,1?

，则

F ? x ? ? f ? x ? ? f ? ?x ?

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9．用长为 30cm 的铁丝围成矩形，试将矩形面积 S（ cm ）表示为矩形一边长 x(cm) 的函
2

数，并画出函数的图象.

2 10．已知函数 f ( x) = ax ? bx ? c ，若 f (0) ? 0, f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1 ，求 f ( x) 的表达

式.

17

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1.2.3 函数的概念与图象（3）
[预习自测] 例 1． 求下列函数的值域： （1） y ? 2 x ? 1, x ?{1, 2,3, 4,5} ； （2）（2） y ?

x ?1;

x （3）（3） y ? x ? 1 ；

1? x2 2 （4） y ? 1 ? x ；
（5）（5） （6）

y ? ? x 2 ? 2x ? 3

变题：

y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 ( ?5 ≤ x ≤ ? 2 ）；

y ? x ? 2x ? 1

（7）若函数 y ? x ? 3x ? 4 的定义域为 [0, m] ，值域为
2

[?

25 , ?4] 4 ，求 m 的取值范围

[课堂练习]

y?
1．函数 A．

2 ? x ? 0? 1? x 的值域为（
B．

） C．

?0, 2?

? 0, 2?

? 0, 2?
( )

D．

?0, 2?

2．函数 y=2x2-4x-3，0≤x≤3 的值域为 A (-3,3) B (-5,-3) C (-5,3) D (-5,+∞)

2 y ? ? , x ? ? ?4, ?1? x 3．函数 的最大值是 1 2

(

)

A． 2 4．函数 y ? x
2

B．

C． ? 1

D． ? 4

? x ? ?2? 的值域为

5．求函数 y=x+ 1 ? 2 x 的定义域和值域

18

高中数学必修一

[归纳反思]

[巩固提高]

1 ( x ? 1) 1.函数 y = x 的值域是---------------------------------------[
A．（ ? ?,0) ? (0,??) B．R C．（0，1）

]

D．(1, ? ?) 走 ]

2.下列函数中，值域是(0, ? ? )的是--------------------------------[

A．

y

=

x ? 3x ? 1 B． y =2 x ? 1 （ x ? 0)
2

2 C． y ? x ? x ? 1 D．

y?

1 x2

3.已知函数 A.

f ? x?

的值域是 B.

??2, 2? ,则函数 y ? f ? x ?1? 的值域是--------[
C.

]

??1,3?

??3,1?

??2, 2?

D.

??1,1?
.

x 2 ? x , x ? ? 1,?2,?3 f ( x ) 4. = { }，则 f ( x) 的值域是:
5.函数 y ? x ? 2 1 ? x ? 2 的值域为: .

y?
6.函数

1 x ? 2 x ? 2 的值域为:
2

.

7.求下列函数的值域 （1） y ?

x ?1
x2 ?1 x2 ? 1

（2） y ? ?2 x ? x ? 1
2

（3） y ? x (?2 ? x ? 3)
2

y?
（4）

（5） y ? 2x ? x ?1

1 ? 2x （6） y = 1 ? 3 x

8.当 x ? [1,3] 时，求函数 f ( x) ? 2 x ? 6 x ? c 的值域
2

19

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1.2.4 函数的概念与图象（4）
[预习自测] 例 1．画出下列函数的图象，并求值域： (1) y = 3x ? 1 ， x ?[1，2]； (3) y = (2) y = ( ? 1 ) , x ?{0,1,2,3}；
x

x

； 变题：

y ? x ?1

；

(4) y = x

2

?2x ?2

例 2．直线 y=3 与函数 y=|x2-6x |图象的交点个数为 （ （A）4 个 （B）3 个 （C）2 个

） （D）1 个

例 3.下图中的 A. B. C. D 四个图象中，用哪三个分别描述下列三件事最合适，并请你为剩下 的一个图象写出一件事。 离开家的距离(m) 离开家的距离(m)

时间（min） A 离开家的距离(m) B 离开家的距离(m)

时间（min）

时间（min）

时间（min）

C D 我离开家不久， 发现自己把作业本忘在家里了， 停下来想了一会还是返回家取了作业本再上 学； 我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； 我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间加快了速度。

20

高中数学必修一

[课堂练习] 1．下列四个图像中，是函数图像的是

（

）

y

y

y

y

O
（1） A、（1） （4） 2．直线 x ? a

x

O
（2）

x
O
（3）

x

O

x

B、（1）、（3）、（4）

（4） C、（1）、（2）、（3）

D、（3）、

? a ? R? 和函数 y ? x2 ?1 的图象的交点个数

(

)

A 至多一个 B 至少有一个 C 有且仅有一个 3．函数 y=|x+1|+1 的图象是

D 有一个或两个以上 ( )

4．某企业近几年的年产值如图，则年增长率最高的是（ ）（年增长率=年增长值/年产 值） A）97 年B）98 年 （万元） 1000 C）99 年 D）00 年
800 600 400 200
2 5．作出函数 y ? x ? 2x ? 3( x ? ?1 或 x ? 2 ）的图

96

97

98

99

00(年）

象；

[归纳反思]

21

高中数学必修一

[巩固提高] 1．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走作余下的路，在 下图中纵轴表示离学校距离，横轴表示出发后的时间，则下图中较符合学生走法的是 （ ） d d d d

O t O t O t O t A B C D 2．某工厂八年来产品 C（即前 t 年年产量之和）与时间 t(年)的函数如下图，下列四种说法： （1）前三年中，产量增长的速度越来越快； （2）前三年中，产量增长的速度越来越慢； （3）第三年后，年产量保持不变； （4）第三年后，年产量逐步增长． 其中说法正确的是 （ ） A．（2）与（3） B．（2）与（4） C．（1）与（3） D．（1）与（4） 3.下列各图象中，哪一个不可能是函数 y ? f ( x) 的图象 （ ）

y

x
0 A．

x
B．

0

y

y

0

x x
0 D． ]

C．

4.函数 y ? kx ? b(kb ? 0) 的图象不通过第一象限，则 k , b 满足-----------[ A． k ? 0, b ? 0 B． k ? 0, b ? 0 C． k ? 0, b ? 0 D． k ? 0, b ? 0

2 5.函数 y ? ax ? bx ? c 与 y ? ax ? b （ ab ? 0) 的图象只可能是---------[ y y y y

]

22

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0 A． 6.函数 y

x

0 B．

x C．

0

x

0 D． ] y

x

y ? x ?1

的图象是----------------------------------------[ y y

0 A．

x

0 B．

x

0 C．

x

0 D．

x

7.函数 y ? 3x ? 1(1 ≤ x ≤2）的图象是 8.一次函数的图象经过点（2,0）和（-2，1），则此函数的解析式为

9.若二次函数 y ? ? x ? 2mx ? m ? 3 的图象的对称轴为 x ? ?2 ，则 m ?
2 2

2 x ?1 10.在同一个坐标系中作出函数 f ( x) = ( x ? 1) 与 g ( x) = 的图象

（1）问：

y ? g ( x) 的图象关于什么直线对称？

（2）已知 x1 ? x2 ? 1，比较大小： g ( x1 )

g ( x2 )

23

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1.2.5 函数的表示方法

[例题分析] 例 1． 购买某种饮料 x 听，所需钱数为 y 元．若每听 2 元，试分别用解析法、列表法、图 象法将 y 表示 x(

x ??1,2,3,4?

)成的函数，并指出该函数的值域．

例 2．（1）已知 f(x)是一次函数，且 f(f(x))=4x-1，求 f(x)的表达式； （2）已知 f(2x-3)= x +x+1，求 f(x)的表达式；
2

例 3．画出函数

f ( x) ? x

的图象，并求 f (?3) ， f (3) ， f (?1), f (1) ， f ( f (?2))

变题① 作出函数

f ( x) ? x ? 1

f ( x)? x ? 2

的图象

变题② 作出函数 f(x)=︱x+1︱+︱x-2︱的图象

变题③ 求函数 f(x)=︱x+1︱+︱x-2︱的值域

变题④ 作出函数 f(x)=︱x+1︱+︱x-2︱的图象，是否存在

x0 使得 f( x0 )= 2 2 ?

24

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? x ? 5, x ? ?1, ? f ( x) ? ? x 2 , ? 1 ? x ? 1, ?2 x, x ? 1. ? 例 4．已知函数
(1)求 f(-3)、f[f(－3)] ；

1 （2）若 f(a)= 2 ,求 a 的值．

[课堂练习] 1．用长为 30cm 的铁丝围成矩形，试将矩形面积 S（ cm ）表示为矩形一边长 x（cm）的 函数，并画出函数的图象．
2

2.若 f(f(x))=2x－1，其中 f(x)为一次函数，求 f(x)的解析式．

3.已知 f(x-3)＝ x ? 2 x ? 1 ，求 f(x+3) 的表达式．
2

4．如图，根据 y=f(x) ( x ? R )的图象，写出 y=f(x)的解析式．

[归纳反思]

[巩固提高] 1．函数 f(x)=︱x+3︱的图象是------------------------------------------------------------(
25

)

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2．已知

f ? 2x ? ? 2x ? 3

,则

f ? x?

等于--------------------------------------------------(

)

x?
A.

3 2

B. x ? 3

x ?3 C. 2

D. 2 x ? 3 ）

3．已知一次函数的图象过点 A． y ? ? x ? 1

?1,0? 以及 ? 0,1? ，则此一次函数的解析式为------（
C． y ? x ? 1 D． y ? ? x ? 1

B． y ? x ? 1

4．已知函数 A．1 5．若函数

? x ? 2 ? x ? ?1? ? y ? f ? x ? ? ? x 2 ? ?1 ? x ? 2 ? ?2 x( x ? 2) ?
B． 1.5

，且

f ?a? ? 3

，则实数 a 的值为---（

）

C． ? 3 则

D． 3

f ? x ? ? x2 ? mx ? n, f (n) ? m, f (1) ? ?1,

f ? ?5? ?

