当前位置:首页 >> 数学 >>cxlx123

xinjian16:242平面向量数量积的坐标表示,模,夹角22424-PPT精品文档_图文

www58avav f3838com www.694432.com vw998.com www.7232.com js12345.com 402456.com

ag1021vip WWW.365388.COM wwwjs72288com www46899com www.tk26co.com www.n95588.com tycjt795.com

2.4.2

平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角

复习

? ? 1、向量夹角的定义: OA ? a , OB ? b , 则 ? AO ? ? ? ? a 与 b 共起点,范 [ 0 , ? ]

?? ? ? ? b ? | a || b | cos ? 2、数量积的定义: a

规定0与任何向量的数量积为0 ? ? ? 3、投影: |b|cos ?叫做 b 在 a 方向上的投 4、数量积的几何意义:

? ? ? ? ? ? a?b 的长度 | a |与b 等于 a 在 a 方向上的投 ? |b|cos ? 的乘积。

5、数量积的重要性质 ? ? ? ? 方向相同的 e 是与 b 、 b是非零向量, 设a

? ? 单位向量, ? 是 a 与 e的夹角,则 ? ?? ?? ( 1 ) e ? a ? a ? e ? | a | cos ? ?? ? ( 2 ) a ? b ? a ? b ? 0 ? ?? ?? ? ( 3 ) 当 a 与 b 同向时, a ? b ? | a || b |; ? ? ?

?

? a?b (4 )cos ?? ? ? |a||b|

? ? ? 当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? | a || b |; ? ? ?2 ? ?? 特别地, a ?a? |a | 或 |a | ?a ?a ?

? ?? ? ( 5 ) | a ? b | ? | a || b |

二、新课学习
1、平面向量数量积的坐标表示

如图, i 是x轴上的单位向量, j 是y 轴上的单位向量,

?所以 由于 a?b? a ? b c os
i ? i ?1 . j ? j ? 1 .
i ? j ? j ? i ?0 .
b

y A(x ,y ) 1 1
j

B(x2,y2)

a

o i

x

一.平面两向量数量积的坐标表示

a ? x , y , b ? x , y a , b 非 零 向 量 ? ? ? ? 1 1 2 2

?

?

a ? x i? yj ,b ? x i? yj 1 1 2 2
a ?? b ( x i ? y jx ) ( i ? y j ) 1 1 2 2
2 2 ? x x i ? x y i ? j ? x y i ? j ? y y j 1 2 1 2 2 1 1 2

i ? i ?1 ,

j ? j ?1 , i?j? j?i ? 0

? a ? b ? x x ? y y 12 12

故两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和。即 y A(x ,y )
1 1

a ?b ? x x y y . 1 2? 1 2

B(x2,y2)
b
j

a
i

o

x

根据平面向量数量积的坐标表示,向量 的数量积的运算可转化为向量的坐标运算。

2、向量的模和两点间的距离公式
2

( 1 ) a ?a ? a或 a? a ?a ;

(1)向量的模 设a ? ( x, y ),则 a ? x ? y , 或 a ?
2 2 2 2 2

x ?y ;

(2)两点间的距离公式 设A(x1 , y1 )、B( x2 , y2 ), 则 AB ? (x1 ? x2 ) ? (y1 ? y2 )
2 2

3、两向量垂直和平行的坐标表示 (1)垂直 a ? b ? a ? b ? 0

设 a? ( x ,y ), b?(x 则 1 1 2, y 2), a? b? x x 0 1 2 ?y 1y 2?
(2)平行 设 a? ( x ,y ), b?(x 则 1 1 2, y 2),

a // b? x x 0 1y 2? 2y 1?

4、两向量夹角公式的坐标运算
? 设 a 与 b 的夹角为 ?( 0? ?? ?180 ),

则 cos ??

a? b ab

设 a? ( x b? (x2, y2), 且 a 与 b 夹角为 ? , 1, y 1), (0 ?? ?180 )则 cos ??
? ? 2 1 2 1 2 2

x 1x 2 ?y 1y 2 x ?y ? x ?y
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2

.

其中 x ? y ?0 , x ? y ?0.

