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2015年高考数学模拟预测试卷(新课标)24

2015 年高考数学模拟预测试卷(新课标)
1.平面 α 经过三点 A(-1,0,1),B(1,1,2),C(2,-1,0),则下列向量中与平面 α 的 法向量不垂直的是( ) A.(

1 ,-1,-1) 2

B.(6,-2,-2) D.(-1,1,4)

C.(4,2,2)

2.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别为棱 AA1 和 BB1 的中点,则 sin〈 CM ,D1 N 〉 的值为( A. ) B.

1 9

4 5 9

C.

2 5 9

D.

2 3
)

3.如图,平面 ABCD⊥平面 ABEF,四边形 ABCD 是正方形,四边形 ABEF 是矩形,且 AF =

1 AD=a,G 是 EF 的中点,则 GB 与平面 AGC 所成角的正弦值为( 2

A.

6 6

B.

3 3

C.

6 3

D.

2 3

4.如图所示,ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 6 的正方体,E、F 分别是棱 AB、BC 上的动点, 且 AE=BF.当 A1、E、F、C1 共面时,平面 A1DE 与平面 C1DF 所成二面角的余弦值为( )

A.

3 2

B.

1 2

C.

1 5

D.

2 6 5

5.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD 为正三角形,底面 ABCD 为正方形,侧面 PAD ⊥底面 ABCD,M 为底面 ABCD 内的一个动点,且满足 MP=MC,则点 M 在正方形 ABCD 内 的轨迹为( )
试卷第 1 页,总 5 页

6. 在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 已知 AB=1, D 在棱 BB1 上, 且 BD=1, 则 AD 与平面 AA1C1C 所成的角的正弦值为( ) A.

6 4

B.-

6 4

C.

10 4

D.-

10 4

7.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ACB=90°,2AC=AA1=BC=2.若二面角 B1-DC -C1 的大小为 60°,则 AD 的长为( )

试卷第 2 页,总 5 页

A. 2

B. 3

C.2

D.

2 2

8.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E、F 分别是棱 BC、DD1 上的点,如果 B1E ⊥平面 ABF,则 CE 与 DF 的和的值为________.

9.已知棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 A1B1 的中点,则直线 AE 与平面 ABC1D1 所成角的正弦值为________.

10.已知在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,底面是边长为 2 的正方形,高为 4,则点 A1 到截 面 AB1D1 的距离是________.

试卷第 3 页,总 5 页

11. 设动点 P 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的对角线 BD1 上, 记 为钝角时,λ 的取值范围是________.

D1 P =λ .当∠APC D1 B

12. 如图, 在直三棱柱 A1B1C1-ABC 中, AB⊥AC, AB=AC=2, A1A=4, 点 D 是 BC 的中点.

(1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值; (2)求平面 ADC1 与平面 ABA1 夹角的正弦值.
试卷第 4 页,总 5 页

13.如图,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,侧棱 A1A⊥底面 ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD =1,AA1=AB=2,E 为棱 AA1 的中点.

(1)证明:B1C1⊥CE; (2)求二面角 B1-CE-C1 的正弦值; (3)设点 M 在线段 C1E 上,且直线 AM 与平面 ADD1A1 所成角的正弦值为

2 ,求线段 AM 6

的长. 14.如下图所示,ABCD 是边长为 3 的正方形,DE⊥平面 ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE 与平面 ABCD 所成的角为 60°.

(1)求证:AC⊥平面 BDE; (2)求二面角 F-BE-D 的余弦值; (3)设点 M 是线段 BD 上一个动点,试确定点 M 的位置,使得 AM∥平面 BEF,并证明你的 结论. 评卷人 得分 四、新添加的题型

试卷第 5 页,总 5 页

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参考答案 1.D 【解析】设平面 α 的法向量为 n,则 n⊥ AB ,n⊥ AC ,n⊥ BC ,所有与 AB (或 AC 、

BC )平行的向量或可用 AB 与 AC 线性表示的向量都与 n 垂直,故选 D.
2.B 【解析】设正方体的棱长为 2,以 D 为坐标原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴建立空 间直角坐标系(如图),可知 CM =(2,-2,1), D1 N =(2,2,-1),cos〈 CM , D1 N 〉 =-

1 4 5. ,sin〈 CM , D1 N 〉= 9 9

3.C 【解析】如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系,

则 A(0,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,2a),G(a,a,0),F(a,0,0), AG =(a,a,0), AC = (0,2a,2a), BG =(a,-a,0), BC =(0,0,2a), 设平面 AGC 的法向量为 n1=(x1,y1,1),
答案第 1 页,总 8 页

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由?

? ? AG ? n1 ? 0 ? ? AC ? n1 ? 0

??