6．某航空公司规定，乘机所携带行李的重量（ kg ）与其运费（元） 由如图 的一次函数图象确定，那么乘客免费可携带行李的最大重量为

?x f(x)= ? 2 ?x 7．画出函数

x ? 0, x ? 0,
的图象，

并求 f( 3 ? 2 )+f( 3 ? 2 的值． 8．画出下列函数的图象

(1) y=x－︱1－x︱

(2)

? x 2 ? 1, x ? 0 y?? ??2 x, x ? 0

9．求函数 y=1－︱1－x︱的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积．
26

高中数学必修一

10．如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 的边上有一点 P，它沿着折线 BCDA 由点 B（起点）向 A（终点）运动．设点 P 运动的路程为 x， △APB 的面积为 y. (1)求 y 关于 x 的函数表示式，并指出定义域； （2）画出 y=f(x)的图象．

27

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28

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1.3 函数的基本性质
1.3.1 函数的单调性（一）
[预习自测] 1．画出下列函数图象，并写出单调区间： ⑴ y ? ?x ? 2
2

y?
⑵

1 x

( x ? 0)

2．证明 f ( x) ? ? x 在定义域上是减函数

3．讨论函数 y ? x 的单调性
3

[课内练习] 1．判断 f ( x) ? x ? 1 在（0，+∞）上是增函数还是减函数
2

2．判断 f ( x) ? ? x ? 2 x 在（ —∞，0）上是增函数还是减函数
2

3．下列函数中，在（0，2）上为增函数的是（

） （D）y= (2 x ? 1)
2

1 （A）y= x

（B） y=2x-1

（C） y=1-x

1 4． 函数 y= x -1 的单调 递

区间为

1 5．证明函数 f（x）=- x +x 在（ 2 ，+ ? ）上为减函数
2

29

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[归纳反思]

[巩固提高] 1．已知 f（x）=（2k+1x+1 在（- ? ，+ ? ）上是减函数，则（

）

1 （A）k＞ 2

1 （B）k＜ 2

1 （C）k＞- 2
）

1 （D k＜- 2

2．在区间（0，+∞）上不是增函数的是 （
2

（A）y=2x+1

2 （B）y=3 x +1 （C）y= x
2

（D） y=3 x +x +1

2

3．若函数 f（x）= x +2（a-1）x+2 在区间（- ? ，4）上为增函数，则实数 a 的 取值范围是 （ ） ） （A） a ? -3 （B）a ? -3 （C）a ? 3 （D）a ? 3 4．如果函数 f（x）是实数集 R 上的增函数，a 是实数，则 （ （A）f（ a ）＞f（a+1） （B）f（a）＜ f（3a） （C）f（ a +a）＞f（ a ） （D）f（ a -1）＜f（ a ）
2 2 2 2 2

1 5．函数 y= x ? 1 的单调减区间为
6．函数 y=

x ?1 2 ? x
+

的增区间为

减区间为

f ( x) ?
7．证明：

1 x 2 在（0，+∞）上是减函数

f ( x) ? x ?
8．证明函数

1 x 在（0，1）上是减函数

9 ．定义域为 R 的函数 f （ x ）在区间（ — ∞， 5 ）上单调递减，对注意实数 t 都有
30

高中数学必修一

f (5 ? t ) ? f (5 ? t ) ，那么 f（—1），f（9），f（13）的大小关系是
10．若 f（x）是定义在 ?? 1,1? 上的减函数，f（x-1）＜f（ x -1），求 x 的取值范围
2

1.3.2 函数的单调性（二）
[预习自测] 1．求下列函数的最小值

y?
（1）

1 x ， x ? ?1,3?

1,3? （2） y ? ax ? 1, (a ? 0) ， x ? ?

2．已知函数 f ( x) ? x ? mx ? 1 ，且 f(-1)= -3，求函数 f(x)在区间[2，3]内的最值。
2

3．已知函数 y=f(x)的定义域是[a，b]，a＜c＜b，当 x∈[a，c]时，f(x)是单调增函数；当 x ∈[c，b]时，f(x)是单调减函数，试证明 f(x)在 x=c 时取得最大值。

[课内练习] 1．函数 f(x)=-2x+1 在[-1，2]上的最大值和最小值分别是 （ （A）3，0 （B）3，-3 （C）2，-3 （D）2，-2

）

y?
2．

1 x 在区间 ?? 2,?1? 上有最大值吗？有最小值吗？
2

3．求函数 y ? x ? 2 x ? 3, x ? ?? 2,0?的最小值 4．已知 f(x)在区间[a,c]上单调递减，在区间[c,d]上单调递增，则 f(x)在[a,d] 上 最小值为 5 ．填表已知函数 f(x), 的定义域是 F，函数 g(x) 的定义域是 G ，且对于任意的 x ? G ，

g ( x) ? F ，试根据下表中所给的条件，用“增函数”、“减函数”、“不能确定”填空。
f(x) 增 g(x) 增 f(x)+g(x) f(x)-g(x)

31

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增 减 减 [归纳反思]

减 增 减

[巩固提高] 1．函数 y=-x +x 在[-3,0]的最大值和最小值分别是 （
2

）

（A）0，-6

1 （B） 4 ，0
2

1 （C） 4 ，-6

（D）0，-12

2．已知二次函数 f(x)=2 x -mx+3 在 ?? ?,?2?上是减函数，在 ?? 2,??? 上是增函数， 则实数 m 的取值是 （ ） （A） -2 （B） -8
2

（C） 2

（D） 8 ）

3．已知函数 f(x)=a x -6ax+1 (a＞0)，则下列关系中正确的是 （

（A） f( 2 ) ＜f( 3 ) （B） f( 5 )＜ f(3) （C）f(-1)＜ f(1) （D）f(2) ＞ f(3) 4． 若 f(x)是 R 上的增函数，对于实数 a,b,若 a+b＞0,则有 （ （A） f(a)+ f(b) ＞f(-a)+ f(-b) （B）f(a)+ f(b) ＜f(-a)+ f(-b) （C） f(a)- f(b) ＞f(-a)- f(-b) （D）f(a)- f(b) ＜f(-a)-f(-b) ）

2 5．函数 y=- x +1 在[1，3]上的最大值为
6．函数 y=- x +2x-1 在区间[0，3]的最小值为 7．求函数 y=-2 x +3x-1 在[-2，1]上的最值 8．求 f ( x) ? x ? 2ax ? 1, x ? ?0,2?上的最小值
2
2 2

最小值为

9．已知函数 f(x)是 R 上的增函数，且 f(x +x) ＞ f(a-x)对一切 x∈R 都成立， 求实数 a 的取值范围 10．已知二次函数 f ( x) ? x ? bx ? c (b、c 为常数)满足条件：f(0)=10，且对任意实数 x，
2

2

都有 f(3+x)=f(3-x)。 （1）求 f(x)的解析式； （2）若当 f(x)的定义域为[m，8]时，函数 y=f(x)的值域恰为[2m，n]，求 m、n 的值。

32

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1.3.3 函数的奇偶性
[预习自测] 例 1．判断下列函数是否具有奇偶性 (1)

f ( x) ? 2 x

(2) f ( x) ? ( x ? 1)
2

2

（3） f ( x) ? 0 （5） f ( x) ?

(4) f ( x) ? x ? 1, x ? ?0,1?

x ?1 ? 1 ? x
f ( x) ? x ? 1 x

(6) f ( x) ? x ? 2 x ? 3x
5 3

例 2．已知函数 ⑴判断奇偶性 ⑵判断单调性 ⑶求函数的值域

例 3．若 f(x)为奇函数，且当 x>0 时，f(x)=x|x-2| ,求 x<0 时 f(x)的表达式

[课内练习] 1．奇函数 y=f(x),x∈R 的图象必经过点 （

）

A．（a,f（-a）） B．（-a,f（a）） C．（-a, -f（a）） 2．对于定义在 R 上的奇函数 f(x)有 A．f(x)+f(-x)＜0 B．f(x) -f(-x)＜0
5 3

1 D．（a, f（ a ））
D．f(x) f(-x)＞0

（ ） C．f(x) f(-x)≤0

3．已知 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 8 且 f(-2)=0，那么 f(2)等于 4．奇函数 f(x)在 1≤x≤4 时解吸式为 f ( x) ? x ? 4 x ? 5 ，则当-4≤x≤-1 时，f(x)
2

最大值为 5．f(x)= x ? m x ? nx 为奇函数，y= x ? nx ? 3 在（-∞，3）上为减函数，
3 2 2

在（3，+∞）上为增函数，则 m= n= [归纳反思] 1．按奇偶性分类，函数可分为四类：（1）奇函数 （2）偶函数 （3）既是奇函数又是偶函数 （4）既非奇函数又非偶函数 2．在判断函数的奇偶性的基本步骤：（1）判断定义域是否关于原点对称

33

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（2）验证 f(-x)=f(x)或 f(-x)=-f(x) 3．可以结合函数的图象来判断函数的奇偶性 [巩固提高] 1．已知函数 f(x)在[-5，5]上是奇函数，且 f(3) ＜f(1),则 （ ） （A）f(-1) ＜f(-3) （B）f(0) ＞f(1) （C）f(-1) ＜f(1) （D）f(-3) ＞f(-5) 2．下列函数中既非奇函数又非偶函数的是 （ ）

1 （A）y= x

1 （B）y= x ? 1
2

（C）y=0 , x ∈[-1，2]

x （D）y= x ? 1
2

x ?1 ? a
3．设函数 f(x)=

1 ? x 2 是奇函数，则实数 a 的值为 （

）

（A） -1 （B） 0 （C） 2 （D） 1 4．如果奇函数 f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为 5，那么 f(x)在 区间[-7，-3]上是 （ ） （A）增函数且最小值为-5 （B）增函数且最大值为-5 （C）减函数且最大值为-5 （D）减函数且最小值为-5 5．如果二次函数 y=ax +bx+c (a≠0)是偶函数，则 b= 6．若函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，则 f(0)=
2

1 7．已知函数 f(x)在(0, +∞)上单调递增，且为偶函数，则 f(- ? )，f(- 3 ),
f(3)之间的大小关系是

?
8．f(x)为 R 上的偶函数，在（0，+∞）上为减函数，则 p= f( 的大小关系为

3 4 )与 q= f( a 2 ? a ? 1 )

9．已知函数 f(x)=x +mx+n (m,n 是常数)是偶函数，求 f(x)的最小值

2

10．已知函数 f(x) 为 R 上的偶函数，在[0，+∞）上为减函数，f(a)=0 (a>0) 求 xf(x)<0 的解集

34

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1.3.4 映射的概念
[预习自测] 例题 1.下列图中，哪些是 A 到 B 的映射？ 1 2 3 （A） 1 2 （C） a b c 1 2 3 （D） a b 1 2 3 （B） a b a b

例 2.根据对应法则，写出图中给定元素的对应元素 ⑴f:x→ 2x+1 A 1 2 3 B ⑵f:x→ x2-1 A 1 2 3 B

例 3.（1）已知 f 是集合 A={a,b}到集合 B={c,d}的映射，求这样的 f 的个数 （2）设 M={-1,0,1},N={2,3,4}，映射 f：M→N 对任意 x∈M 都有 x+f(x)是奇数，这样的映 射的个数为多少？

[课内练习] 1.下面给出四个对应中，能构成映射的有 a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3

（ a1 a2 a3 a4

） b1 b2 b3 b4 a1 a2 b1 b2 b3 b4

35

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⑴ (A) 1 个

⑵ (B) 2 个

(C) 3 个

⑶ (D) 4 个

⑷

2.判断下列对应是不是集合 A 到集合 B 的映射？ A={x|-1≤x≤1},B={y|0≤y≤1},对应法则是“平方” A=N,B=N+,对应法则是“ f:x→|x-3|” A=B=R,对应法则是“f:x→3x+1” A={x|x 是平面α 内的圆}B={x|x 是平面α 内的矩形}，对应法则是“作圆的内接矩形” 3.集合 B={-1,3，5}，试找出一个集合 A 使得对应法则 f: x→3x-2 是 A 到 B 的映射

4.若 A={(x,y)}在映射 f 下得集合 B={ （ 2x-y,x+2y） }, 已知 C={ （a,b） }在 f 下得集合 D={(-1,2)}, 求 a,b 的值

5.设集 A={x|0≤x≤2}，B={y|1≤y≤2}，在下图中能表示从集 A 到集 B 的映射的是（ y y y y 2 2 2 2 1 1 1 1 O 1 2 A． [归纳反思] x O 1 2 B． x O 1 2 C． x O 1 2 D． x