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
例1

已 知 a ? ( ? 3 , 4 ) , b ? ( 6 , ? 8 ) , 求 a , b , a ? b , a ? b ? a ? b .

5 10 ?50 ? 75

?? ??

练习 1.设a =(2,3),b =(-1,-2),c=(2,1),求

( a ? bc ) ? ; ab ? (? c )
解: a ? b ? 2? (?1) ? 3? (?2) ? ?8
?(a ? b ) ? c ? ?8 ? (2,1) ? (?16, ?8) b ? c ? (?1) ? 2 ? (?2) ?1 ? ?4 ?a ? (b ? c ) ? ?4 ? (2,3) ? (?8, ?12)

1.处理向量垂直问题

已 知 a? ( 1 ,x ) ,b? ( 3 , 1 ) 例2 .

( 1 ) 当 x 为 何 值 时 , 2 a + b 与 a? 2 b 平 行 ?

( 2 ) 当 x 为 何 值 时 , 2 a + b 与 a? 2 b 垂 直 ?

1 ( 1) ? 3

3 (2) ? 3或 2

例3 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),
试判断?ABC的形状,并给出证明.
证明 : ? AB ? ( 2 ? 1 , 3 ? 2 ) ? ( 1 , 1 )

y B(2,3) A(1,2)

C(-2,5) AC ? ( ? 2 ? 1 , 5 ? 2 ) ? ( ? 3 , 3 )
? AB ? AC ? 1 ? ( ? 3 ) ? 1 ? 3 ? 0

? AB ?AC

0 ? 三角形 ABC 是直角三角形 .

x

变式

在△ABC中,AB =(2, 3), AC =(1, k),

且△ABC的一个内角为直角,求k值. 解:当A = 90?时,AB ? AC=0, ∴2×1+3×k=0 2 ? ∴k = 3 当B = 90?时, AB ? BC= 0,BC = A C ? AB = (?1, k?3)
11 ∴2×(?1) +3×(k?3) = 0 ∴k = 3

当C = 90?时, AC ? BC = 0,

3 ? 13 ∴?1 + k(k?3) = 0 ∴k = 2

3 11 3 ? 13 ? 或 或 综上所述 k? 2 3 2

在直角坐标系xoy中,i,j 分别是与x轴,y轴正方向 同向的单位向量,在Rt△ABC中,AB=2i+j, AC=3i+kj,则 k 的可能值个数是( )
A.1 B. 2 C. 3 D. 4

2.处理向量的夹角问题
,又c=2a+b,d=a+mb, 例4 设a=(1,2),b=(-2,-3) 0

若c与d的夹角为45 ,求实数m的值。 3 m ? 5 1.已知 a ? ( 1 , 2 ) , b ? ( ? 2 , ? 4 ) , || c ? 5 2 ? 5 若 (a ? b ) ? c ? ,则a与c的夹角为 3 2 13 0 0 2.已知 a ? ( c o s ? , s i n ? ) ( 0 ? ? ? 3 6 0 ) , b ? ( ? , ) 22 ? 则a+b与a-b的夹角为

2

3 : 若 向 量 b 与 向 量 a = ( 1 , 2 ) 的 夹 角
(-3,6) 为 1 8 0 , 且 | b | = 3 5 , 则 b = _ _ _ _ _
o

23 4 : 已 知 a= ( 3 mm , ) ( m<0 ) , b= ( 2 , ) , 3 则 a 与的 b 夹 角 ? 是 ( )A A6 0
o

B 9 0

o

C1 2 0 D由 m 的 取 值 确 定

o

3.处理向量模的问题

??? ( c o s , s i n ) , b ? ( 3 ,1 ? ) 1.向量 a 则 | 2 a - b | 的最大值,最小值分别是 4 , 0

? ? 1 3 0 0 2 . 已知 a? (cos ? ,sin ? )( 0? ??360 ), b? ( ? , ). 2 2 ? ? ? ? ( 1 )若 | 3 a? b|? | a? 3 b|, 求 ?的值。 ? ? ? ? ( 2 )求向量 a? b 与 a? b 的夹角。

