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《优化探究》2016届高三数学人教A版文科一轮复习课件 第五章 数列 5-2


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第二节
最新考纲展示

等差数列及其前n项和
2.掌握等差数列的通项公式与前 n项 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

1 .理解等差数列的概念. 和公式.

3. 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有

关知识解决相应的问题. 4.了解等差数列与一次函数的关系.

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一、等差数列的定义通项公式及前n项和公式 1.定义:如果一个数列从 第2项 起,每一项与它的前一项的 差 等于同一个常数,那么这个数列就叫作等差数列.符号表示为 ___ an+1-an=d (n∈N ,d为常数). ____________
a+b 2.等差中项:数列 a,A,b 成等差数列的充要条件是 A= 2 ,其 山 东 金 中 A 叫作 a,b 的 等差中项 . 太 阳 3.通项公式:an= a1+(n-1)d . 书 业 n?n-1? ?a1+an?n 有 4.前 n 项和公式:Sn= na1+ 2 d = . 2 限 公 司
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二、等差数列的性质 数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和,则 1.若m+n=p+q,则 am+an=ap+aq . 特别地,若m+n=2p,则am+an=2ap. 2.am,am+k,am+2k,am+3k,?仍是等差数列,公差为 kd . 3.数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?也是等差数列. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

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1.通项公式还可以有 an=am+(n-m)d,an=An+B 等形式,d= an-am . n-m d 2 d 2. 前 n 项和公式 Sn=2n +(a1-2)n 视为关于 n 的一元二次函数, 开 ?a1+an?n 口方向由公差 d 的正负确定;Sn= 中(a1+an)视为一个整体,常 山 2 东 金 与等差数列性质结合利用“整体代换”思想解题. 太 3 .等差数列可分为以下几类: (1)a1>0 , d>0 ; (2)a1<0 , d>0 ; 阳 书 (3)a1>0,d<0;(4)a1<0,d<0;(5)d=0. 业 有 当d>0时,等差数列{an}是单调递增数列; 限 公 当d<0时,等差数列{an}是单调递减数列. 司
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4.am+an=ap+aq(m+n=p+q)特征:(1)等号两侧“项数”相等; (2)序号和相等.可推广:am+an+af=ap+aq+ag(m+n+f=p+q+g). 在前 n 项和公式中应用广泛: Sn = n?ar+an-r+1? . 2 n?a1+an? n?a2+an-1? = =?= 2 2

5.构造新的等差数列: (1)a1+a2,a3+a4,a5+a6,?,是等差数列,

(2)a1+a2+a3,a2+a3+a4,a3+a4+a5,?,是等差数列.

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1.(2014年高考重庆卷 )在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10, 则a7=( A .5 C.10 ∴a7=a1+6d=8. 答案:B ) B.8 D.14 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

解析:由题意a3+a5=a1+2d+a1+4d=10,得d=1,

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? 1 ? 2. 数列{an}中, a2=2, a6=0 且数列?a +1?是等差数列, 则 a4=( ? n ?

)

1 A.2 1 C.4

1 B.3 1 D.6
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? 1 ? 1 1 1 解析:设数列?a +1?的公差为 d,由 4d= - 得 d=6,∴ a6+1 a2+1 ? n ?

1 1 1 1 = +2×6,解得 a4=2,故选 A. a4+1 2+1

答案:A

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3.(2013 年高考辽宁卷)下面是关于公差 d>0 的等差数列{an}的四个 命题: a p1:数列{an}是递增数列;p2:数列{nan}是递增数列;p3:数列 n 是
? 递增数列;p4:数列? ?an+3nd?是递增数列. ? ?

? ? n? ? ? ? ? ? ? ?

