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弦长公式


弦长公式

弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1] 其中 k 为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点,"││"为绝对值符号,"√" 为根号 证明方法如下: 假设直线为:Y=kx+b

圆的方程为:(x-a)^2+(y-u)^2=r^2 假设相交弦为 AB,点 A 为(x1.y1)点 B 为(X2.Y2) 则有 AB=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^ 把 y1=kx1+b. y2=kx2+b 分别带入, 则有: AB=√(x1-x2)^2+(kx1-kx2)^2 =√(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2 =√1+k^2*│x1-x2│ 证明 ABy1-y2│√[(1/k^2)+1] 的方法也是一样的 证明方法二 d=√(x1-x2}^2+(y1-y2)^2 这是两点间距离公式 因为直线 y=kx+b 所以 y1-y2=kx1+b-(kx2+b)=k(x1-x2) 将其带入 d=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 得到 d=√(x1-x2)^2+[k(x1-x2)]^2 =√(1+k^2)(x1-x2)^2 =√(1+k^2)*√(x1-x2)^2 =√(1+k^2)*√(x1+x2)^2-4x1x2 公式二 抛物线 y2=2px,过焦点直线交抛物

抛物线

线于 A(x1,y1)和 B(x2,y2)两点,则 AB 弦长:d=p+x1+x2 y2=-2px,过焦点直线交抛物线于 A ﹙x1,y1﹚和 B﹙x2,y2﹚两点,则 AB 弦长:d=p-﹙x1+x2﹚ x2=2py,过焦点直线交抛物线于 A﹙x1,y1﹚和 B﹙x2,y2﹚两点,则 AB 弦长:d=p+y1+y2 x2=-2py,过焦点直线交抛物线于 A﹙x1,y1﹚和 B﹙x2,y2﹚两点,则 AB 弦长:d=p﹙y1+y2﹚ 公式三 d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)[(x1+x2)^2 - 4x1x2] = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2] 关于直线与圆锥曲线相交求弦长,通用方法是将直线 y=kx+b 代入曲线方程,化为关于 x(或关于 y)的一元二次方程, 设出交点坐标, 利用韦达定理及弦长公式√(1+k^2)[(x1+x2)^2 - 4x1x2]求出弦长,这种整体代换,设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分 有效的,然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐,利用圆锥 曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。 d =√[(1+k^2)△/a^2] =√(1+k^2)√(△)/|a| 在知道圆和直线方程求弦长时,可利用方法二,将直线方程代入圆方程,消去 一未知数, 得到一个一元二次方程,其中△为一元二次方程中的 b^2:-4ac ,a 为二次项系数。 补遗:公式 2 符合椭圆等圆锥曲线 不光是圆。公式/|a|是在整个平方根运算后再进行 的……(先开平方了然后再除) 2 式可以由 1 推出,很简单,由韦达定理,x1+x2=-b/a x1x2=c/a 带入再通分即可…… 在知道圆和直线方程求弦长时也可以用勾股定理(点到直线距离、半径、半弦)。

点差法
点差就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候,利用直线 和圆锥曲线的两个交点,并把交点代入圆锥曲线的方程,并作差。求出直线的斜率,然后利用中点求出 直线方程。 利用点差法可以减少很多的计算,所以在解有关的问题时用这种方法比较好。 点差法:适应的常见问题: 弦的斜率与弦的中点问题; ①注意:点差法的不等价性; (考虑⊿>0) ②“点差法”常见题型有:求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题。 在解答平面解析几何中的某些问题时,如果能适时运用点差法,可以达到“设而不求”的目的,同时, 还可以降低解题的运算量,优化解题过程. 这类问题通常与直线斜率和弦的中点有关或借助曲线方程中 变量的取值范围求出其他变量的范围。 与圆锥曲线的弦的中点有关的问题,我们称之为圆锥曲线的中点弦问题. 解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是 :联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判 别式,根与系数的关系,中点坐标公式及参数法求解.