）

[巩固提高] 1.关于映射下列说法错误的是 （ ） (A) A 中的每个元素在 B 中都存在元素与之对应 (B) 在 B 存在唯一元素和 A 中元素对应 (C) A 中可以有的每个元素在 B 中都存在元素与之对应 (D) B 中不可以有元素不被 A 中的元素所对应。 2.下列从集合 A 到集合 B 的对应中，是映射的是 （ ） (A) A={0,2} , B={0,1},f:x ?y=2x (B) A={-2,0,2},B={4} ,f:x ?y=2x

1 2 (C) A=R ,B={y│y<0} ,f:x ?y= x
36

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(D) A=B=R , f:x ?y=2x+1 3.若集合 P={x│0≤x≤4} ,Q={y│0≤y≤2},则下列对应中，不是 从 P 到 Q 的映射的 （ ）

1 (A) y= 2 x

1 (B) y= 3 x

1 (C) y= 8 x

2 (D) y= 3 x

4.给定映射 f：（x，y）?(x+2y，2x—y)，在映射 f 作用下(3，1)的象是 5.设 A 到 B 的映射 f1：x?2x+1，B 到 C 的映射 f2：y?y2—1，则从 A 到 C 的映射是 f： 6.已知元素(x，y)在映射 f 下的原象是（x+y,x—y），则(1，2)在 f 下的象 7.设 A={—1，1，2}，B={3，5，4，6}，试写出一个集合 A 到集合 B 的映射 8．已知集合 A={1，2，3}，集合 B={4，5}，则从集合 A 到 B 的映射有 个。 9．设映射 f：A?B，其中 A=B={（x，y）|x∈R，y∈R}，f： （x，y）?（3x-2y+1，4x+3y-1） (1)求 A 中元素(3，4)的象 (2)求 B 中元素（5，10）的原象 (3)是否存在这样的元素（a，b）使它的象仍然是自己？若有，求出这个元素。

10． 已知 A={1， 2， 3， k}， B={4， 7， a4， a2+3a}， a∈N*， k∈N*， x∈A， y∈B， f： x?y=3x+1 是定义域 A 到值域 B 的一个函数，求 a，k，A，B。

37

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第二章 基本初等函数
2.1 指数函数
2.1.1 分数指数幂(1)
【预习自测】 例 1．试根据 n 次方根的定义分别写出下列各数的 n 次方根。 ⑴25 的平方根 ； ⑵ 27 的三次方根 ； ⑶－32 的五次方根 例 2．求下列各式的值：
2 ⑴ ( 5) ；

；

6 ⑷ a 的三次方根

．

⑵

3

(?2) 3

；

⑶

4

(?2) 4

；

⑷

(a ? b) 2

。

例 3．化简下列各式： ⑴ ⑶
6

81 ；

⑵

15

? 32 ；

6

a 2b4 ；

例 4．化简下列各式： ⑴ 5?2 6 ? 7?4 3 ? 6?4 2 ；

3? 3
⑵ 2 ? 2? 3 。

38

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【课堂练习】 1．填空： ⑴0 的七次方根 2．化简： ⑴ ⑶
4

；⑵ x 的四次方根

4

。

(3 ? ?) 4

；

⑵ ⑷

3

(? x ) 6
x8 。

；

a 2 ? 2ab ? b 2 ；

4

3．计算： 5 ? 2 6 ? 5 ? 2 6

x y x? y 4．若 10 ? 3 ， 10 ? 4 ，求 10 的值

5． 5 ? 2 6 ? 7 ? 4 3 ? 6 ? 4 2

【归纳反思】

【巩固提高】
3 6 1． a ? ? a 的值为（

） B． ? a C． ? a ） D． a

A． ? ? a
3

2．下列结论中，正确的命题的个数是（ ①当 a<0 时，
(a 2 ) 2 ? a 3
n n ；② a ?| a | ；

39

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1

③函数

y ? ( x ? 2) 2 ? (3x ? 7) 0

n n n n 的定义域为 (0, ??) ；④若 ( a ) 与 a 相同。

A．0 3．化简
a ? 4 (1 ? a) 4

B． 1 的结果是( )

C．2

D．3

A．1 B．2a－1 C．1 或 2a－1 4．如果 a，b 都是实数，则下列实数一定成立的是（ A ． C．
4
3

D ．0 ） B ．
( | a | ? b ) 2 ? a 2 ? b 2 ? 2 ab

a3 ? b2 ? a ? b

(a 2 ? b 2 ) 4 ? a 2 ? b 2

2 2 D． a ? 2ab ? b ? a ? b

5．当 8<x<10 时， 6．若 7．若

( x ? 8) 2 ? ( x ?10) 2 ?

。
x

x 2 ? 2x ? 1 ? y 2 ? 6 y ? 9 ? 0
(| x | ?1)
1

，则 y =

。

?

1 3

有意义，则 x∈

16 2 ? (

8．计算

1 ? 0.25 1 ) ? (? ) 0 81 2 的值

9．若 2

1 32

? a ，用 a 表示 (1 ? 2

1 32

)(1 ? 2 )(1 ? 2 )(1 ? 2 )(1 ? 2 )

1 16

1 8

1 4

1 2

10．求使等式

(a ? 3)(a 2 ? 9) ? (a ? 3) a ? 3

成立的实数 a 的取值范围。

40

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2.1.2 分数指数幂(2)
【预习自测】 例 1．求下列各式的值：
1 2 ⑴ 100 ；

2 3 ⑵ 8 ；

⑶ 9

?

3 2

4

2

；

⑷

81 ? 9 3

例 2．化简下列各式：

a2
2 3 ⑴ a? a ；
3

⑵

xy 2 ? xy ?1 ? xy

。

1 2 例 3．已知 a ? a

?

1 2

? 3 ，求下列各式的值：
2 ?2 ⑵a ? a ；

?1 ⑴ a?a ；

3

a2 ?a
1 2 ⑶ a ?a

?

3 2 1 2

a 2 ? a ?2 ? 2
3

?

；

2 ⑷a ?a

?

3 2

?3。

1 4 2 3 ? 2 ( )3 (? ) 3 ( ) 2 3 例 4．将 3 ， 2 ， 3 ， 4 用“<”号联接起来。

1

41

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【课堂练习】 1．填空：
2 3 ⑴ 8 ?

3 4 ；⑵ ( 25 ? 125) ? 5 ?

。 。

a ?a a ?a 2．若 3 ? 3 ? 3 ，则 27 ? 27 ?

3．化简： ( x ? y ) ÷ ( x ? y )

1 2

1 2

1 4

1 4

8

6

1

4．化简

(a 5 ? b 5 ) 2 ? 5 a 4 ? 5 b 3

5．化简

a2 b3 4 a ? ? b a b3

【归纳反思】

?1 ?1 ?2 ?2 1．若 a=(2+ 3 ) ,b=(2 ? 3 ) ，则(a+1) +(b+1) 的值是 (

)

A．1

1 B． 4

2 C． 2

2 D． 3

2．下列结论中，正确的命题的是（ A． ? a = ( ? a ) C． b = b
6 2
1 3
1 2

）
?

( a ? 0)

B．a

1 3

3 =- a

( b <0)

a 3 4 ( b )3 ? D．( b ) 4 = a

(a,b ? 0 )

42

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a 3b 2
1 1

3

ab2
? 1 1

3 3 4 2 4 3．化简 (a b ) a b 的结果是(

)
a b C．

b A． a

B．ab D．a2b 4．如果 a，b 都是实数，则下列实数一定成立的是（ ）
6 6 6 A ． ( a ? b) ? a ? b

B ． D．
10

8

(a 2 ? b 2 ) 8 ? a 2 ? b 2

4 4 4 4 C． a ? b ? a ? b
3 ?3 ?1 5．若 x ? x ? 2 ，则 x ? x ?

(a ? b)1 0 ? a ? b

。

1 1 ? 1 (? ) ?1 ? ( ) 2 ?1 2 6．将 2 ， 2 ， 2 ， 2 用“<”号联接起来是
3 3 7．计算 2 ? 5 ? 2 ? 5 的值

1

。

8．解方程 4

1? x

? 4 ? 2?x ? 8 ? 0

? ? 1 ? ? (2a 4 b 3 )(?3a 2 b 3 ) ? (? a 4 b 3 ) 4 9．化简

1

1

1

2

1

2

4

1

a 3 ? 8a 3 b

10．化简 4b ? 2 ab ? a ÷
3

2 3

2 3

(1 ? 23

b ) 3 a ×

a

43

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2.1.3 指数函数(1)
【预习自测】 例 1．下列函数中是指数函数的是 ⑴y?x ；
2

。
x

⑵y?3 ； ⑷ y ? (?4) ；
x

⑶ y ? ?4 ；
x

⑸y?x ；
x

⑹y?e ；
x

⑺y?3

x ?1

；

⑻ y ? (2a ? 1) （
x

a?

1 2 ，a ?1）

例 2．已知指数函数 y ? f ( x ) 的图象经过点（1， ? ），求下列各个函数值： ⑴ f (0) ； ⑵ f (1) ； ⑶ f (?) 。

例 3．比较大小： ⑴ 1. 7
2.5

和 1 .7 ；

3

⑵ 0 .8

? 0 .1

与 1.25 ；

0.2

⑶ 1. 7

0.3

与 0.9 。

3.1

例 4．作出下列函数的图象，并说明它们之间的关系： ⑴y?3 ；
x

⑵y?3

x ?1

；

⑶y?3

x ?1

。

【课堂练习】 1．在下列六个函数中： ① y ? 2a ；② y ? a
x x?2 x x x ；③ y ?a ?3 ；④ y ? a ；⑤ y ? (?a) ；

44

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1 y ? ( )x a 。若 a ? 0 ，且 a ? 1 ，则其中是指数函数的有（ ⑥ A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个

）

2．函数 y ? 2

x ?3

? 3 恒过定点

。 对称。

1 y ? ( )x x a 和 y ? a (a ? 0, a ? 1) 的图象关于 3．函数
x

4．已知函数 y ? a （ a ? 0 ， a ? 1 ）在[0，1]上的最大和最小值之和是 3，求实数 a 的值。

5．设 2

3? 2 x

? (0.5) 3 x ?4 ，求 x 的取值范围。

【归纳反思】

【巩固提高】
x B ? {y | y ? x 2 , x ? R} 1．若集合 A ? {y | y ? 2 , x ? R} ， ，则 （

）

A．A

B

B． A ? B

C．B

A

D． A ? B ）

x 2．已知 0 ? a ? 1, b ? ?1 ，则函数 y ? a ? b 的图象不经过（

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

x x x x 3．图中曲线 C1 , C 2 , C 3 , C 4 分别是指数函数 y ? a , y ? b , y ? c , y ? d 的图象，则 a, b, c, d 与

1 的大小关系是（ A． a ? b ? 1 ? c ? d B． a ? b ? 1 ? d ? c C． b ? a ? 1 ? c ? d D． b ? a ? 1 ? d ? c

）

y
y ? cx
y ? bx y ? ax

y?d

x

1 O x

45

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4．已知 a ? 0 ，且 a ? 1 ， M ? a A． M ? N C． M ? N
1 ?x y?( ) 4 5．函数 的值域是

a 3 ? a ?1

，N?a

a 2 ? a ?1

，则（

）

B． M ? N D．M、N 大小关系不确定

； 。 。

2 x 6．若指数函数 y ? (a ? 1) 在 R 上是减函数，则 a 的取值范围是 x

7． 把函数 y=f(x) 的图象向左、 向下分别平移 2 个单位得到 y ? 2 的图象， 则 f(x)=
2 1 . 5 ? 0 .2 , 1 . 3 0 .7 , ( ) 3 3 的大小 8．比较
1

9．已知函数 y ? a （ a ? 0 ， a ? 1 ）在[1，2]上的最大值比最小值大 2，求实数 a 的值
x

10．试比较 a

2 x 2 ? 3 x ?1

与a

x 2 ? 2 x ?5

（ a ? 0 ，且 a ? 1 ）的大小

46

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2.1.4 指数函数(2)
【预习自测】
2 ? 3 ( ) 3 , ( )2 3 5 例 1．将六个数
1 1

3 5 5 ? , ( ) 3 , ( ) 0 , (?2) 3 , ( ) 3 2 6 3 按从小到大的顺序排列。

2

1

1 2 y ? ( ) x ?4 x ?1 ?2 x 2 ? 4 x ?7 3 例 2．求函数 和y?2 的单调区间。

例 3．求下列函数的定义域和值域。
1 x ?4 ⑴y?2 ；

x x ?1 ⑵ y ? 4 ? 2 ? 1.