? ( c o s ? , s i n ? ) ,( b ? c o s ? , s i n ? ) , 0 ? ? ? ? ? ? 3.已知 a (1)求证: a ? b 与 a ? b 互相垂直; (2)若 ka ? b 与 a ? kb 的长度相等, 求 β - α 的值. (k为非零的常数)

1.设向量 a 与 b 的夹角为 θ,且 a=(3,3),2b-a=(-1,1),求 sin θ
2

2.若 a=(2,3),b=(-4,7),求 a 在 b 方向上的投影。

3.a=(-4,3),b=(5,6),求 3|a| -4a· b
4.已知一次函数y=-x+a的图象交抛物线 y=x2的
2+5a 图象于A,B两点,O是坐标原点,若 O A? O B> 6

求实数a的取值范围。

5.已知向量 a= (- 3,2), b= (2,1),t∈ R. 求 |a+ tb|的最小值及相应的 t 值.

? ? ? 1 . 已知向量 a ? (cos ? , sin ? ), b ? (cos ? , sin ? ), c ? ( ? 1 , 0 ). ? ? ( 1 ) 求向量 b ? c 的长度的最大值。 ? ? ?? ( 2 ) 设 ? ? 且 a ? ( b ? c ) ,求 cos ? 的值。 4

? 1 3 ? 2 . 已知 a?( 3 ,? 1 ), b?( , ), 存在实数 k 和 t使得 2 2 2 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? k? t x?a?( t ? 3 ) b , y?? k a? tb ,且 x?y ,试求 t 的最小值。

平面向量的应用
一、证明不等式

1 . 证明:对于任意的 a ,b ,c ,d ? R ,不等式
2 2 2 2 2

( ac ? bd )? ( a? b)( c? d) 恒成立。 ? ? ? ? ?? 提示:构造向量 m , n , 利用不等 | m ? n | ? | m || n |

变式
2 . 设 ( x? y)( a? b)? ( ax ? by )( ab ? 0 ), x y 求证: ? a b
2 2 2 2 2

4 4 2 2 3 32 1 . 设 a ,b 为不等正数,求证: ( a ? b )( a ? b )? ( a ? b )

2 . 已知 x? y? 3 , a? b? 4 , x ,y , a , b ? R ,
2 2 2 2

求 ax ? by 的最值。

2 2 2 2 3 . 已知 a 1 ? b ? b 1 ? a ? 1 , 求证: a ? b ? 1

4 . 已知 y ? x? 1 ?( 1 ? x )? 4 ,求 y 的最小
2 2

例2.如图,连接平行四边形ABCD的一个顶点至AD、DC边 的中点E、F,BE、BF分别与AC交于R、T两点,你能发现 AR、RT、TC之间的关系吗? 解 : 设 A B ?? a , A D b , 则 A C ? a ? b , F C D A R ? n ( a ? b ) A RA 与 C 共 线 ,设 T 1 E 又 E B ? A BA ?E ? a ?b R
E R 与共 E B线 , 1 ? 设 E R ? m E B ? m ( a ?b ) 2
2

A

B

1 1 1 A R ? A E ? E R ? b ??? m ( ab ) m a ? ( 1 ? m ) b 2 2 2 1 n?m ? n ( a ? b ) ? m a ?( 1 ? m ) b ? 1 ? 2 解得n ? m ? ?? 1 1 3 ?AR ? AC ? n ? (1 ? m )

1 1 A RR TT ? C 同 理 T C ?A C ,R T ?A C ?? 3 3

3

?

2

练习: 已 知 直 角 三 角 形 的 两 直 角 边 长 为 4 和 6 , 试 用

向 量 方 法 求 两 直 角 边 中 线 所 成 钝 角 的 余 弦 值 .
解法一: 如 图 以 A BA , C 分 别 为 x 轴 ,

y 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 , 则 A 0 ,,, 0 , B 4 0 , C 0 6 , ? ? ? ? ? ?

C
E

y

6
B

易 知 两 中 点 为 E 0 , 3 , F 2 , 0 , ? ? ? ?