若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标(x1,y1),(x2,y2),将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两 式作差,得到一个与弦的 中点和斜率有关的式子 ,可以大大减少运算量.我 们称这种代点作差的方 法为"点 差法". 求直线方程或求点的轨迹方程 例 1 抛物线 X^2=3y 上的两点 A、B 的横坐标恰是关于 x 的方程 x^2+px+q=0,(常数 p、q∈R)的两 个实根,求直线 AB 的方程. 解:设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 x1^2=3y1 ①;x1^2 +px1+q=0 ②; 由①、②两式相减,整理得 px1+3y1+q=0 ③; 同理 px2 +3y2+q=0 ④. ∵③、④分别表示经过点 A(x1,y1)、B(x2,y2)的直线,因为两点确定一条直线. ∴px+3y+q=0,即为所求的直线 AB 的方程. 例 2 过椭圆 x^2+4y^2=16 内一点 P(1,1)作一直线 l,使直线 l 被椭圆截得的线段恰好被点 P 平分, 求直线 l 的方程. 解:设弦的两端点为 P1(x1,y1)、P2(x2,y2),则 x1^2+4y1^2=16,x2^2+4y2^2=16, 两式相减,得(x1﹣x2)(x1+x2)+4(y1﹣y2)(y1+y2)=0,因为 x1+x2=2,y1+y2=2,∴等式两边同除(x1 ﹣x2),有 2+8k=0∴k=﹣0.25.故直线 l 的方程为 y﹣1=﹣0.25(x﹣1),即 4y + x﹣5=0 求圆锥曲线方程用点差法 定义:我们把平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于一个常数的轨迹称为双曲线。 定义 1:

平面内,到两个定点的距离之差的绝对值为常数(小于这两个定点间的距离 [1] )的点的轨迹称为双曲线。 定义 2:平面内,到给定一点及一直线的距离之比为大于 1 的常数的点的轨迹称为双曲线。 定义 3:一平面截一圆锥面,当截面与圆锥面的母线不平行,且与圆锥面的两个圆锥都相交时,交 线称为双曲线。 定义 4:在平面直角坐标系中,二元二次方程 f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0 满足以下条件时,其 图像为双曲线。 1.a、b、c 不都是零. 2. b^2 - 4ac > 0. 3.a^2+b^2=c^2 在高中的解析几何中,学到的是双曲线的中心在原点,图像关于 x,y 轴对称的情形。这时双曲线的 方程退化为:x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1.

上述的四个定义是等价的,并且根据建好的前后位置判断图像关于 x,y 轴对称。

重要概念和性质

焦点 准线 离心率
在定义 2 中提到的到给定点与给定直线的距离之比,称为该双曲线的 离心率。 双曲线有两个焦点,两条准线。 (注意:尽管定义 2 中只提到了一个焦点和一条准线。但是给定同侧 的一个焦点,一条准线以及离心率可以根据定义 2 同时得到双曲线的两支,而两侧的焦点,准线和相同 离心率得到的双曲线是相同的。 )

顶点 渐近线
双曲线的简单几何性质

1.轨迹上一点的取值范围:
│x│≥a(焦点在 x 轴上)或者│y│≥a(焦点在 y 轴上) 。

2、对称性:
关于坐标轴和原点对称。

3、顶点:
A(-a,0), A'(a,0) 。同时 AA'叫做双曲线的实轴且│AA'│=2a. B(0,-b) B'(0,b) , 。同时 BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b. F1(-c,0)F2(c,0).F1 为双曲线的左焦点,F2 为双曲线的右焦点且│F1F2│=2c 对实轴、虚轴、焦点有:a^2+b^2=c^2

4、渐近线:
焦点在 x 轴:y=±(b/a)x. 焦点在 y 轴:y=± (a/b)x. 圆锥曲线 ρ=ep/1-ecosθ 当 e>1 时,表示双曲线。其中 p 为焦点到准线距离, θ 为弦与 x 轴夹角。 令 1-ecosθ=0 可以求出 θ,这个就是渐近线的倾角。θ=arccos(1/e) 令 θ=0,得出 ρ=ep/1-e,x=ρcosθ=ep/1-e 令 θ=PI,得出 ρ=ep/1+e,x=ρcosθ=-ep/1+e 这两个 x 是双曲线定点的横坐标。 求出它们的中点的横坐标(双曲线中心横坐标) x=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 (注意化简一下) 直线 ρcosθ=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 是双曲线一条对称轴,注意是不与曲线相交的对称轴。 将这条直线顺时针旋转 PI/2-arccos(1/e)角度后就得到渐近线方程,设旋转后的角度是 θ’ 则 θ’=θ-[PI/2-arccos(1/e)] 则 θ=θ’+[PI/2-arccos(1/e)] 代入上式: ρcos{θ’+[PI/2-arccos(1/e)]}=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 即:ρsin[arccos(1/e)-θ’]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 现在可以用 θ 取代式中的 θ’了 得到方程:ρsin[arccos(1/e)-θ]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 现证明双曲线 x^2/a^2-y^2/b^2=1 上的点在渐近线中 设 M(x,y)是双曲线在第一象限的点,则 y=(b/a)√(x^2-a^2) (x>a) 因为 x^2-a^2<x^2,所以 y=(b/a)√(x^2-a^2)<b/a√x^2=bx/a 即 y<bx/a 所以,双曲线在第一象限内的点都在直线 y=bx/a 下方 根据对称性第二、三、四象限亦如此