例 4．判断下列函数的奇偶性：

2 y ? ( ) ?|x| 3 ； （1）（2）

（2）

y?

a x ? a ?x 2 （ a ? 0 ， a ? 1 ）；

x x 例 5．若 0 ? x ? 2 ，求函数 y ? 4 ? 2 ? 2 ? 5 的最大值和最小值。

47

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【课堂练习】
y ? 3 2 x ?1 ? 1 27 的定义域为(

1．函数 A．（－2，+∞） C．（－∞，－1] 2．函数 y ? e
?| x|

)

B．[－1，+∞） D．（－∞，－2] ）

是（

A．奇函数，且在（－∞，0]上是增函数 B．偶函数，且在（－∞，0]上是减函数 C．奇函数，且在[0，－∞）上是增函数 D．偶函数，且在[0，－∞）上是减函数 1 f ( x) ? ( ) ? x ? 3 2 3．函数 的增区间是
y? e x ?1 e x ? 1 的值域。

4．求

5．已知函数 y＝4x－3·2x＋3 的定义域是(－∞，0],求它的值域

【归纳反思】

【巩固提高】
x 1．函数 f ( x) ? a （ a ? 0 ， a ? 1 ）对于任意的实数 x，y 都有（

）

A．f(xy)=f(x)f(y) C．f(x+y)=f(x)f(y)

B．f(xy)=f(x)+f(y) D．f(x+y)=f(x)+f(y) ）

2．下列函数中值域为 (0, ??) 的是（
1 2? x A． y ? 5

1 y ? ( )1?x 3 B．

1 y ? ( )x ?1 2 C．

x D． y ? 1 ? 2

48

高中数学必修一

3．函数 y＝a|x|(a＞1)的图像是 ( y 1 0 A. x B. 0 x y

) y 1 0 C. x D. ） 1 0 x y

x x 4．若集合 P ? { y | y ? 3 , x ? R} ， Q ? { y | y ? 2 ? 1, x ? R} ，则 P ? Q 是（

A．P

C．Q D．R 1 f ( x) ? a ? x 2 ? 1 是奇函数，则实数 a 的值为 5．若函数 6．函数 y ? 2
? x ? ax?1
2

B．Φ

。 。 。

在区间（－∞，3）内递减，则实数 a 的取值范围是

x 7．已知函数 f ( x) ?| 2 ? 1 | 的图象与直线 y ? a 的图象恰有一个交点，则实数 a 的值为
x 8．若函数 y ? a ? b （ a ? 0 ， a ? 1 ）的图象不经过第一象限，求 a，b 的取值范围

9．已知

2x

2

?x

1 ? ( ) x ?2 x ?x 4 ，求函数 y ? 2 ? 2 的值域

10．设

f ( x) ?

4x 4 x ? 2 ，若 0 ? a ? 1 ，求：

(1) f (a) ? f (1 ? a)的值

1 2 3 1000 (2) f ( )? f ( )? f ( )????? f ( )的值 1001 1001 1001 1001 ；

49

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2.1.5 指数函数(3)(习题课)
【预习自测】
x 例 1．函数 y ? a ? 1 的定义域为 (?? , 0] ，求 a 的取值范围

例 2．已知函数 上的增函数

f (x) ?

2x ?1 2 x ? 1 ，（1）判断函数 f ( x ) 的奇偶性；（2）求证：函数 f ( x ) 是 R

例 3．有纯酒精 20 升，从中倒出 1 升，再用水加满；然后再倒出 1 升，再用水加满；如此 反复进行。问第九次和第十次各倒出多少升纯酒精？

例 4．2005 年人才招聘会上，有甲、乙两公司分别开出它们的工资标准，甲公司允诺第一年 月工资为 1500 元，以后每年月工资比上一年月工资增加 230 元；乙公司允诺第一年月工资 数为 2000 元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增 5%，若某大学生年初被甲、 乙两家公司同时录取，试问： ⑴若该大学生分别在甲公司或乙公司连续工作 n 年，则他在第 n 年的月工资收入分别是多 少？ ⑵该人打算连续在一家公司工作 3 年，仅从工资收入总量较多作为应聘标准（不记其他因 素），该人应选择哪家公司，为什么？

50

高中数学必修一

【课堂练习】
x ?x 1．函数 y ? 5 ? 5 是（

）

A. R 上的增函数 B. R 上的减函数 C. 奇函数 D. 偶函数 2． 某厂 1991 年的产值为 a 万元， 预计产值每年以 5%递增， 则该厂到 2003 年的产值是 （ ）
13 A. a(1 ? 5%) 12 B. a(1 ? 5%)

10 a(1 ? 5%) 12 a ( 1 ? 5 %) 9 C. D. 3．一产品原价为 a 元，连续两年上涨 x%，现欲恢复原价，应降价 1 2 y ? ( ) x ?3 x ? 2 3 4．求函数 的单调区间
11

%。

5．已知函数 y ? a

2x

? 2a x ? 1 ( a ＞0 且 a ≠1)在区间[-1，1]上的最大值是 14，求 a 的值

【归纳反思】

【巩固提高】 1．若 2
2x

? 4 ? 5 ? 2 x ，则 x 2 ? 1 等于（

） D．2 或 5 ）
a

A．1

B．5

C．5 或 1

2．已知 0 ? a ? 1, x ? y ? 1 ，则下列各式中，正确的是（
a a A. x ? y
x y B. a ? a

C. a ? a
x

y

D. a ? y
x

2? x 3．函数 f ( x) ? 3 ( ?1 ? x ? 3 )的值域是(

)
1 D．（ 3 ，27）

A．(0，+∞）

B．（0，9）

1 C．[ 3 ，27]

51

高中数学必修一

4．函数 f(x)＝|2x－1|，当 a＜b＜c 时，有 f(a)＞f(c)＞f(b)，则 A．a＜0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＞0，c＞0 C．2－a＜2c D．2a＋2c＜2 1 ( , 1) x f ( x ) 5．若函数 的定义域是 2 ，则函数 f (2 ) 的定义域是______________. 6．已知 a>0 且 a≠1，f（x）=x2－ax，当 x∈（－1，1）时均有 范围是 ；
2x x 7．函数 f ( x) ? a ? 3a ? 2 （a>0 且 a≠1）的最小值是

f ( x) ?

1 2 ，则实数 a 的取值

8．已知函数 y ? a

x 2 ?3 x ?3

，当 x∈[1，3]时有最小值 8，求 a 的值

9．某种储蓄按复利计算利息，若本金为 a 元，每年利率为 r，设存期为 x 年，本利和（本金 加上利息）为 y 元。 （1）写出本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式； （2）如果存入本金 1000 元，每期利率为 2.25%，试计算 5 年后的本利和

10．已知定义在 R 上恒不为 0 的函数 y=f(x)，当 x>0 时，满足 f(x)>1，且对于任意的实数 x， y 都有 f(x+y)=f(x)f(y)。
f (? x) ? ? 1 f ( x) f ( x ? y) ? f ( x) f ( y)

⑴求 f(0) 的值； ⑵证明 的增函数

； ⑶

； ⑷证明函数 y=f(x) 是 R 上

52

高中数学必修一

2.2 对数函数
2.2.1 对数的概念
【预习自测】 例 1.将下列指数式改写成对数式 （1） a ? y
x

4?2 ?
（2）

1 16

（3） (a ? b) ? m

1 c

n ( )0 ? 1 （4） m

例 2.将下列对数式改写成指数式

（1）

log 3 9 ? 4

（2） （4）

log ( a 2 ?b 2 ) x ?

1 c

（3） lg 0.001? ?3

loga (MN ) ? p ? q

例 3.不用计算器，求下列各式的值

log9 27 （3） （1） log2 64 （2）

log a

1 a

（4）

log0.2 1

【课堂练习】 1.求下列各式的值

log 1 2
（1）
16

（2） log2 16 -

log3 9

（3）

loga a

1 5

53

高中数学必修一

log8 9 log2 3 2.求值:（1）
【归纳反思】

1?log7 5 （2） 7

2 （3） 100

1 ( lg9 ?lg 2 )

【巩固反思】

log7 [log3 (log2 x)] ? 0 ，则 x 2 ＝＿＿＿ 已知
已知 lg 3 ? 0.4771，则 10
0.4771

?

1

＝＿＿＿
a

1?，并说明 已知集合 R ? ?0,1? ， S ? 11? a, a,2 , lg a ，问是否存在 a 的值，使 R ? S ? ?
理由

?

?

已知 f ( x) ? a

x?

1 2

， f (lg a) ? 10 ，试求 a 的值

54

高中数学必修一

2.2.2 对数的运算性质
【预习自测】 求值

?1? lg 5(lg 8 ? lg1000 ) ? (lg 2

3

1 ) 2 ? lg ? lg 0.06 6

(2)(lg2) 3 ? (lg5) 3 ? 3 lg 2 lg 5

?3?2 log 3 2 ? log 3 32 ? log 3 8 ? 5 2 log 3
5

9

求值

(1) (2)

log 2
log

1 1 1 ? log 3 ? log 5 25 8 9
15 3

32 ? (log 2 3 ? log 4 9 ? ? ? ? ? log 225 3 25 )

1 1 1 ? ? x, y, z 均为正数,且 3 ? 4 ? 6 ,求证: z x 2 y 已知
x y z

【课堂练习】 已知 求值

log3 5 ? m, log8 3 ? n则lg 5 ? _________
log ?
2 ?1

? (3 ? 2 2 ) ? ________
1 1 ? ? 1000,求 a ? b ? 1000 , ?0.0112
b

已知 ?11.2?

a

55

高中数学必修一

【归纳反思】

【巩固反思】 若 a ? 0, 且a ? 1, x ? R, y ? R, 且xy ? 0 ,则下列各式中错误的是 ( )

loga x 2 ? 2 loga x (1)
(4)

(2)

loga x 2 ? 2 loga x

(3)

loga xy ? loga x ? loga y

loga xy ? loga x ? loga y
B(1)(3) C(1)(4)
2

A(2)(4)

D(2)(3)

? y? lg x ? m, lg y ? n, 则lg x ? lg? ? ? 10 ? 的值等于 ( 若
1 m ? 2n ? 2 A2

)

1 m ? 2n ? 1 B 2 1 2

C

1 1 m ? 2n ? 2 m ? 2n ? 1 2 D2

若

log 3 7 ? log 2 9 ? log 49 a ? log 4

则 a=_______

a 已知 lg(3a ) ? lg 3b ? 9 则 b =_______________
3

? ?
3

(log 4 3 ? log 8 3)(log 3 2 ? log 9 2) ? log 1 4 32
求值:
2

已知

a ? b ? 1, log a b ? log b a ?