其中的真命题为(
A.p1,p2

)
B.p3,p4

C.p2,p3

D.p1,p4

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解析:∵{an}是等差数列, ∴设 an=a1+(n-1)d. ∵d>0,∴{an}是递增数列,故 p1 正确;

山 东 a1-d 3 金 当- 2d >2时, 由二次函数的对称性知 a1>2a2, {nan}不是递增数列, 太 阳 书 p2 不正确; 业 有 限 公 司
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a1-d nan=dn +(a1-d)n 的对称轴方程为 n=- 2d ,
2

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? a1-d ?an? ? an ? ?是递减数列,p 不正确;a +3nd 3 n n n =d+ n ,当 a1-d>0 时,? ? ? ?

=4nd+a1-d,4d>0, {an+3nd}是递增数列, p4 正确. 故 p1, p4 是真命题. 选 山 东 D. 金 太 答案:D 阳 书 业 有 限 公 司
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4.(2014年辽宁五校联考)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若S7=
35,则a4等于( A .8 ) B.7

C.6

D.5
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7?a1+a7? 解析:由题意 =7a4=35,所以 a4=5. 2
答案:D

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1 5.在等差数列{an}中,若 a4+a6+a8+a10+a12=90,则 a10-3a14 的值为( A.12 C.16 ) B.14 D.18

1 解析: 由 a4+a6+a8+a10+a12=5a8=90 得 a8=18, 则 a10-3a14=(a8 山 东 金 1 2 太 +2d)-3(a8+6d)=3a8=12. 阳 书 答案:A 业 有 限 公 司
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等差数列的基本运算(自主探究)
例 1 (1)(2015 年江西师大附中模拟)已知{an}为等差数列,且 a7- 2a4=-1,a3=0,则公差 d=( A.-2 1 C.2 ) 1 B.-2 D.2

(2)(2015年宁德模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a2=1,a4 =5,则S5等于( )

A.7
=________.
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B.15

C.30

D.31

(3)若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前n项和Sn

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解析

(1)解法一 由条件得, a =1, 2

? ?a1+6d-2?a1+3d?=-1, ? 1 ? 解得? 1 a + 2 d = 0 , d =- . ? 1 ? ?
解法二 由 a3=0 得

1 a7-2a4=a3+4d-2(a3+d)=2d=-1,即 d=-2. (2)解法一
?a1+d=1, ?a1=-1, 由条件得,? ∴? a + 3 d = 5 , ? 1 ?d=2.

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5×4 5×4 ∴S5=5a1+ 2 d=5×(-1)+ 2 ×2=15. 5?a1+a5? 5?a2+a4? 5?1+5? 解法二 S5= = = 2 =15. 2 2 (3)解法一 由题意,S6=23,S9=57.

?a1=-1, ? ?6a1+15d=23, 3 ∴? ∴? ?9a1+36d=57, ?d=5 ? 3.
n?n-1? 1 n?n-1? 5 5 7 ∴Sn=na1+ 2 d=-3n+ 2 ×3=6n2-6n.

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解法二 设等差数列的前 n 项和 Sn=an2+bn,

?a=5, ? 6 ?36a+6b=23, 则由题意可得? 解得? 7 81 a + 9 b = 57 , ? ?b=-6 . ?
5 7 故数列的前 n 项和 Sn=6n2-6n.
答案 5 7 (1)B (2)B (3)6n2-6n

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规律方法 的思想.

(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,

an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程组解决问题 (2) 数列的通项公式和前 n项和公式在解题中起到变量代换的作用, 山 而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方 东 金 太 法. 阳 书 业 有 限 公 司
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等差数列的判定(师生共研)

例2

(2015年滨州市质检)已知数列{an}满足a1=3,an·an-1=2an-

1-1(n≥2).