?ax1 ? ay1 ? 0 ? x1 ? 1 ?? ? n1=(1,-1,1). ?2ay1 ? 2a ? 0 ? y1 ? ?1
2a 6 = . 3 2a ? 3

sinθ =

BG ? n1 BG ? n1



4.B 【解析】以 D 为原点,DA、DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系, 易知当 E(6,3,0)、F(3,6,0)时,A1、E、F、C1 共面,设平面 A1DE 的法向量为 n1=(a,b,c), 依题意得

? ? DE ? n1 ? 6a ? 3b ? 0 ? ? ? DA1 ? n1 ? 6a ? 6c ? 0
可取 n1=(-1,2,1),同理可得平面 C1DF 的一个法向量为 n2=(2,-1,1),故平面 A1DE 与平 面 C1DF 所成二面角的余弦值为

n1 ? n2 1 = .故选 B. 2 n1 ? n2

5.A 【解析】以 D 为原点,DA、DC 所在直线分别为 x、y 轴建系如图:设 M(x,y,0),设正方形 边长为 a,则 P(

a 3 ,0, a ),C(0,a,0), 2 2

答案第 2 页,总 8 页

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则|MC|= x ? ? y ? a ? ,
2 2
2 ? 3 ? a? ? |MP|= ? x ? ? ? y 2 ? ? . ? 2 a? ? 2? ? ? ? 2

由|MP|=|MC|得 x=2y,所以点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为直线 y= 6.A 【解析】取 AC 中点 E,连接 BE,则 BE⊥AC, 如图,建立空间直角坐标系 B-xyz, 则 A(

1 x 的一部分. 2

3 1 , ,0),D(0,0,1), 2 2
1 3 ,- ,1). 2 2

则 AD =(-

∵平面 ABC⊥平面 AA1C1C,BE⊥AC, ∴BE⊥平面 AA1C1C. ∴ BE =(

3 ,0,0)为平面 AA1C1C 的一个法向量, 2 6 , 4

∴cos〈 AD , BE 〉=-

设 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为 α , ∴sinα =|cos〈 AD , BE 〉|=

6 ,故选 A. 4

7.A 【解析】如图,以 C 为坐标原点,CA,CB,CC1 所在的直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间 直角坐标系,则 C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2),

答案第 3 页,总 8 页

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设 AD=a,则 D 点坐标为(1,0,a), CD =(1,0,a), CB1 =(0,2,2), 设平面 B1CD 的一个法向量为 m=(x,y,z). 则?

? ?CB1 ? m ? 0 ? ? AD ? m ? 0

??

?2 y ? 2 z ? 0 ,令 z=-1, ? x ? az ? 0

得 m=(a,1,-1),又平面 C1DC 的一个法向量为 n(0,1,0), 则由 cos60°=

m?n 1 1 ,得 = ,即 a= 2 ,故 AD= 2 . m?n a2 ? 2 2

8.1 【解析】以 D1A1、D1C1、D1D 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,设 CE=x,DF=y,则易 知 E(x,1,1), B1(1,1,0), ∴ B1E =(x-1,0,1), 又 F(0,0,1-y), B(1,1,1), ∴ FB =(1,1, y),由于 AB⊥B1E,故若 B1E⊥平面 ABF,只需 FB · B1E =(1,1,y)·(x-1,0,1)=0?x+y =1. 9.

10 5
1 , 2

【解析】如图建立空间直角坐标系, AB =(0,1,0), AD1 =(-1,0,1), AE =(0, 1), 设平面 ABC1D1 的法向量为 n=(x,y,z), 由 n· AB =0,n· AD1 =0,可解得 n=(1,0,1) 设直线 AE 与平面 ABC1D 所成的角为 θ ,则 sinθ =

AE ? n AE ? n



10 5

10.

4 3

【解析】如图建立空间直角坐标系 D-xyz, 则 A1(2,0,4),A(2,0,0), B1(2,2,4),D1(0,0,4),

AD1 =(-2,0,4),
AB1 =(0,2,4), AA1 =(0,0,4),
设平面 AB1D1 的法向量为 n=(x,y,z), 则?

? ? AD1 ? n ? 0 ? ? AB1 ? n ? 0

,即 ?

??2 x ? 4 z ? 0 ?2 y ? 4 z ? 0
答案第 4 页,总 8 页

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解得 x=2z 且 y=-2z,不妨设 n=(2,-2,1), 设点 A1 到平面 AB1D1 的距离为 d, 则 d=

AA1 ? n n



4 . 3

11.(

1 ,1) 3

【解析】本题主要考查了用空间向量求直线间的夹角,一元二次不等式的解法,意在考查考 生的空间想象能力以及运算求解能力. 以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系 D - xyz ,则有 A(1,0,0), B(1,1,0), C(0,1,0), D1(0,0,1), 则 D1B =(1,1, -1), 得 D1P =λ D1B =(λ , λ ,-λ ),所以 PA = PD1 + D1 A =(-λ ,-λ ,λ )+(1,0,-1)=(1-λ ,-λ ,λ -1), PC = PD1 + D1C =(-λ ,-λ ,λ )+(0,1,-1)=(-λ ,1-λ ,λ -1),显 然∠APC 不是平角, 所以∠APC 为钝角等价于 PA · PC <0, 即-λ (1-λ )-λ (1-λ )+(λ -1) <0,即(λ -1)(3λ -1)<0,解得
2

1 1 <λ <1,因此 λ 的取值范围是( ,1). 3 3

12. (1)

3 10 10

(2)

5 3

【解析】解:(1)以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz,则 A(0,0,0), B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),A1(0,0,4),C1(0,2,4),∴ A 1B =(2,0,-4),C1D =(1, -1,-4).