10 3 ,求 loga b ? logb a

x 已知 lg( x ? y) ? lg( x ? y) ? lg 2 ? lg x ? lg y ,求 y 的值.

56

高中数学必修一

2.2.3 对数函数（1）
【预习自测】 求下列函数的定义域 （1）

y ? log0.2 (4 ? x)

（2）

y ? loga x ?1 (a ? 0且a ? 1)

利用对数函数的性质，比较下列各组数中两个数的大小 （1） log2 3.4 ， log2 3.8 （2）

log0.5 1.8 ， log0.5 2.1 （3） log7 5 ， log6 7

【课堂练习】 1.（1）求函数

y ? loga ( x ? 1) (a ? 0且a ? 1) 的定义域

（2）求函数 y ? lg(? x ? 8x ? 7) 的定义域
2

2.比较下列三数的大小（1）

log3 0.8 ， log4 0.8 ， log5 0.8

（2） 1.1 ，

0.9

log1.1 0.9 ， log0.7 0.8

【归纳反思】

【巩固反思】 已知 0 ? a ? 1 ， 0 ? b ? 1 ，且 a
logb ( x ?3)

? 1 ，则 x 的取值范围是________

57

高中数学必修一

若

log ( a ? 3)

2 ?1 3 ，则 a 的取值范围是________
的定义域

求函数

y ? log(5? x) (2x ? 3)

已知 1 ? x ? m ，设 小

a ? logm x ， b ? logm x2 ， c ? logm (logm x) ，试比较 a 、 b 、 c 的大

2

2 lg(
已知

x x? y ) ? lg x ? lg y 2 ，求 y 的值

58

高中数学必修一

2.2.4 对数函数（2）
【预习自测】 求下列函数的单调区间 （1）

y ? log0.5 x 2 （2） y ? ? log2 2 x ? 4 log2 x ? 2

解下列不等式 (1)

log2 a x ? loga x2 ? 8 ? 0(0 ? a ? 1)
log1 ( x 2 ? 2 x ? 3) ? log2 1 3x ? 1

(2)

2

y ? log1 x ? log1 x ? 5
求函数
4 4

2

， x ? [2,4] 的最小值和最大值

【课堂练习】

已知

log a

1 ?1 2 ，那么 a 的取值范围是_________ y ? log 1 3 ? 2 x ? x 2

2..求函数

2

的定义域和值域

3.已知 y ? log4 (2 x ? 3 ? x )
2

59

高中数学必修一

求定义域 求 f ( x) 的单调区间 求

y 的最大值，并求取得最大值时的 x 的值

【归纳反思】

【巩固反思】 设 a ? 0且a ? 1 ，若 已知函数

loga 2 ? log2 a ,则 a 的取值范围是__________

y ? loga x (a ? 0且a ? 1) 在 x ? [2,4] 上的最大值比最小值大 1，则 a ＝______
1 x x y ? (log 2 )(log 2 ) 2 ，求 2 4 的最大（小）值以及取得最大（小）值时的

? 3 ? log1 x ? ?
若
2

相应的 x 的值

60

高中数学必修一

2.2.5 对数函数(3)
【预习自测】 例 1.函数

y ? loga x ? b (a ? 0且a ? 1, ab ? 1) 的图像只可能是 (

)

例 2.将函数 y ? 2 的图像向左平移一个单位得到 c1 ,将 c1 向上平移一个单位 ,得到 c2 ,再作
x

c2 关于直线 y ? x 的对称图形,得到 c3 ,求 c3 的解析式

例 3. 在函数

y ? lo ga x(0 ? a ? 1, x ? 1) 的图像上有 A,B,C 三点 , 它们的横坐标分别是

t , t ? 2, t ? 4
若 ?ABC 的面积为 S ,求 S ? f (t ) 判断 S ? f (t ) 的单调性

【课堂练习】 若 a ? 0且a ? 1,则函数 y ? a 过定点____________
x ?1

? 1 的图像过定点_______,函数 y ? loga ( x ? 1) ? 1 的图像

61

高中数学必修一

函数

f ( x) ? log 0.3 x 2 ? 6 x ? 5

的单调增区间为_____________

若函数

f ( x) ? log3 x ? a

的对称轴为 x ? ?1 ,则实数 a =___________

【归纳反思】

【巩固反思】 1.已知 a ? 0且a ? 1,函数 y ? a
?x

和

y ? loga (? x) 的图像只可能是 (

)

2.已知

f ( x) ? loga x

,其中 0 ? a ? 1 ,则下列各式正确的是 ( )

1 1 f ( ) ? f (2) ? f ( ) 4 A 3 1 1 f (2) ? f ( ) ? f ( ) 3 4 C
x

1 1 f ( ) ? f ( ) ? f (2) 4 3 B 1 1 f ( ) ? f (2) ? f ( ) 4 3 D

若函数 y ? a ? b ? 1(a ? 0且a ? 1) 的图像经过第一 , 三四象限 , 则下列结论中正确的是 ( ) B 0 ? a ? 1且b ? 0 C 0 ? a ? 1且b ? 0 D a ? 1且b ? 0

A a ? 1且b ? 1

y ? log1 x ? 2
作出函数
2

的图像

?1? y ?? ? ? 2 ? 的图像得到 y ? log2 x 的图像 怎样利用图像变换,由

x

若函数

y ? log2 ax ? 1

的图像的对称轴是 x ? 2 ,求非零实数 a 的值.

62

高中数学必修一

2.3 幂函数
2.3.1 幂函数（一）
[预习自测] 例 1：求下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性。
1
3 （1） y ? x

2 （2） y ? x

?2 （3） y ? x

（４） y ? x

?

2 3

变式引申： 求函数 y ? ( x ? 1)
? 1 4

? ( x ? 2) 的定义域。

2 3

例 2：画出下列函数 y ? x ， y ? x ， y ? x 的图象
2 3

1 2

例 3：比较下列各组数的大小 （1） 3
? 5 2

和 3 .1
2

?

5 2

2 ? ? ? (? ) 3 (? ) 3 （2） 3 和 6
2

例４：求出函数 y ? ( x ? 3) 的定义域和单调区间．

?2

例５：已知 f ( x) ? (m ? m) x
2

m2 ?2 m?1

，当 m 取什么值时，

（1） f ( x) 为正比例函数； （2） f ( x) 为反比例函数；
63

高中数学必修一

（3） f ( x) 为幂函数。 [课内练习] 1.求下列幂函数的定义域，并指出它们的奇偶性。

y?x （1） y ? x （2） y ? x （3）
2 3 5 6

4 ?5

（ 4） y ? x

?3 2

3 ２.已知幂函数 y=f(x)的图象经过（3， 3 ），则 f(x)=
３.下列函数图象中,表示函数 y ? x
?1 3

的是（ ）

3 ４.画出函数 y ? x 的图象，并指出其单调区间。

1

５.比较下列各组数中两个值的大小：
2 2 0.26 （1） 5.23 ,5.24 （2） 1 1

?1

,0.27?1 （3） (?0.72) 3 , (?0.75) 3

[归纳反思]

64

高中数学必修一

[巩固提高] 1.在下列函数中，定义域为 R 的是（ ） A

y ? x2

3

B

y?x

3

C y?2
2

x

D y?x
?1 2

?1

2.下面给出了 5 个函数○ 1 y ? x ?1○ 2 y?x 中是幂函数的是（ ） A ○ 1○ 5 B ○ 1○ 2○ 3 3 下列命题中正确的是（ ）
m

○ 3 y ? 2x ○ 4
2

y?x

?2 3

3 ○ 5 y ? x ?1， 其

1

C

○ 2○ 3

D

○ 2○ 3○ 5

A 当 m=0 时,函数 y ? x 的图象是一条直线 B 幂函数的图象都经过(0,0),(1,1)两点 C 幂函数 y ? x 图象不可能在第四象限内
m

D 若幂函数 y ? x 为奇函数,则 y ? x 是定义域内的增函数
m m

4. 下列函数中,既是奇函数，又在 (0,??) 上是减函数的是（ ） A

y?x

B

y ? 2? x C
1

y ? ?x3 D

y ? ?x3

3 3 5.函数 y ? x 与函数 y ? x 的图象（ ）

A 关于原点对称 C 关于 x 轴对称
2

B 关于 y 轴对称 D 关于直线 y=x 对称

6.函数

y ? x 3 图象的大致形状是（ ）

A

B
m n

C

D

7.如图,曲线 C1 , C2 分别是函数 y ? x 和 y ? x 在第一象限的图象,那么一定有 A n<m<0 C m>n>0 B m<n<0 D n>m>0

8.用“〈”或“〉”连接下列各式

0.320.6

0.340.5

0.8

2 ?5

0.6

?2 3

65

高中数学必修一

1

9.幂函数的图象过点( 2 , 4 ),则它的单调递增区间是 10.函数 y ? x
?2

?3 4

在区间
2

上是减函数
?1
2

11.比较下列各组数的大小
3 (!) 1.3 , (?1.2) 3

?2 3

3 3 3 (2) 2.1 , (?2.4) , (?4) 3

3 7 4 (3) 3.6 ,2.5 , (?0.8)

?2

12.函数 y ? (mx ? 4 x ? m ? 2)
2

?1 4

? ( x 2 ? mx ? 1) 的定义域是全体实数,求实数 m 的取值范

围?

66

高中数学必修一

2.3.2 幂函数（二）
[预习自测] 例 1：求下列各式中参数的取值范围
3 3 4 4 （1） a ? 0.5

（2） (?2) ? (2a ? 4)

2 3

2 3

2 3 例 2：讨论函数 y ? x 的定义域，奇偶性，作出它的图象，并根据图象，

说明函数的增减性。

2 m ?2m?2 例 3: 已知 f ( x) ? (m ? m ? 1) x 是幂函数，且当 x ? (0,??) 时是减函数，求实数及

2

相应的幂函数。

例 4：已知函数 y ? 15 ? 2 x ? x
4

2

求函数的定义域，值域； 判断函数的奇偶性； 求函数的单调区间。

67

高中数学必修一

[课内练习] 1.当 x ? x 成立时,x 的取值范围是 ( )
2 3

A

x<1 且 x ? 0

B

0<x<1

C x>1

D x<1

2.函数

y ? 0.5 x , y ? x ?2 , y ? log0.3 x 的图象形状如图所示,依次大致是( )

① A ○ 1○ 2○ 3

B

② ○ 2○ 1○ 3
2 ? 3

C

○ 3○ 1○ 2

③ D ○ 3○ 2○ 1

3．求函数 y ? ( x ? 1)

的单调区间。

4 5 4．若 f ( x) ? x ， g ( x) ? x ? 2 ，求函数 f [ g ( x)] 的单调区间。

5.已知幂函数 y=f(x)的图象过点( 2 ,

2 2 ), 试求出此函数的解析式,并判断奇偶性,单调性.