(1)求a2,a3,a4;

1 (2)求证:数列 是等差数列,并求出{an}的通项公式. an-1
解析 (1)∵an· an-1=2an-1-1, 又 a1=3,由递推公式知,an≠0, 2an-1-1 ∴an= , a n- 1 5 7 9 ∴a2=3,a3=5,a4=7.
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1 (2)证明:易知 an-1≠0,所以 an=2- . an-1 1 1 当 n≥2 时 , - = an-1 an-1-1 a n- 1 1 1 = - =1. an-1-1 an-1-1 an-1-1 1 1 =2, a1-1 1 1 所以 是以2为首项,以 1 为公差的等差数列, an-1 1 1 1 因此 =2+(n-1)· 1=n-2. an-1 2n+1 2 所以 an= +1= . 2n-1 2n-1
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2-

-1 an-1

1 1

1 - = an-1-1

1 1-

1 -

an-1

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规律方法 证明一个数列{an}为等差数列的基本方法有两种: (1)利用等差数列的定义证明,即证明an+1-an=d(n∈N*). (2)利用等差中项证明,即证明an+2+an=2an+1(n∈N*). 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

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1 . (2014 年高考大纲全国卷 ) 数列 {an} 满足 a1 = 1 , a2 = 2 , an + 2 =

2an+1-an+2.
(1)设bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列; (2)求{an}的通项公式.

解析:(1)证明:由an+2=2an+1-an+2得,
an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2. 又b1=a2-a1=1.

所以{bn}是首项为1,公差为2的等差数列.

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(2)由(1)得 bn=1+2(n-1),即 an+1-an=2n-1.
n k= 1 n k= 1

于是 ∑ (ak+1-ak)= ∑ (2k-1), 所以 an+1-a1=n2,即 an+1=n2+a1. 又 a1=1,所以{an}的通项公式为 an=n2-2n+2.
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等差数列的基本性质(师生共研)
例3 (1)(2014年天津新华中学模拟 )在等差数列{an}中,如果a1+ ) B.144 D.66

a4+a7=39,a3+a6+a9=27,数列{an}前9项的和为( A.297 C.99

山 东 (2)一个等差数列{an}的前 12 项的和为 354,前 12 项中偶数项的和 金 太 32 阳 S 偶与前 12 项中奇数项的和 S 奇之比为27,则公差 d=________. 书 业 有 限 公 司
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解析 (1)由 a1+a4+a7=39,得 3a4=39,a4=13. 由 a3+a6+a9=27,得 3a6=27,a6=9. 9?a1+a9? 9?a4+a6? 9×?13+9? 所以 S9= = = =9×11=99,故选 C. 2 2 2 S +S =354, ? ? 偶 奇 (2)由题意,可知?S偶 32 = , ? ?S奇 27
?S偶=192, ∴? ?S奇=162.

又项数为 12 的等差数列中 S 偶-S 奇=6d, ∴d=5.

答案 (1)C (2)5
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规律方法 在等差数列前 n 项和中还常用到以下性质: (1)项数为偶数 2n 的等差数列{an}: S2n=n(a1+a2n)=?=n(an+an+1). S奇 an S 偶-S 奇=nd, = . S偶 an+1

山 东 S2n+1=(2n+1)an+1. 金 太 S奇 n+1 阳 = n .(其中 S 奇、S 偶分别表示数列{an}中所有奇数项、偶数项的 书 S偶 业 有 和) 限 公 司
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(2)项数为奇数(2n+1)的等差数列{an}:

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2.等差数列{an}中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,则该数列的 前13项和为( A.13 C.52 ) B.26 D.156

山 解析:3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,∴6a4+6a10=24,∴a4+a10 东 金 13?a1+a13? 13?a4+a10? 13×4 太 =4,∴S13= = = = 26 ,故选 B. 2 2 2 阳 书 答案:B 业 有 限 公 司
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1 3.在等差数列{an}中,a9=2a12+6,则数列{an}的前 11 项和 S11= ( ) A.24 C.66 B.48 D.132

山 东 由等差数列的性质得,2a9-a12=a6+a12-a12=12,则 a6=12,所以 金 太 阳 11?a1+a11? 11×2a6 S11= = 2 =132,故选 D. 书 2 业 有 答案:D 限 公 司
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1 解析:由 a9=2a12+6 得,2a9-a12=12,

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