5、离心率:
第一定义:e=c/a 且 e∈(1,+∞). 第二定义:双曲线上的一点 P 到定点 F 的距离│PF│ 与 点 P 到定直线(相应准线)的距离 d 的比 等于双曲线的离心率 e. d 点│PF│/d 线(点 P 到定直线(相应准线)的距离)=e

6、双曲线焦半径公式
(圆锥曲线上任意一点 P(x,y)到焦点距离) 左焦半径:r=│ex+a│ 右焦半径:r=│ex-a│

7、等轴双曲线
一双曲线的实轴与虚轴长相等 即:2a=2b 且 e=√2 这时渐近线方程为:y=±x(无论焦点在 x 轴还是 y 轴)

8、共轭双曲线
双曲线 S'的实轴是双曲线 S 的虚轴 且 双曲线 S'的虚轴是双曲线 S 的实轴时,称双曲线 S'与双曲线 S 为共轭双曲线。 几何表达:S: (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 S': (y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1 特点: (1)共渐近线 ;与渐近线平行得线和双曲线有且只有一个交点 (2)焦距相等 (3)两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于 1

9、准线:
焦点在 x 轴上:x=±a^2/c 焦点在 y 轴上:y=±a^2/c

10、通径长:
(圆锥曲线(除圆外)中,过焦点并垂直于轴的弦) d=2b^2/a 11、过焦点的弦长公式: d=2pe/(1-e^2cos^2θ)

12、弦长公式:
d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 推 导如下: 由 直线的斜率公式:k = (y1 - y2) / (x1 - x2) 得 y1 - y2 = k(x1 - x2) 或 x1 - x2 = (y1 - y2)/k 分别代入两点间的距离公式:|AB| = √[(x1 - x2)^2; + (y1 - y2)^2; ]

稍加整理即得: |AB| = |x1 - x2|√(1 + k^2;) 或 |AB| = |y1 - y2|√(1 + 1/k^2;) · 双曲线的标准公式与反比例函数 X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0) 而反比例函数的标准型是 xy = c (c ≠ 0) 但是反比例函数图象确实是双曲线轨迹经过旋转得到的 因为 xy = c 的对称轴是 y=x,y=-x 而 X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1 的对称轴是 x 轴,y 轴 所以应该旋转 45 度 设旋转的角度为 a (a≠0,顺时针) (a 为双曲线渐进线的倾斜角) 则有 X = xcosa + ysina Y = - xsina + ycosa 取 a = π/4 则 X^2 - Y^2 = (xcos(π/4) + ysin(π/4))^2 -(xsin(π/4) - ycos(π/4))^2 = (√2/2 x + √2/2 y)^2 -(√2/2 x - √2/2 y)^2 = 4 (√2/2 x) (√2/2 y) = 2xy. 而 xy=c 所以 X^2/(2c) - Y^2/(2c) = 1 (c>0) Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c<0) 由此证得,反比例函数其实就是双曲线的一种形式,.只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种 摆放形式.