[归纳反思]

[巩固提高] 1.当 0 ? x ? 1 时， f ( x) ? x , g ( x) ? x , h( x) ? x 的大小关系。
2 1 2 ?1

2. 图中曲线是幂函数 y ? x 在第一象限的图象 , 已知 n 取
n

? 2, ?

1 2 四个值 , 则相对于曲线

C1 , C2 , C3 , C4 的 n 依次为( )

68

高中数学必修一

1

3 .已知幂函数 y=(x)的图象过点( 2 , 4 ) ,则该函数的图象( ) A C 关于原点对称 关于 x 轴对称
1

B 关于 y 轴对称 D 关于直线 y=x 对称

2 4.如图为 y ? ax ? b 的图象,求 a ,b

y? x，y?x 5.将 y ? x ， y ? x ， y ? x ， 图象的下面。
3 2

1 2

?

1 2

， y ? x ， y ? x ， y ? x 填入对应

1 3

?2

?1

y

y

y

y

O (1) y

x (2)

O

x

O (3)

x

O (4) y

x x

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

(5)

(6)

(7)

(8)

1 2 3 6.已知 x ? x ，求 x 的取值范围。

7. 将下列各组数按从大到小顺序排列

5 ?1 3 1 6 1 ( ) 5 (? ) 3 ( ) 5 (1) 7 , 4 , 5

3 3 5 (2) (?1.3) , (0.4) , (?2)

2

2

1

69

高中数学必修一

8. 下列关于幂函数的命题中不正确的是( ) A 幂函数的图象都经过点(1,1) B 幂函数的图象不可能在第四象限内 C D 当 y ? x 的图象经过原点时,一定有 n>0
n

若 y ? x （n<0）是奇函数,则 y ? x 在其定义域内一定是减函数
n n

9. 讨论函数 y ? x

?3 2

的定义域,值域,单调区间, 奇偶性

10. 一个幂函数 y=f(x)的图象过点( 3 ,

4

27 ) ,另一个幂函数 y=g(x)的图象过点(-8,-2)

1)求这两个幂函数的解析式 2)判断这两个函数的奇偶性 3)作出这两个函数的图象,观察得 f(x)<g(x)的解集

70

高中数学必修一

第三章 函数的应用
3.1 函数与方程
3.1.1 二次函数与一元二次方程（一）
[预习自测] 例 1．求证：一元二次方程 2x2+3x-7=0 有两个不相等的实数根

例 2．如图，是一个二次函数 y=f(x)的图象。 (1)写出这个二次函数的零点； (2)写出这个二次函数的解析式； (3)试比较 f(-4)f(-1),f(0)f(2)与 0 的大小关系。 -4 -3 -1 0

y 4 3 1 1 2

x

例 3．二次函数 f(x)= ax2+bx+c (x ? R)的部分对应值如下： X y -3 6 -2 m -1 -4 0 -6 1 -6 2 -4 3 n 4 6

不求 a,b,c 的值，可判断 ax2+bx+c=0 的两根所在区间是 （ ） A（-3，-1）（2，4）B（-3，-1）（-1，1） C（-1，1）（1，2）D（- ? ，-3）（4，+ ? ） 例 4．若方程 2ax2-x-1=0 在（0，1）内恰有一解，则 a 的取值范围是 A a<-1 B a>1 C –1<a<1 D 0 ? a<1 （ ）

[课内练习] 1．函数 f(x)= x2-3x-4 的零点是 A 1，-4 B 4，-1

（ ） C 1，3 D 不存在

4 2．函数 f(x)=x- x 的零点的个数是
A0个 B1个 C2个 D 无数个
71

（ ）

高中数学必修一

3．已知函数 f(x)= mx2+(m-3)x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数 m 的 取值范围是 （ ） A （ 0，1 ） B (0,1] C （- ? ，1） D (??,1]

关于 x 的方程|x2-4x+3|-a=x 有三个不相等的实数根，则实数 a 的值是___________. 对于任意定义在 R 上的函数 f(x)，若实数 x0 满足 f(x0)=x0，则称 x0 是函数 f(x)的一个不动 点 。 现 给 定 一 个 实 数 a(a ? （ 3 ， 4 ） ) ， 则 函 数 f(x)=x2+ax+1 的 不 动 点 共 有 ______________________________个。 若函数 y=ax2-x-1 只有一个零点，求实数 a 的取值范围。

已知关于 x 的函数 f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6，当函数图象经过点（0，1）时，试证明函数有 两个不等的零点，且分别在（0，1）和（6，7）内。

[归纳反思]

。 [巩固提高] 1．函数 f(x)= x ? 3x ? 1 的零点个数有
2

（ C2个 D 不确定

）

A0 个
2

B1个

2．二次函数 y= x ? 4x ? (k ? 8) 与 x 轴至多有一个交点，则 k 的取值范围是 A (??,4)
2

B (4, ??)
2

C (??, 4]

D [4, ?? ) （ D 不确定 ）

3.函数 f(x)= x ? (m ? 2) x ? m 在（-1，1）上零点的个数为 A0个 B1个 C2个

3 m( x ? ) ? x 2 ? 3 x ? 2 2 4．无论 m 取何值时，方程 的实根个数为

（

）

72

高中数学必修一

A0个

B1个

C2个

D3个

ln x ?
5．函数 f(x)=

2 x 的零点所在的大致区间是
C （e, 3 ） D （e + ? ）

（

）

A （1，2） B （2，3）
2

6.函数 f(x)= ax ? 2ax ? c(a ? 0) 的一个零点为 1，则它的另一个零点为____________ 7．f (x)= x ? 2 x ? a 在区间[-3，2]的最值是 4，则实数 a 的值为_________________
2

8．求下列函数的零点： （1） y= x ? 5 x ?14
2

(2) y= ? x ? x ? 20
2

(3) y=(x-1)( x ? 3x ? 1 )
2

(4) y=( x ? 2 )( x ? 3x ? 2 )
2 2

9.求下列函数的零点，图象顶点坐标，画出个函数简图，并指出函数值在哪些区间大于零， 哪些小于零。

1 2 x ? 2x ?1 （1）y= 3

(2)y= ?2 x ? 4 x ? 1
2

10.已知二次函数 f(x)= ax2+bx+c (1)若 a>b>c 且 f(1)=0,证明：f(x)有两个零点。

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 2 (2)证明： 若对 x1, x2 ? R 且 f(x1,)≠f(x2),则方程 f(x)= 必有一实数根在区间 （x1,
x2）内。

73

高中数学必修一

3.1.2 二次函数与一元二次方程（二）
【预习自测】 例 1．已知二次函数 y=f(x)的图象过点（0，-8），（1，-5），（3，7） 求函数 f(x)的解析式。 求函数 f(x)的零点。 比较 f(2)f(4),f(1)f(3),f(-5)f(1),f(3)f(-6)与 0 的大小关系。

例 2．当关于 x 的方程的根满足下列条件时，求实数 a 的取值范围 方程 x2-ax+a-7=0 的两个根一个大于 2，另一个小于 2。 方程 ax2+3x+4=0 的根都小于 1 方程 x2-2(a+4)x+2a2+5a+3=0 的两个根都在区间[-1，3]上 方程 7x2-（a+13）x+2a-1=0 的一个根在区间（0，1）上，另一个根在区间（1，2）上

例 3．关于 x 的二次方程 7x2-(p+13)x+p2-p-2=0 的两根 ? , ? 满足 0 ? ? ? 1 ? ? ? 2 ，求实 数 p 的取值范围。

例 4．若二次函数 y= ? x ? mx ? 1 的图象与两端点为 A（0，3），B（3，0）的线段 AB 有
2

两个不同的交点，求 m 的取值范围。

74

高中数学必修一

[课内练习] 1．二次函数 y= x2-4x-(k-8)与 x 轴至多有一个交点，则 k 的取值范围是 A （- ? ，4） B（4，+ ? ） C（- ? ，4 ] D [ 4，+ ? ） 2．函数 f(x)=log2(x2-4x+5)的零点为 A 1 B 0 C 2或0 D 2

（ ） （ ）

3 3．直线 y=kx+ 2 与曲线 y2-2y-x+3=0 只有一个公共点，则 k 的值为 1 1 A 0，- 2 ， 4 1 B 0， - 4 1 1 C- 2 ， 4 1 1 D 0， 2 ， - 4

（

）

4．已知方程 x2-k x+2=0 在区间（0，3）中有且只有一解，则实数 k 的取值范围是______. 5．①关于 x 的二次方程 x2+2(m+3)x+2m+14=0 有两根，且一个大于 1，一个小于 1，求 m 的范围。 ②关于 x 的二次方程 x2+2(m+3)x+2m+14=0 有两根，且在 [0, 4) 内，求 m 的范围。 ③关于 x 的二次方程 x2+2(m+3)x+2m+14=0 有两根，且在[1，3]之外，求 m 的范围。 ④关于 x 的二次方程 mx2+2(m+3)x+2m+14=0 有两根，且一个大于 4，一个小于 4，求 m 的 范围。

Δ 6.设二次函数 f(x)= x2+x+a(a>0)若 f(m)<0, 试判断函数 f(x)在（m , m+1 ）内零点的个数。

[归纳反思]

75

高中数学必修一

[巩固提高] 1．设 f(x)= ?2 x ? 3tx ? t ( x, t ? R) 的最大值是 u(t)，当 u(t)有最小值时，t 的值为
2

（ ）

9 A 4

4 B 9
2

C

9 -4

4 D -9
（ ）

2．如果函数 f(x)= x ? bx ? c 对任意实数 t 都有 f(2+t)=f(2-t),那么 A f (2) ? f (1) ? f (4) C f (4) ? f (2) ? f (1)
2

B f (2) ? f (4) ? f (1) D f (1) ? f (2) ? f (4)

3．已知函数 f(x)= x ? ax ? 5 ，对称轴是 x=-2，若 x ?[m,0] 时，函数 f(x)有最大值 5，最小 值 1，则实数 m 的取值范围为 A m ? -2 B -4 ? m ? -2
2

（ C -2 ? m ? 0 D -4 ? m ? 0

）

4.如果函数 f(x)= x ? 2(a ?1) x ? 2 在区间 (??, 4] 上减函数，则 a 的取值范围是 A a ? -3 B a ?3
2 2

（ ）

C a ? -3

D

a?3 ( )

5.若函数 f(x)=(m-1) x ? (m ?1) x ? 1 是偶函数，则在区间 (??, 0] 上 f(x) A 可能是增函数，可能是常数函数 B 是增函数 C 是常数函数 D 是减函数 6．已知 y= x ? ax ? 3 ? a 在区间[-2，2]上恒非负，求实数 a 的取值范围。
2

x2 ?
7．方程

3 x?k 2 在（-1，1）上有实根，求 k 的取值范围。

8．方程 x ? 2ax ? 4 ? 0 的两根均大于 1，求实数 a 的取值范围。
2

76

高中数学必修一

9．已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a，且不等式 f(x)>-2x 的解集为（1，3）。 若方程 f(x)+6a=0 有两个相等的根，求 f(x)的解析式 若 f(x)的最大值为正数，求 a 的取值范围。

