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选修2-1课件:3.2立体几何中的向量方法(2)


3.2 立体几何中的向量方法(2) ----向量法在平行、垂直关系中的应用 引入: 因为直线的方向向量与平面的法 向量可以确定直线和平面的位置, 所以我们可以利用直线的方向向量 与平面的法向量表示空间直线、平 面间的平行、垂直、夹角等位置关 系. 平行关系 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? 的法向量分别为 u , v ,则 线线平行 k ? R. l ∥m ? a ∥b ? a ? k b ; l ∥? ? a ? u ? a ? u ? 0 ; 线面平行 面面平行 ? ∥ ? ? u ∥v ? u ? k v . k ? R. 注意:这里的线线平行包括线线重合,线面平行 包括线在面内,面面平行包括面面重合. 垂直关系 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? 的法向量分别为 u , v ,则 线线垂直 线面垂直 面面垂直 l ⊥m ? a ⊥b ? a ? b ? 0 ; k ? R. l ⊥? ? a ∥ u ? a ? k u ; ? ⊥ ? ? u ⊥v ? u ? v ? 0. 平行关系、垂直关系的向量表示: 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? 的法向量分别为 u , v ,则 k ? R. l ∥m ? a ∥b ? a ? k b ; l ∥? ? a ? u ? a ? u ? 0 ; 线线平行 线面平行 面面平行 ? ∥ ? ? u ∥v ? u ? k v . k ? R. l ⊥m ? a ⊥b ? a ? b ? 0 ; 线线垂直 线面垂直 面面垂直 k ? R. l ⊥? ? a ∥ u ? a ? k u ; ? ⊥ ? ? u ⊥v ? u ? v ? 0. l 2的方向向量,根据下列 例1 (1)设a ? b分别是直线 l1 ? 条件判断 l1与 l 2 的位置关系: ① a ? (2, 3, ?1), b ? (?6, ?9, 3) ② a ? (5, 0, 2), b ? (0, 4, 0) ③ a ? (?2,1, 4), b ? (6, 3, 3) ①平行或重合 ②垂直 ③斜交或异面(不垂) ? 的法向量,根据下列条件 例1 (2)设 u? v分别是平面 ? ? 判断 ? 与 ? 的位置关系: ① u ? (1, ?1, 2), v ? (3, 2, ? ) ② u ? (0, 3, 0), v ? (0, ?5, 0) 2 ③ u ? (2, ?3, 4), v ? (4, ?2,1) 1 ①垂直 ②平行或重合 ③相交(不垂直) 例1 (3)设 u是平面 ? 的法向量, a是直线 l 的方向向 量,根据下列条件判断 ?与 l 的位置关系: ① u ? (2, 2, ?1), a ? (?3, 4, 2) ② u ? (0, 2, ?3), a ? (0, ?8,12) ③ u ? (4,1, 5), a ? (2, ?1, 0) ① l ? ?或l∥? ②垂直 ③斜交 巩固性训练 1、设平面 ? 的法向量为(1,2,-2),平面 ? 的法向量为 (-2,-4,k),若 ? // ? ,则k= ;若 ? ? ? 则 k= 。 2、已知 l // ? ,且 l 的方向向量为(2,m,1),平面 ? 的法向量为(1,1/2,2),则m= . 3、若 l 的方向向量为(2,1,m),平面 ? 的法向量为 (1,1

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