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任意角三角函数 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式


正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
尝试回忆 1、1 弧度的角;2、角度制与弧度制的互化;3、弧长公式及扇形面积公式;4、用弧度 制表示第一象限内的角的集合和 x 轴上的角的集合。 2、特别注意:角度与弧度不要混用。如 k? ? 900 , k ? Z ,应写成 k ?1800 ? 900 , k ? Z 或 k? ?

?
2

,k ?Z

3、初中所学的锐角的正、余弦函数是如何定义的? 探究新知 1、单位圆 在直角坐标系中,以原点为圆心,以单位长为半径的圆,称为单位圆。 单位长:可以是 1cm、1m、1km、1 光年等。单位圆可根据需要移到其它地方。 2、任意角的正、余弦函数定义 在直角坐标系中,给定单位圆,对于任意角α ,使角α 的顶点与原点重合,始边与 x 轴正半轴重合,终边与单位圆交于点 P(u,v),则交点 P 的纵坐标 v 叫作角α 的正弦函数, 记作 v=sinα ; 点 P 的横坐标 u 叫作角α 的余弦函数,记作 u=cosα . y α 通常,用 x 表示自变量,用 x 表示角的大小,用 y 表示函数值,因此 定义任意角的三角函数 y=sinx 和 y=cosx,定义域为 R,值域为[-1,1]。 P(a,b) 设点 P(a,b)是角α 终边上除原点之外的任意一点,记 r ? a2 ? b2 则定义 sin ? ? O x

b a , cos ? ? . 更具有一般性。 r r

3、三角函数值的符号 根据定义,三角函数值的符号仅与点 P 的纵、横坐标的符号有关。sinα 在一、二象限 为正,三、四象限为负;cosα 在一、四象限为正,二、三象限为负.轴线角的正余弦函数值 也有符号。 例 1 功能:会求任意角的三角函数值。其步骤(1)画角; (2)求交点坐标。可联立方 程?

? x 2 ? y 2 ? 1, ? y ? ? x.

解得; (3)求值。

4、单位圆与周期性 在单位圆中找到角

?
6

, 2? ?

?
6

, 4? ?

?
6

等与单位圆的交点,说明: (1)终边没变; ( 2)

交点没变; (3)交点的纵、横坐标没变。从而说明正弦函数值没变,余弦函数值没变。即

sin(4? ?

?
6

) ? sin(2? ?

?
6

) ? sin

?
6

, cos(4? ?

?
6

) ? cos(2? ?

?
6

) ? cos

?
6

.

从而说明终边相同的角的正弦函数值相等,终边相同的角的余弦函数值相等。即

sin(2k? ? x) ? sin x, k ? Z .cos(2k? ? x) ? cos x, k ? Z .
说明:对于任意一个角 x,每增加 2? 的整数倍,其正弦函数值、余弦函数值均不变。 所以,正弦函数值、余弦函数值均是随角的变化呈周期性变化的。这种随自变量的变化函数
第 1 页 共 5 页

值呈周期性变化的函数叫做周期函数。特别指出,周期性不是三角函数特有的,一般函数也 有 周 期 性 。 周 期 函 数 的 自 变 量 不 一 定 是 角 。 2? 是 y ? sin x, x ? R 的 周 期 , 则

2k? , k ? Z , k ? 0 都是它的周期,并且它的所有周期中有一个最小的正数 2? ,称 2? 为它
的最小正周期。 同理 2? 也是 y ? cos x, x ? R 的最小正周期。 有的周期函数没有最小正周期, 如 f ( x) ? 2, x ? R. 任意一个正数都是它的周期,但没有一个最小的正数。 周期函数的严格定义:一般地,对于函数 f ( x ) ,如果存在非零常数 T ,对定义域内的任 意一个 x 值,都有 f ( x ? T ) ? f ( x) ,则称 f ( x ) 为周期函数, T 为它的一个周期。 单位圆与诱导公式 利用单位圆的对称性: 通过观察角的终边的对称性以及角的终边与单位圆交点坐标的对称 性,探寻角?与 ??,? ? ? ,? ? ?,? ? 等正、余弦函数关系,得到诱导公式。便于推导, y 也方便记忆。把用对称找点的坐标作为重点。 1、角 ? 与 ?? 的正、余弦函数关系 P(x,y)

?

2

sin(?? ) ? ? sin ? ,cos(?? ) ? cos ? .
2、角 ? 与 ? ? ? 的正、余弦函数关系 P’(x,-y)

M

o

x P (x,y)

y

sin(? ? ? ) ? ? sin ? , cos(? ? ? ) ? ? cos ? . sin(? ? ? ) ? ? sin ? , cos(? ? ? ) ? ? cos ? .
3、角 ? 与 ? ?? 的正、余弦函数关系

o

x P1 (-x,-y)

sin(? ? ? ) ? sin ? ,cos(? ? ? ) ? ? cos ? .
也可以由 1、2 两组公式推出 P (x,y)

y P2 (-x,y) o P1 (x,-y) y P1 (-y, x) M1 o M P (x,y) x x

sin(? ? ? ) ? ? sin(? ? ? ) ? ?(? sin ? ) ? sin ? , cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ? cos ? .
4、角 ? 与

?
2

? ? 的正、余弦函数关系

sin(? ? ) ? cos ? , cos(? ? ) ? ? sin ? . 2 2
5、角 ? 与

?

?

?

6、任意角 ? 的正、余弦函数的诱导公式 (1) 2k? ? ?

sin( ? ? ) ? cos ? , cos( ? ? ) ? sin ? . 2 2

?