答案第 5 页,总 8 页

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∵cos〈 A 1B , C1D 〉=

A1 B ? C1D A1B ? C1D



18 3 10 = , 10 20 ? 18
3 10 . 10

∴异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值为

(2)设平面 ADC1 的法向量为 n1=(x,y,z),∵ AD =(1,1,0), AC1 =(0,2,4),∴n1· AD =0, n1· AC1 =0, 即 x+y=0 且 2y+4z=0, 取 z=1, 得 x=2, y=-2, ∴n1=(2, -2,1) 是平面 ADC1 的一个法向量.取平面 AA1B 的一个法向量为 n2=(0,1,0),设平面 ADC1 与平面 ABA1 夹角的大小为 θ . 由 cosθ =

n1 ? n2 n1 ? n2



2 2 5 = ,得 sinθ = . 3 9 ?1 3
5 . 3

因此,平面 ADC1 与平面 ABA1 夹角的正弦值为

13. (1)见解析

(2)

21 7

(3) 2

【解析】解:本题可通过建立空间坐标系求解. 如图,以点 A 为原点建立空间直角坐标系,依题意得 A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1), B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0).

(1)证明:易得 B1C1 =(1,0,-1),CE =(-1,1,-1),于是 B1C1 · CE =0,∴B1C1⊥CE. (2) B1C =(1,-2,-1).

答案第 6 页,总 8 页

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设平面 B1CE 的法向量 m=(x,y,z), 则?

? ? B1C ? m ? 0 ? ?CE ? m ? 0

,即 ?

?x ? 2 y ? z ? 0 ?? x ? y ? z ? 0

消去 x,得 y+2z=0,不妨令 z=1,可得一个法向量为 m=(-3,-2,1). 由(1),B1C1⊥CE,又 CC1⊥B1C1,可得 B1C1⊥平面 CEC1,故 B1C1 =(1,0,-1)为平面 CEC1 的 一个法向量. 于是 cos〈m, B1C1 〉=

m ? B1C1 m ? B1C1



?4 2 7 21 =- ,从而 sin〈m, B1C1 〉= , 7 7 14 ? 2

故二面角 B1-CE-C1 的正弦值为

21 . 7

(3) AE =(0,1,0), EC1 =(1,1,1). 设 EM =λ EC1 =(λ ,λ ,λ ),0≤λ ≤1,有 AM = AE + EM =(λ ,λ +1,λ ).可 取 AB =(0,0,2)为平面 ADD1A1 的一个法向量. 设 θ 为直线 AM 与平面 ADD1A1 所成的角,则 sinθ =|cos〈 AM , AB 〉|=

AM ? AB AM ? AB



2?

? 2 ? ? ? ? 1? ? ? 2 ? 2
2



?
3? ? 2? ? 1
2

.

于是

?
3? ? 2? ? 1
2



1 1 2 ,解得 λ = (λ =- 舍去), 3 5 6

∴AM= 2 .

14. (1)见解析

(2)

13 13

(3)M 的坐标为(2,2,0),见解析

【解析】 解:(1)∵DE⊥平面 ABCD, ∴DE⊥AC,∵ABCD 是正方形,∴AC⊥BD, 又 DE∩BD=D, ∴AC⊥平面 BDE. (2)∵DE⊥平面 ABCD,∴∠EBD 就是 BE 与平面 ABCD 所成的角,即∠EBD=60°. ∴

ED = 3 .由 AD=3,得 DE=3 6 ,AF= 6 . BD

如图所示, 分别以 DA, DC, DE 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系, 则 A(3,0,0), F(3,0, 6 ),E(0,0,3 6 ),B(3,3,0),C(0,3,0),

答案第 7 页,总 8 页

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∴ BF =(0,-3, 6 ), EF =(3,0,-2 6 ). 设平面 BEF 的法向量为 n=(x,y,z),则

? ? ? BF ? n ? 0 ??3 y ? 6 z ? 0 ,即 ? . ? ? ? ? EF ? n ? 0 ?3x ? 2 6 y ? 0
令 z= 6 ,则 n=(4,2, 6 ). ∵AC⊥平面 BDE, ∴ CA =(3,-3,0)为平面 BDE 的一个法向量, ∴cos〈n, CA 〉=

n ? CA n ? CA



6 13 = . 13 26 ? 3 2
13 . 13

又二面角 F-BE-D 为锐角,故二面角 F-BE-D 的余弦值为

(3)依题意,设 M(t,t,0)(0≤t≤3),则 AM =(t-3,t,0), ∴AM∥平面 BEF,∴ AM ·n=0, 即 4(t-3)+2t=0,解得 t=2. ∴点 M 的坐标为(2,2,0),此时 DM =

2 DB , 3

∴点 M 是线段 BD 上靠近 B 点的三等分点.

答案第 8 页,总 8 页