2 10． 已知二次函数 f(x)= ax ? bx (a,b 为常数)且 a ? 0 满足条件：f(-x+5)=f(x-3),f(x)=x 有等根

求 f(x)的解析式 是否存在实数 m,n 使 f(x)的定义域和值域分别为[m.n]和[3m,3n],如果存在，求出 m,n 的值， 如果不存在说明理由。

77

高中数学必修一

3.1.3 用二分法求方程的近似解
【预习自测】 例１．利用计算器，求方程 x2-2x-1=0 的一个近似解（精确到 0.1）

例２．用二分法求函数 f(x)=x3-3 的一个正实数零点（精确到 0.01）

例３．求函数 y= x3-2x2-x+2 的零点，并画出它的图象。

例４．求方程 2x3+3x-3=0 的一个近似解（精确到 0.1）

例５．求方程 lgx=3-x 的近似解。

[课内练习] 1．方程 log3x+x=3 的近似解所在区间是 A （0，2） B （1，2） C （2，3） D （3，4） 2．下列函数，在指定范围内存在零点的是 A y= x2-x x ? (-∞ ,0) B y=∣x∣-2 x ? [-1,1] ? C y= x5+x-5 x [1,2] D y=x3-1 x ? ( 2,3 )

（ （

） ）

3 x?3 ? 0 3. 方程 2x+ 2 的解在区间
A （ 0，1 ）内 B （ 1，2）内 C （2，3）内

（ D 以上均不对

）

78

高中数学必修一

4．方程 logax=x+1 (0<a<1)的实数解的个数是 A 0个 B1个 C2个 D 3个 5．下列图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是 y y

（ （

） ）

0 A y

x

0

x

B y

0

x 0 x

C

D

6．证明：方程 2x- 2 x ? 3 ? 0 的两根一个在区间（-2，-1）内，一个在（3，4）内。

[归纳反思]

[巩固提高] 1．方程 x ? 64 x ? 0 的实根个数为
3

（ C2

） D （ 3 ）

A 0
2

B1

2．方程 x ? 3x ? 1 ? 0 在区间（2，3）内，根的个数为 A0 B1 C2
79

D

不确定

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3．方程 lnx+2x=6 的解一定位于区间（ ）内 A （1，2） B （2，3） C （3，4） D （4，5） 4．函数 f(x)= x ? 5
2

的函数零点的近似值（精确到 0.1）是 C 2.2

（ ） D 2.3 （ ）

A 2.0
3

B 2.1
2

5．三次方程 x ? x ? 2 x ? 1 ? 0 在下列哪些连续整数之间有根？ A –2 与-1 之间 D 1 与 2 之间 B –1 与 0 之间 E 2 与 3 之间

C 0 与 1 之间

1 ( )x 6．函数 y= 2 与函数 y= lg x 的图象的交点横坐标（精确到 0.1）约是
A 1.3
3

（

）

B 1.4

C 1.5

D 1.6

7．方程 x ? x ? 1 ? 0 在区间[1，1.5]的一个实数根（精确到 0.01）为__________________ 8．已知图象连续不断的函数 y=f(x)在区间（a,b）(b-a=0.1)上有唯一零点，如果用二分法求 这个零点（精确到 0.0001）的近似值，那么将区间（a,b）等分的次数至多是____________ 9．求方程 lnx+2x-6=0 的近似解。

ax ?
10．已知函数 f(x)=

x?2 (a ? 1) x ?1 .

(1)证明：f(x)在（-1，+ ? ）上为增函数。 （2）证明：方程 f(x)=0 没有负实数根。 (3)若 a=3，求方程 f(x)=0 的根（精确到 0.01）

80

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3.2 函数模型及其应用
3.2.1 函数的模型及应用（1）
【预习自测】 例 1.某计算机集团公司生产某种型号的计算机的固定成本为 200 万元， 生产每台计算机可变 成本为 3000 元， 每台计算机的售价为 5000 元。 分别写出总成本 C（万元） 、 单位成本 P（万 元）、销售收入 R （万元）、以及利润 L （万元）关于总产量 x （台）的函数关系式.

例 2.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是
t

T0 ，经过

? 1 ?h T ? Ta ? ?T0 ? Ta ? ? ? ? ? 2 ? ，其中 Ta 表示环境温度， h 称为 一 定时间 t 后的 温度是 T ，则
半衰期.
0 0 现在一杯用 88 C 热水冲的速溶咖啡，放在 24 C 的房间里，如果咖啡降温到

400 C 需要 20 min ，那么降温到 350 C 时，需要多长时间？

例 3.在经济学中，函数 f ?x ? 的边际函数 Mf ?x ? 定义为 Mf ?x ? ? f ?x ? 1? ? f ?x? 。某公司每 月最多生产 100 台报警系统装置， 生产 x 台 x ? N

?

*

?的收入函数为 R?x? ? 3000x ? 20x （单
2

位：元），其成本函数 C?x ? ? 500x ? 4000（单位：元），利润是收入与成本之差. 求利润函数 P?x ? 及边际利润函数 MP?x ? ；
81

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利润函数 P?x ? 与边际利润函数 MP?x ? 是否具有相同的最大值？

例 4．如图所示，有一块半径为 R 的半圆形钢板，计划裁成等腰梯形 ABCD 的形状，它的 下底 AB 是⊙o 的直径，上底 CD 的端点在圆周上，写出这个梯形的周长 y 与腰长 x 之间的 函数式，并写出它的定义域.

D

C

A

B

【课内练习】 1.某物体一天中的温度 T 是时间 t 的函数 T(t)=t3-3t+60，时间单位是小时，温度单位是 0C， 当 t=0 时表示中午 12：00，其后 t 值去为正，则上午 8 时的温度是（ ） A.80C B.1120C C.580C D.180C 2.某商店卖 A、B 两种不同的价格的商品，由于 A 连续两次提价 20℅，同时 B 连续两次降 价 20℅，结果都以每件 23.04 元售出这两种商品各一件，则与价格不提不降的情况相比较， 商店盈利的情况是（ ） A.多赚 5.92 元 B.少赚 5.92 元 C. 多赚 28.92℅ D.盈利相同 3.某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路， 该产品的广告效应应该是产品的销售额与 广告费之间的差。 如果销售额与广告费的算术平方根成正比， 根据对市场进行抽样调查显示， 每付出 100 元的广告费，所得销售额是 1000 元，问该企业应投入 广告费，才能 获得最大的广告效应。

1 2 x x a? b 元， 4.生产某商品 x 吨的费用是 1000+5 x + 10 元， 出售这种商品 x 吨的价格是每吨
其中 a、b 是常数，若生产的产品都被卖掉，并且当生产量是 150 吨时利润最大，这时每吨 价格是 40 元，则 a、b 的值分别是 。
82

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【归纳反思】 １.审好题，审题注意取准自变量与函数值，不要盲目取变量，另外，审题时，切不可在一 些规定的专用名词上纠缠。 ２.列出函数解析式时，注意实际问题对自变量取值范围的限制。 ３.建立函数模型后，需解答函数模型，解答主要是方程求解，函数性质的讨论，有时用到 不等式，因此，对计算能力要求较高，另外，在涉及近似计算时，要注意问题的实际意义， 切不可采取简单处理的方法，是用四舍五入法，还是用进位法或取整法，都应视实际情况而 定。 【巩固提高】 1.某种菌种在培养过程中每 20 分钟分裂一次（一个分裂为 2 个），经过 3 小时，一个菌种 可繁殖为（ ） A.511 个 B.512 个 C.1023 个 D.1024 个 2.某地区的绿化面积每年平均比上一年增长 10.4%，经过 x 年，绿化面积与原绿化面积之比 为 y，则 y=f（x）的图象大致是（ ） y
y

y
1

y

1 0 x

0
0 x

x

0

A

C

x

B
1 2 a 4

D

3.用活动拉门（总长为 a）靠墙围成一矩形场地（一边利用墙），则可以围成的场地的最大 面积为（ ）
1 2 a A. 2

B.

C.

1 2 a 8

D.

1 2 a 16

4.已知镭经过 100 年剩留质量是原来质量的 0.9567， 设质量为 1 的镭经过 x 年后剩留量为 y， 则 y 关于 x 的函数关系是（ ） A. y ? 0.9567
x 100

y?(
B.

0.9567 x ) 100
x

100 x C. y ? 0.9567

100 D. y ? 1 ? 0.0424

5.某工厂的产值月平均增长率为 p，则年平均增长率是 6.某厂生产某种产品的固定成本为 200 万元，并且生产量每增加一单位产品，成本增加 1 万

R(Q) ? 4Q ?
元，又知总收入 R 是单位产量 Q 的函数：

1 Q2 200 ，则总利润 L（Q）的最大

值是 万元，这时产品的生产数量为 （总利润=总收入-成本）. 7.从盛满 aL（a 是常数）纯酒精的容器中倒出 1L，然后用水填满，再倒出 1L 混合液后又用

水填满，这样继续下去，如果倒第 n 次（n ? 1）时共倒出纯酒精 xL，设倒第（n+1）次时共 倒出 f（x）L，则函数 f（x）的表达式为 . 8.某租赁公司拥有汽车 100 辆，当每辆车的月租金为 3000 元时，可全部租出，当每辆车的 月租金每增加 50 元时，未出租的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费 150 元， 未租出的车每辆没月需要维护费 50 元。 当每辆车的月租金定为 3600 元时，能租出多少辆车？
83

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当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

9.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律： 每生产产品 x （百 台），其成本为 G（x）万元，其中固定成本为 2 万元，并且每生产 100 台的生产成本为 1 万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入 R（x）满足 R（x）＝

?? 0.4 x 2 ? 4.2 x ? 0.8, (0 ? x ? 5), ? 10.2, ( x ? 5), ? 假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律。
要使工厂有盈利，产品 x 应控制在什么范围？ 工厂生产多少台产品时赢利最大？并求此时每台产品的售价为多少？

84

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3.2.2 函数模型及其应用（2）
【预习自测】 例 1.某丁在甲、乙俩地的两个分厂各生产某种机器 12 台和 6 台，现销售给 A 地 10 台，B 地 8 台，已知从甲地调运一台至 A 地、B 地的费用分别为 400 元和 800 元，从乙地调运一 台到 A 地、B 地的运费分别是 300 元和 500 元 若从乙地要调运 x 台至 A 地，求总运费 y（元）与 x 之间的函数关系式 若总运费不得超过 9000 元，问共有几种调运方案 求出总运费最低的调运方案及最低的运费

例 2.渔场中鱼群的最大养殖量为 m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大 养殖量，必须留出适当的空闲量。已知鱼群的年增长量 y 吨与空闲率和实际增长量 x 的乘 积成正比，比例系数为 k（k>0）。（空闲率为空闲量与最大养殖量的比值） 写出 y 关于 x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； 求鱼群年增长量的最大值； 当鱼群的年增长量达到最大值时，求 k 的取值范围.