? B E ? ? 4 , 3 , C F ? 2 ,6 ? ? ? ? ? O ?? B E C F ? 4 ? 2 ? 3 ? ? 62 ? ? 6 ?? ??
2 2 2 2

A

F 4

x

B E ? ? 4 ? 3 ? 5 , C F ?? 2 ? 62 ? 1 0 ?? ?? ? 2 6 1 3 B E C F ? ?? 1 0 ? c o s? B E ,C F ? ? 5 0 ? 21 0 B E ?C F 5

练习: 已 知 直 角 三 角 形 的 两 直 角 边 长 为 4 和 6 , 试 用

向 量 方 法 求 两 直 角 边 中 线 所 成 钝 角 的 余 弦 值 . 1 1 法二 设 A B ? a , A C ? b , 则 B E ? ? a ? b , C F ? ? b ? a 2 2 C 1? 1? ? ? ? B E C F ??? b ?? b a ?a 2 ? ? ? 2 6 ? ? ? ? E 12 12 ? ? a? b? ?? 81 8 ? ? 2 6 2 2 B A F 4 B E ? 5 ,C F ? 21 0

? 2 6 1 3 ? c o s? B E ,C F ? ? ? ?? 1 0 5 0 B E ?C F 5 ? 21 0
B E C F

练习1、证明直径所对的圆周角是直角 如图所示,已知⊙O,AB为直径,C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°
分析:要证∠ACB=90°,只须证向 A 量 AC ? CB ,即 AC ?CB ?0。 解:设 A 则 Oa ?, O C ? b
O

C B

A C ? a ? b , C B ? a ? b
A C ? C B ? abab ? ?
2 2 2 2

? ? ? ?

? a? b ?a ?b ?r ? r ?0
2 2

即 A ,∠ACB=90° C ? C B ? 0

例3. 已知正方形ABCD中,如图点P为对角线AC上任一 点,PE⊥AB于点E,PF ⊥BC于点F,连接DP、EF, C D 求证: DP⊥EF. 证明: 设 A B ? a , A D ? b , P F A ,P , C 三 点 共 线 , 则 设 A P ? ? A C ? ? ab ?

E P ? ? A D ? ? b ? A E ?? A B a , P F ? E B ? 1 ? a , ? ?

? D P ? A P ? A D ? a ? b ? b ? a ? ? 1 b ? ?
E F ??? E P P F b ? 1 ? a ? ?
2 2

??

? ?

? ? ? ? ? D P E F ? a ? ? 1 b b ? 1 ? a ? ? ? ? ? ? ? ?

?

? ? 1 ? ? a ? ? ? ? 1 b ? 0 基向量法 ? ? ? ? ab ? 0 ,a?b ? D P ? E F 即 D P ? E F .

? ? ??
?

? ?

? ? ?? ?

?

A

E

B

证明二: 如 图 以 A BA , D 分 别 为 x 轴 ,

y
C
F

y 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 , P 不 妨 令 正 方 形 边 长 为 1 , 则 A 0 , 0 , B 1 , 0 , C 1 , 1 , D 0 , 1 ? ?? ??? ? ? 设 P , 则 E , 0 , F 1 ,? , ?, ? ? ? ? A E ? D P = ,? 1 , E F = 1 ? ,? , ? ? ?

D

? ? ? ? ? D P E F = ? , ? ? 1 1 ? ? , ? ? ? ? ?
建系坐标法

? ? ?

?

B

x

= ? 1 ? ? ? ? ? 1 ? ? 0 ? ? ? ? ? D P ? E F 即 D P ? E F .


以下是今天幸运会员获奖名单

hg9188a.com,dianwanbuyusongfenkexiafen,daodejingtxtxiazai,7138n.cc,www.6866843.com,aaak123,1q3e4r,www.1022.com,www.31162.com,www.44994138.com,www.999702.com,8871hhcom

