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高中数学选修2-2第1章1.3.2函数的极值与导数课件人教A版_图文

1.3.2 函数的极值与导数 -1- 目标导航 目标导航 知识梳理 重难聚焦 典例透析 1.结合函数图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条 件. 2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超 过三次). -2- 目标导航 知识梳理 知识梳理 重难聚焦 典例透析 1.极值点与极值 (1)极小值点与极小值. 如图,函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值 f(a)比它在点 x=a 附近其他 点的函数值都小,f'(a)=0;而且在点 x=a 附近的左侧 f'(x)<0,右侧 f'(x)>0,则把点 a 叫做函数 y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数 y=f(x)的极 小值. (2)极大值点与极大值. 如图,函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的 函数值都大,f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则 把点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.极 小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值. -3- 目标导航 知识梳理 知识梳理 重难聚焦 典例透析 【做一做1】 已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图,则 ( A.函数f(x)有1个极大值点,1个极小值点 B.函数f(x)有2个极大值点,2个极小值点 C.函数f(x)有3个极大值点,1个极小值点 D.函数f(x)有1个极大值点,3个极小值点 答案:A 2.判断函数y=f(x)极值的方法 解方程f'(x)=0,当f'(x0)=0时: (1)如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是极大值; (2)如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是极小值. ) -4- 目标导航 知识梳理 知识梳理 重难聚焦 典例透析 归纳总结一般地,如果函数y=f(x)在某点处可导,那么“函数y=f(x)在 这一点处的导数为0”是“函数y=f(x)在这点取得极值”的必要不充分 条件. 【做一做 2-1】 关于函数的极值,下列说法正确的是 ( ) A.函数的极值在区间端点处取得 B.函数的极小值一定小于它的极大值 C.f(x)在定义域内最多只能有一个极大值和一个极小值 D.如果 f(x)在区间(a,b)内有极值,那么 f(x)在(a,b)内不是单调函 数 解析:易知选项 A,B,C 均不正确.对于 D,不妨设 x0 是 f(x)在区间 (a,b)内的极小值点,则在 x0 附近,当 x<x0 时,f(x)>f(x0),当 x>x0 时,f(x)>f(x0),故在 x0 附近函数 f(x)不单调,即 f(x)在区间(a,b)内不是单 调函数,故选 D. 答案:D -5- 目标导航 知识梳理 知识梳理 重难聚焦 典例透析 【做一做 2-2】 函数 y=2-x2-x3 的极值情况是( A.有极大值,没有极小值 B.有极小值,没有极大值 C.既无极大值也无极小值 D.既有极大值也有极小值 解析:y'=-2x-3x2,令 y'=0, ) 2 2 得 x1=? , x2 = 0. 当x<? 时,y'<0; 3 3 2 当 ? < x < 0 时,y'>0;当 x>0 时,y'<0. 3 2 故当 x=? 时,函数有极小值;当 x=0 时,函数有极大值.故选 D. 3 答案:D -6- 目标导航 知识梳理 重难聚焦 典例透析 1.如何正确理解极值? 剖析:极大值与极小值统称为极值. 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值 指的是函数值.关于极值请注意以下几点: (1)极值是一个局部概念.由定义知,极值只是某个点的函数值与 它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个 定义域内最大或最小. (2)函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上或定义域内的 极大值或极小值可以不止一个. -7- 目标导航 知识梳理 重难聚焦 典例透析 (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.在某一点的极小值 也可能大于另一点的极大值,即极大值不一定比极小值大,极小值也 不一定比极大值小.如图所示. (4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极 值点. (5)若函数在极值点处存在导数,则这点的导数为0,但导数为0的 点可能不是函数的极值点.也就是说,若f'(c)存在,则“f'(c)=0”是“f(x) 在x=c处取到极值”的必要条件,但不是充分条件. -8- 目标导航 知识梳理 重难聚焦 典例透析 (6)若f(x)在区间(a,b)内有极值,则f(x)在(a,b)内一定不是单调函数, 即在某区间内单调的函数没有极值. (7)如果函数f(x)在[a,b]上有极值,那么它的极值点的分布是有规 律的.相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样,相邻两个极 小值点之间必有一个极大值点.一般地,当函数f(x)在[a,b]上连续且 有有限个极值点时,函数f(x)在[a,b]上的极大值点、极小值点是交 替出现的. -9- 目标导航 知识梳理 重难聚焦 典例透析 2.如何求 f(x)的极值? 剖析: -10- 目标导航 知识梳理 重难聚焦 典例透析 归纳总结极值点可以看成是函数单调递增区间与单调递减区间的 分界点.极大值是极大值点附近曲线由上升到下降的过渡点的函数 值.极小值则是极小值点附近曲线由下降到上升的过渡点的函数值. -11- 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 知识梳理 重难聚焦 典例透析 -12- 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 知识梳理 重难聚焦 典例透析 解:(1)函数 f(x)的定义域为 R; f'(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2). 令 f'(x)=0,得 x=-2 或 x=

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