例 3.在某服装批发市场，季节性服装当季节来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价 为 10 元，并且每周（7 天）涨价 2 元，5 周后开始保持 20 元的价格平稳销售；10 周后当季 节即将过去时，平均每天削价 2 元，直到 16 周末，该服装已不再销售。 试建立价格 p（元）与周次 t 之间的函数关系； 若 此 服 装 每 周 进 价 q （ 元 ） 与 周 次 t 之 间 的 关 系 式 为

q ? ?0.125(t ? 8) 2 ? 12, t ?[0,16],t ? N ，试问该服装第几周每件销售利润最大？

85

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例 4.某城市现有人口数为 100 万人，如果年增长率为 1.2%，试解答以下问题： 写出该城市人口总数 y（万人）与年份 x（年）的函数关系式； 计算 10 年以后该城市人口总数（精确到 0.1 万人）； 计算大约多少年以后，该城市人口将达到 120 万人（精确到 1 年） 如果 20 年后该城市人口总数不超过 120 万人，年自然增长率应该控制在多少？

【课内练习】 1.某种植物生长发育的数量 y 与时间 x 的关系如下表： x y A． y ? 2 x ? 1 C． y ? 2 ? 1
x

1 1

2 3

3 8

?? ?? ）

下面的函数关系式中，能表达这种关系的是（ B． y ? x ? 1
2

D． y ? 1.5x ? 2.5x ? 2
2

2.已知 A、B 两地相距 150km，某人开车以 60km/h 的速度从 A 到达 B 地，在 B 地停留 1 小 时后，再以 50km/h 的速度返回 A 地，汽车离开 A 地的距离 x 随时间变化的关系式是 3.某厂年生产化肥 8000 吨，计划 5 年后把产量提高到 14000 吨， 则平均每年增长的百分数是（精确到 0.1%） 参考数据：

lg1.4 ? 0.1461 , lg1.75 ? 0.2430 , lg1119? 3.0486 , 5 1.75 ? 1.119, 6 1.75 ? 1.098

设距地面高度 x（km）的气温为 y（℃），在距地面高度不超过 11km 时，y 随着 x 的增加 而降低，且每升高 1km，大气温度降低 6℃；高度超过 11km 时，气温可视为不变。设地面 气温为 22℃，试写出 y ? f ( x) 的解析式，并分别求高度为 3.5km 和 12km 的气温。

【归纳反思】 就一般的数学建模来说，是离不开假设的，如果在问题的原始状态下不作任何假设，将所有 的变化因素全部考虑进去，对于稍微 复杂一点的问题就无法下手了. 【巩固提高】
86

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1.（一次函数模型）某公司市场营销的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图 象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售时的收入是（ ） A310 元 B300 元 C290 元 D280 元 收入 (元 )

1300 800 0 1
销售量 (万件 )

2

x

2.（二次函数模型）将进货单价为 8 元的某商品按 10 元一个售出时，能卖出 200 个，已知 这种商品每涨价 1 元，其销售量减少 20 个，为了获得最大利润，售价应定为（ ） A11 元 B12 元 C13 元 D14 元 3.一家旅社有 100 间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现每间客房每天的 价格与住房率之间的关系如下： 每间每天定价/元 住房率 20 65℅ 18 75℅ 16 85℅ 14 95℅

要使每天收入达到最高，每天定价应为（ ） A20 元 B18 元 C16 元 D14 元 4.（分段函数模型）电讯费调整后，市话费标准为：通话时间不超过 3 分钟，收费 0.2 元； 超过 3 分钟，每增加 1 分钟收费 0.1 元，不足 1 分钟按 1 分钟计算，则通话费 S（元）与通 话时间 t（分钟）的函数图象（如下图）可表示为（ ）

S
0.6 0.4 0.2

S
0.6 0.4 0.2

O

3 6 (A)

t

O

3 6 (B)

t

S
0.6 0.4 0.2

S
0.6 0.4 0.2

O

3 6 (C)

t

O

3 6 (D)

t
）

5.某种菌类生长很快， 长度每天增长 1 倍， 在 20 天长成 4 米， 那么长成 0.25 米要 （
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A1.25 天 B5 天 C16 天 D12 天 6.有一批材料可以建成长 200 米的围墙， 如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地， 中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图），则围成矩形的最大面积 是 .

7.十六大提出全面建设小康社会，国际上常用恩格尔系数（记作 n）来衡量一个国家和地区

n?
人民生活水平的状况，它的计算公式是： 如下表所示： 家庭类型 n 贫困 n>60℅ 温饱 50℅<n ≤60℅ 小康 40℅<n ≤50℅

食品消费水平总额 ? 100% 消费支出总额 ，各种家庭的 n
富裕 30℅<n≤40℅ 最富裕 n≤30℅

根据某地区家庭抽样调查统计预测 1998 年至 2005 年间每户家庭支出总额每年平均增加 1000 元，其中食品消费支出总额每年平均增加 300 元。 （1）若 1998 年该地区家庭刚达到温饱，且该年度消费支出总额为 10000 元，问 2003 年能 否达到小康？请说明理由。 （2）若 2003 年比 1998 年的消费支出总额增加 40%，而其中食品消费支出总额增加 20%， 问 2005 年能否达到小康？请说明理由。

8.某城市自来水厂向全市供应生产与生活用水，蓄水池现有水 9 前吨，水厂每小时向池中注 入 2 千吨水，同时向全市供水， x 小时内供水总量为 8 x ，问： （1）多少小时时池内水量最少？ （2）当蓄水池水量少于 3 千吨时，供水就会出现紧张现象，那么出现这种紧张情况有多长 时间？ （3）为了保证生产，生活的需要，决定扩大生产每小时向池内注水 3 千吨，能否消除供水 紧张现象？为什么？

9.假设国家收购某种农产品的价格是 120 元/担， 其中征税标准为每 100 元征收 8 元 （收税率 m 为 8 个百分点，即 8%），计划可收购 万担，为减轻农民的负担，决定税率降低 x 个百分 点，这样收购量预计可增加 2 x 个百分点。 （1）写出税收

y （万元）与 x 的函数关系式；

（2）当 x 不低于 2 个百分点时，求税率调节后的税收金额比税率调节前的税收金额最少要 减少多少个百分点？
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3.2.3 函数的模型及应用（3）
距离(km)

例 1.如右图所示，表示一位骑自行车者 80 和一位骑摩托者在相距为 80km 的 70 两城镇间旅行的函数图象，由图可 60 知：骑自行车者用 6 小时(含途中 50 休息的 1 小时)，骑摩托者用了 2 40 小时，有人根据这个函数图象，突 自行车 摩托车 30 出了关于这两个旅行者的如右信息： 20 骑自行车者比骑摩托者早出发 3 小时，晚到 1 小时； (2) 骑自行车者是变速运动，骑摩托者是匀速运动； 10 (3) 骑摩托者在出发 1.5 小时后追上了骑自行车者 0 1 2 3 4 5 6 时间(h) 其中正确信息的序号是 例 2.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800 元的部分 不必纳税，超过 800 元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算： 全月应纳税所得额 不超过 800 元的部分 超过 800 元至 2000 元的部分 超过 2000 元至 5000 元的部分 ?? 税率 5％ 10％ 15％ ?? ）

某人一月份应交纳此项税款 26.78 远，则他的当月工资、薪金得介于（ A.800—900 元 B.900—1200 元 C.1200—1500 元 D. 1500—2800 元

例 3. 现测得

? x, y ? 的两组值为 ?1,2? , ? 2,5? ，现有两个拟合模型甲： y ? x2 ?1 ，乙：
作为拟合模型较

y ? 3x ? 1 ，若又测得 ? x, y ? 的一组对应值为 ? 3,10.2? ，则应选用
好

例 4.某厂 1 月、2 月、3 月、生产某种产品分别为 1 万件、1.2 万件、1.3 万件，为了估计以 后每个月的产量， 以这 3 个月的产量为依据， 用一个函数来模拟该产品的月产量
x

y 与月份 x

的关系。模拟函数可选择二次函数或函数 y ? ab ? c （ a、b、c 为常数），已知四月份该 产品的产量为 1.37 万件，试问用以上哪个函数作模拟函数较好？

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【课内练习】 1.今有一组实验数据如下：

t
V

1.99 1.5

3.0 4.04

4.0 7.5

5.1 12

6.12 18.01 ）

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数满足的规律，其中最接近的一个是（

A.

V ? log2 t

V ? log 1 t
B.
2

V?
C.

t 2 ?1 2

D. V ? 2t ? 2

2.画出以下 4 个点：(15，7)，(50，25)，(60，34)，(100，80)，根据散点图，以下四种趋势， 不应该选用（ ） A.指数 B. 乘幂 C.二次函数 D.对数 3.设本金为 a 元，每期利率为 r，本利和为为 y，存期为 x，按复利计算利息，则本利和 y 随 存期 x 变化的函数式为 4.下图是一份统计图表，根据此图表可以得到的以下说法中，正确的有 （ ）
120 115 110 105 100 生活价格指数 生活费收入指数

2000

2001

2002

2003

①这几年人民生活水平逐年得到提高； ②人民生活费收入增长最快的一年是 2000 年； ③生活价格指数上涨速度最快的一年是 2001 年； ④虽然 2002 年生活费收入增长较缓慢，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民生活有 较大的改善 A.1 项 B.2 项 C.3 项 D.4 项

【巩固提高】 1.一辆匀速行驶的汽车 90min 行驶的路程为 180km，则这辆汽车行驶的路程 y（km）与时间 t（h）之间的函数关系式是（ ） A.y=2t B.y=120t C.y=2t (t>=0) D.y=120t (t>=0)
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2. 用一根长为 12m 的细铁丝弯折成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积 是 . 3.某音像社对外出租光盘的收费方法是：每张光盘在租出后的前两天每天收 0.8 元，以后每 天 收 0.5 元 . 那 么 一 张 光 盘 在 租 出 后 的 第 n 天 （ n ? N ） 应 收 的 租 金 是 元。 4.据 2002 年 3 月 5 日九届人大五次会议 《政府工作报告》 “2001 年国内生产总值达到 95933 亿元，比上年增长 7.3%，如果“十五”期间（2001 年-2005 年）每年我国国内生产总值按 此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值约为（ ） A115000 亿元 B120000 亿元 C 127000 亿元 D135000 亿元
?

y

5.有一个空容器，由悬在它上方的一根水管均匀地 注水，直至把容器注满，在注水过程中，水面的高 度曲线如图 29-1 所示，其中 PQ 为一线段，则与图 相对应的容器的形状是（ ）

满
P

Q

空

O

x( 时间 )

(A)

(B)

(C)

(D)

6.如下图，A、B、C、D 是某煤矿的四个采煤点， l 为公路，图中所示线段为道路，ABQP、 BCRQ、CDSR 近似于正方形，已知 A、B、C、D 四个采煤点每天的采煤量之比约为 3：2： 1：5，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比，现要从 P、Q、R、S 中选出一处 设立一个运煤中转站， 使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少， 则地点应选在 （ ） (A) P (B) Q (C) R (D) S
A B C D

S R P Q 7.I某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元，每桶水的进价为 5 元，销售 单价与日均销售量的关系如下表所示：

销售单价(元) 日均销售量(桶)

6 480

7 440

8 400

9 360

10 320

11 280

12 240

请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？

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8.有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品能获得的利润依次是 P 和 Q（万元），它们与投

P?
入资金 x（万元）的关系，有经验公式：

x 3 ,Q ? x 5 5 ，今有 3 万元资金投入经营

甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少，能获得的 最大利润是多少？

9.某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中 的含药量

y ??g?

与时间 t (小时)之间近似满足右图所示曲线

y 6

(1)写出服药后

y 与 t 的函数关系；

0

1

10

x

据测定：每毫升血液中含药量不少于 4

? g 时治疗疾病有效，假如病人一天中第一次服药为

上午 7：00，问一天中怎样安排服药时间(共四次)效果最佳？

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