www.pj5599h.com,ll8531448,hongmao手机观看网址,WWW.RR888.COM,qifa382com,m.ks2888.com,www.3040lu.com,921lao.com,liuqiang521,chun6663,wwwxpj7819com,www.lbs0888.com,www.908dd.com,41ssssssss42s1s93.rt4wf7.cn/?p=465',c788jl,zxkdy,www.498suncity.com,1669,www.5000778.com,www.3iiii.com,wwwyh98868com,xpj4117com,www.566877.com,www.62771133.com,www. kxx23.com,m.jiefuku.com,www.619m.com,WWW.DA33333.COM,WWW.TS88888.COM,www.366034.com,ak0000,gg888.88xbgg,ss462.com,www.t6565.com,xjiex021,50999ecom,00094s.com,www.pnetool.com,ainibank.com,558uu最新网站,WWW.0231.COM,yb2884.com,js55.com,xiaoshuoheitie,se747.com,www.3dinnet.com,c348106000,8139.ag,www.hg0727.com,9xxtvcon,www6388jscom,www.pj8.tw,www29522com,www512765com,xj071,WWW.8849JJ.COM,www.680wb.com,www.4797com,smdianying,qyy4711com,yh674.com,www.top002.com,xj1984,www.hg2342.com,yl8749.com,305jscom,wwwxgn9com,www.637ww.con,www.435NN,www706com,www.yinxiu484.com,su188.com,WWW.RF002.COM,9058753.com,12个人写真艺术,wwwddf0088com,www.44460.com,www50186com,6248b.com,www.4455nx.com,www6123006co,tyc3779.com,www.hnximing.com.cn,www.7755dd.com,www.147.com,cp7607com,www.t2t3.com,www.579032.com,www178309765com,live120com,weiba555,4734com,www.atm567.com,yazhougengxinzuikuaiwumashipin,www.63668.com,www.te99.hapcsm.cn,37770474,www.470761.com,33qyl.top,www.py720com,222zq.com,a7100.com,www.318hh.com,www.402n1.com,lswjs001.com,boying201,c3336919672,yb1877com,jiediluanxiaoshuo,www541234com,12622com,8271lb.com,www.live884.com,bb397,hg5000.com,www.18509.com,7388100.com,www.111we.m.,WWW.WW-63608.COM,248ee,kl188,hjj918,www.888la.tom,wwwhitenecom,www.a578125.com,ckkbaimao1,7415ff.com,www.7789752.com,www.SALONUAT.COM,http://www.maomiav.com/,kongfeifei,cq727530030,www.824176.com,bet678cc,aa77aa,www.600700.com,315196669@qq.com,wan9976.com,WWW.386KC.COM,www.by1282,www.sun777.com,gcgc29,www.53886.com,www18977com,www.9442222.com,www.8865588.com,www.f57823.com,www.750msc.com,filmylx88cn,www.xpj8883.com,tlc717,www.lhcsos.com,39159g.com,538se网站最新网址,www.786789.com,www3863iicom,www.974688.com,www.yl1389.com,sha0077,www9973jscom,wwwvip70577com,www3657777.com,www301hhcom,ccc066com,www8254bcom,www.yy678.net,WWW.4153.COM,falao6789.com|