2

? ? 的正、余弦函数关系

?

y M1

P1 (y, x) P (x,y)

sin(2k? ? ? ) ? sin ? ,cos(2k? ? ? ) ? cos ? .(k ? Z )

o
第 2 页 共 5 页

M

x

y=x

(2) ??

sin(?? ) ? ? sin ? ,cos(?? ) ? cos ? .
(3) 2? ? ?

sin(2? ? ? ) ? ? sin ? ,cos(2? ? ? ) ? cos ?
(4) ? ? ?

sin(? ? ? ) ? ? sin ? ,cos(? ? ? ) ? ? cos ? . sin(? ? ? ) ? sin ? ,cos(? ? ? ) ? ? cos ? .
(5)

?
2

??

余弦函数值等于 ? 的同名三角函数值,加上把 ? 看成为锐角时,对应的三角函数值的符号。 如 把 ? 看 成 锐 角 时 , 2? ? ? 终 边 在 第 四 象 限 , 其 余 弦 值 为 正 , 函 数 名 称 不 变 , 所 以

sin( ? ? ) ? cos ? , cos( ? ? ) ? ? sin ? . sin( ? ? ) ? cos ? , cos( ? ? ) ? sin ? . 2 2 2 2 3? ?? 补: 2 3? 3? 3? 3? sin( ? ? ) ? ? cos ? , cos( ? ? ) ? sin ? . sin( ? ? ) ? ? cos ? , cos( ? ? ) ? ? sin ? . 2 2 2 2 2k? ? ? 、 2? ? ? 、 ?? 、? ? ? 记忆规律: “函数名不变,符号看象限” 。即它们的正、

?

?

?

?

cos(2? ? ? ) ? cos ?

?
2

?? ,

“余”名: “正 ? 的“余”名三角函数值,加上把 ? 看成为锐角时,对应的三角函数值的符号。 ? 则余,余则正” 。如把 ? 看成锐角时, ? ? 终边在第二象限,其余弦值为负,函数名称改变, 所以 cos(

3? ? ? 记忆规律: “函数名改变,符号看象限” 。即它们的正、余弦函数值等于 2

?
2

2

? ? ) ? ? sin ? 。

7、诱导公式的作用 ( 1)可把任意角的三角函数值转化为 0 ~

?
2

的三角函数值求出。一般地:负角化正角

( ?? ) ,再化成为 0 ~ 2? ( 2k? ? ? ) ,再化成为 0 ~ 限用 ? ?? ,第四象限用 2? ? ? . (2)化简 (3)求值 例1. 求下列函数值 (1) sin(-

?
2

求出。第二象限用 ? ?? ,第三象

7 π) 4

(2)sin( ?

31? ); (3)sin(-1650?); 6

解: (1) sin(-

7 ? ? 2 π )=sin(-2π + )=sin = 4 4 4 2

第 3 页 共 5 页

(2) cos(?

31? 31? 7? 7? ? ? 3 ) ? cos ? cos(4? ? ) ? cos ? cos(? ? ) ? ? cos ? ? . 6 6 6 6 6 6 2
1 2

(3)sin(-1650?)=-sin1650?=-sin(4×360?+210?)=-sin210? =-sin(180?+30?)=sin30?=

例 2.化简: 解:原式=1

sin ?2? ? ? ?sin ?3? ? ? ? sin ?? ? ? ? ?sin ?3? ? ? ?sin ?? ? ? ? ?

三角函数诱导公式习题
一、选择题 1.如果|cosx|=cos(x+π) ,则 x 的取值集合是( ) A.- C.
π π +2kπ≤x≤ +2kπ 2 2 π 3π +2kπ≤x≤ +2kπ 2 2

B.-

π 3π +2kπ≤x≤ +2kπ 2 2

D. (2k+1)π≤x≤2(k+1)π(以上 k∈Z)

2.sin(- A.
1 2

19π )的值是( ) 6

B.-

1 2

C.

3 2

D.-

3 2

3.下列三角函数: ①sin(nπ+
4π π π π ) ;②cos(2nπ+ ) ;③sin(2nπ+ ) ;④cos[ (2n+1)π- ] ; 3 6 3 6

⑤sin[ (2n+1)π- 其中函数值与 sin A.①② D.①③⑤ 4.若 cos(π+α)=- A.- D.
6 2 6 3

π ] (n∈Z) . 3

π 的值相同的是( ) 3

B.①③④

C.②③⑤

10 π 3π ,且 α∈(- ,0) ,则 tan( +α)的值为( ) 5 2 2

B.

6 3

C.-

6 2

5.设 A、B、C 是三角形的三个内角,下列关系恒成立的是( ) A.cos(A+B)=cosC D.sin 二、填空题
A? B C =sin 2 2

B . sin ( A+B ) =sinC

C . tan ( A+B ) =tanC

第 4 页 共 5 页

7.若 α 是第三象限角,则 1 ? 2 sin( π ? ? ) cos( π ? ? ) =_________. 8.sin21° +sin22° +sin23° +…+sin289° =_________. 三、解答题 9.求值:sin(-660° )cos420° -tan330° cot(-690° ) .

10.证明:

2 sin( π ? ? ) ? cos? ? 1 tan(9 π ? ? ) ? 1 ? . tan(π ? ? ) ? 1 1 ? 2 sin2 ?

1 1 11.已知 cosα= ,cos(α+β)=1,求证:cos(2α+β)= . 3 3

14. 求证: (1)sin( (2)cos(

3π -α)=-cosα; 2

3π +α)=sinα. 2

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