www.hg33d.com,cbcbz.com,wh2828,www.jsw678.com,v2f8.com,1082df.com,888468com,www400007com,wwwg0008com,a85489,788115.net,www7f3fcom,wwwb70266com,mdgjwasn,www.bm5316.com,www.bozbala.com,5139100.com,WWW.XX6655.COM,js5629com,5kk.com,www.10033777.com,WWW.4694W.COM,www.4915z.com,www.5759.com,kmnb. cc,www.19996u.com,WWW.618MSC.COM,www.678246.com,2019nianmianfeiguankanzuixinroudongman,1968@dd.com,yiluxiangxiwanzhengban,lehu1281com,8x8xcom最新版2019网站,t55.com,71585656.com,2455s2.csm,www.ate666.com,841348com,www3651net,www.hg7819.com,www.setoutou.com,wwwyc72com,wwwv1029com,www.MM88FF.com,www.3993132.com,4499908.com,www.7139.com,www.335505.com,26278.com,www.dzjstf.com,qaz628,zqy456,44448.C0m,www.22284.com,1520887541@qq.com,huangjiayule,www.99tzzy4,911gaocom,988788com,WWW.JNHTYJ008.COM,www221122com,phb888,www.419yy.com,o773776.com,www.9993735.com,kent507,dongguang,www.22sisi.com,WWW.3789.CN,amjsjt1.com,www647acom,www.txbb8.com,www.557117.com,lh7082.com,WWW.S789BB.COM,wwwjin456com,htts://WWW.4946...,www.ss31365.com,www112114,wwwmybwin27com,601903166@qq.com,www.403969.com,789456.com,8706cc,www.kirbyn.com,guifuzaixianbofangguankan,www.63305i.com,www.gao.av.com,sytr78,zppsf,www958011com,www.6660551.com,lh6152.com,www.www-vns88111.com,www.7220024.com,wxc300com,liyizi520,842.com,www.2001sun.com,18级做人爱c视频正版免费,www.66123.com,www.xingkong1234.com,bb365e.com,www.abchina.com,m.ks0816.com,www.4462.cc,www.8887989.com,www.99567z.com,www.l33889.cc,www.xpj2746.com,www.bet3937.com,ag87243,yemalu. con,www.78787878.net,dgrongfang,www.wlfree.com,www.amjs61.com,www.am9955.com,lbb6886.com,WWW.PJ000111.COM,37770474,www.yn111.cn,www66suncitycom,47779.com,sb071,www.8987c.com,uedbethuigui,mitao95,www.tt33889.com,www.yuexw.com,madelihuanggongguanwangkexinbu,hg4646com,www.www.youle27.comwww.youle640.com,fwqp33,wwwqq188zzcom,yy9299con,www.lb3000.com,www.858741.com,WWWSHUNV18COM_WWW.SHUNV18,COM,liuke1987,www.2490g.com,qqqttt,hubo520,bet365448365365.com,WWW.CDMYWX.COM,WWW.688922.COM,www88995524com,www.668kk.com,www.4444lck.com,100720967@qq.com,d.20sqw.com,ee9841.com,ag5360cn,www.2968o.com,www.eee443.com,ag.00297744.com,68556com,www22737com,www.bzd11.com,sun9800,www.cc222.org,www.hg995.com,0968com,15021250712,www.see520.com,chaopengzuixinwangzhandizhi,wy88888,www.jc44444.com|

www535235com,www.dafa8888lb.com,benchibaomayuwanyouxixiazai,70485com,youfa0888com,www.068888.com,kb6445com,hy8869.com,www.01838.com,joujoujou,www.g22668,www.977966.COM,v3488.com,12msccom,97yh.cc,www.hg8595.com,www.8218.com,4078p.com,1108msccom,uu98cc,www.787688.com,2222b1,wwwpj51319com,891026617@QQ.com,www.8633dd.com,dd3333,wwwlongdu280com,868168.com,lh3579.com,w75335.com,xpj6536com,www.1515x.com,www.67356.com,www.5780578.com,wwwmjs00088com,59666z.com,WWWy822266com,www.971782.com,119447.com,xpj4798.com,bet5862com,www.tianlula,5222.com,www.sb1889.com,makodi,334820108,wwwkhwarpknittingcom,www.bjl57.com,zyd555,qianniantxtxiazai,vw718.com,www.0648811.com,www2630com,hg8038.com,www.13751.com,wwwvns525com,200hh.com,yh9510.com,https://www.3457pp.com/vod/,www2287aacom,c2450673907,99kbo影院,agent.t9999.com,tt66.com,wwwpj344com,www.xyj8015.com,www.bl8888.com,yzytkj.com,www.76033251.com,2655z8.com,899161com,www.195hh.com,www.54aaaa.com,wwwvv198net,wwwd0033com,www.yd508.com,www.123f4.com,6146a.com,www.0138l.com,www.51626.com,m.900k8.net,js1011com,hg6261.com,841823com,wwwbmw799com,www.yantasy.com,zd6889.com,WWW.55CMSC.COM,lmc1989,WWW.130655.COM,www.118888u.com,www.letiantu.com,wwwzzz91880com,k3721com,ggg123456,www.791845.com,49829..com,limin999,okok899.com,ke99,zb22.vip,wwwdf5111com,ybyl663.com,xg99.net,www.ag5599.com,9999+++,bosheng. com,www984999com,www.pacomo47.com,www.cxcp29.com,www.xfa50.com,shoucun30song39,hg609com,avxiazai,18058.com,www.h8989.com,9830,www.765777.com,qyy0399com,tyc9693.com,WWW.316666.COM,www.pj150.com,www.hg6168.com,hjcp30,www.213166.com,www.3344jl.con,www.9485.com,www.bifa0068.com,18936824929,a348455756,www.am6601.com,jlh6888com,www.9100058.com,www.3xc,7783lb.com,js3287com,www.9052.com,www.esball.me,eixiagu446,www476681com,9646e.com,www500ccc,www.710ff.com,www.997999www.997999.com,y8898,老湿网,yt7999.com,wwwjlh18888com,wwwaiwin9com,hua543,www.ylzz6660.com,www.0080.cc,www.8841154.com,www.4895.com,ag81070,www977909com,四色AV-sise,四色,5257y.com,www997723com,hg5588.com,byc06.com,jxlong8.com,shi8950,6629.com,www.2005005.com,www.f28.com,www.yddc06.com,4040vn.com|

zaixianguankanerrenzuorenai,2946633946,国产自拍偷拍在线精品视频. www.gao54.com 23.244.60.230 www.192yx.com,www.3467n.co,www.4381.com,hg5313.com,www.hg6696.com,www.4444168.com,ag83372.com,tai88,2141.com,www.54228.com,www.4111u.com,www.js5227.com,wwwEN3333COM,gasi,dafengjun,808964com,www.13bbb.com,g8507.com,www.22222zr.com,keeejie23,天使影院,www.82599o.com,099y.com,cijdi,5k777com,wwwmg4281com,wan0064.com,bet365385.com,tengbohuizhucezhanghao,1472793005@qq.com,jbl8635.com,565522tcom,899969.com,sesefa,www.yh09000.com,www.546389.com,www.516812.com,wwwdh5555com,wwwhp8888com,wx111,xiaoyue1987,qyy3581com,xpj6901.com,wwwg7385com,949899778,www.640085.com,www.nantong.com,WWW.4438X,COm,1882.CC,qq474con,www.6786.ww,www.sbd244.com,japanesejizz,e8023.com,pyhmotogp,www.xinaomen9.com,760sun.com,www.81733.com,www.5588b.com,hg4220com,yyd0660,www.dz9333.com,seojun1987,www.133740.com,www.55403k.com,www.789pao.com,831998com,6863vip.com,www.92220891.com,bangbros.com,www.wap.hh0889.com,www624022com,www.m.428826.com,www.js9904.com,fc473.com,www.9575.com,www.341aaa.com,www.hg0480.com,6500s.cc,555btt.com,x3300.com,sts6666,wwwgjjf1.com,6485ds,www.378989.com,kz688,lh0277.com,www.712kb.com,hg4242.com,WWWM5188COM,www.gao00.com,bf8806,www.zdj52.com,563msc.com,www.bet0199.com,www.rb6873.com,www2083114com,xg14345678.com,878961com,cp835.cc,www.138065.com,www.51294.com,wwwhg6403com,6326.vip,www. gg 246.com,wwwbet77888com,hk6857.com,xpj9191.com,www.906666.com,www.3008t.com,www.jj.cn,zuijianüpeitxtxiazai,www.530519.com,www.g5452.com,www44999acom,41019609832c867Ggg,49833con,wwwg3038com,c2065943413,459777.com,991930775,14455n,mlyt1212,www55777365com,9w5mt,lh3293.com,wch2414@163.com,77fff77,www. 067222.com,jingyingguojiyule,www.720559.com,ag88738.com,www99bxbxcom,WWW.CDLSJC.COM,www.dyj500.com,yb0627com,1085022674,www.pj555011.com,91061com,8008626.com,http://dy.taketw.com/z8/?url=,www365331scom,www.zzz4045.com,www.4455vv.com,yh3444.com,ddfff.com,3290l.com,616633115,bet9037com,b9499.com,wwwbet365110net,zhaobfen_5030@qq.com,xiaowei7,ag806com,www.9940h.com,www.vns0938.com,m.csjdgs.com,123c,0008v,www.199199.com,www.mgm777.com,3730-148,www.v8363.com,gg5817,www.501571.com,www.fh906.com|

以上会员名单排名不分前后