13.双曲线内、上、外
在双曲线的两侧的区域称为双曲线内,则有 x^2/a^2-y^2/b^2>1; 在双曲线的线上称为双曲线上,则有 x^2/a^2-y^2/b^2=1; 在双曲线所夹的区域称为双曲线外,则有 x^2/a^2-y^2/b^2<1。

三角形面积公式
若∠F1PF2=θ, 则 S△F1PF2=b^2*cot(θ/2)或 S△F1PF2=b^2*/tan(θ/2) · 例:已知 F1、F2 为双曲线 C:x^2-y^2=1 的左右焦点,点 P 在 C 上,∠F1PF2=60° ,则 P 到 x 轴的 距离为多 少? 解:由双曲线焦点三角形面积公式得 S△F1PF2=b^2*cot(θ/2) =√3 设 P 到 x 轴的距离为 h,则 S△F1PF2=1/2*h*2√2;h=√6/2

双曲线参数方程
双曲线的参数方程:x=a*sec θ (正割) y=b*tan θ ( a 为实半轴长, b 为虚半轴长, θ 为参数。 )

椭圆的焦半径公式

设 M(xo,y0)是椭圆 x^2/a^2+ y^2/b^2=1(a>b>0)的一点,r1 和 r2 分别是点 M 与点 F1(-c,0),F2(c,0)的距离,那么(左焦半径)r1=a+ex0,(右焦半径)r2=a -ex0,其中 e 是 离心率。 推导:r1/∣MN1∣= r2/∣MN2∣=e 可得:r1= e∣MN1∣= e(a^2/ c+x0)= a+ex0,r2= e∣MN2∣= e(a^2/ c-x0)= a-ex0。 同理:∣MF1∣= a+ex0,∣MF2∣= a-ex0。 双曲线的焦半径公式 双曲线的焦半径及其应用: 1:定义:双曲线上任意一点 M 与双曲线焦点的连线段,叫做双曲线的焦半径。 2.已知双曲线标准方程 x^2/a^2-y^2/b^2=1 点 P(x,y)在左支上 │PF1│=-(ex+a) ;│PF2│=-(ex-a) 点 P(x,y)在右支上 │PF1│=ex+a ;│PF2│=ex-a 抛物线的焦半径公式 抛物线 r=x+p/2</CA> 通径:圆锥曲线(除圆)中,过焦点并垂直于轴的弦 双曲线和椭圆的通径是 2b^2/a 焦准距为 a^2/c-c 抛物线的通径是 2p

定义:

椭圆
椭圆的焦点三角形是指 以椭圆的两个焦点 F1,F2 与椭圆上任意一点 P 为定点组成的三角形。

求解--运用公式:
设 P 为椭圆上非左,右端点的一点。 角 F1F2P=α F2F1P=β F1PF2=θ 则有离心率 e=sin(α+β) / (sinα+sinβ) 焦点三角形面积 S=b^2*tan(θ/2)

证明方法一:
设 F1P=c F2P=b 2a=c+b 由射影定理得 2c=ccosβ+bcosα e=c/a=2c/2a=ccosβ+bcosα / (c+b)

由 正弦定理 e=sinαcosβ+sinβcosα/ (sinβ+sinα)=sin(α+β)/ (sinα + sinβ )

证明方法二:
对于焦点 △ F1PF2 ,设 PF1=m,PF2=n 则 m+n=2a 在△F1PF2 中,由余弦定理: (F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ

即 4c^2=(m+n)^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1+cosθ) 所以 mn(1+cosθ)=2a^2-2c^2=2b^2 所以 mn=2b^2/(1+cosθ)
S=(mnsinθ)/2.............(正弦定理的三角形面积公式) =b^2*sinθ/(1+cosθ) =b^2*[2sin(θ/2)cos(θ/2)]/2[cos(θ/2)]^2 =b^2*sin(θ/2)/cos(θ/2) =b^2*tan(θ/2)

例题
F1,F2 是椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦点,PQ 是过 F1 的一条弦,求三角形 PQF2 面积的最 大值

【解】△PQF2 面积=△QF1F2 面积+△QF1F2 面积△QF1F2 与△QF1F2 底边均为 F1F2=2c,三 角形 PQF2 的面积=三角形 PF1F2 的面积+三角形 QF1F2 的面积=1/2 * |y2-y1| * 2c=c*|y2-y1|之后是联立直 线方程与椭圆方程,利用韦达定理表示出|y2-y1|进行分析即可。请你看下面的一个具体例题,会对你有 所启发的。设点 F1 是 x^2/3+y^2/2=1 的左焦点,弦 AB 过椭圆的右焦点,求三角形 F1AB 的面积的最大 值. 【解】a2=3,b2=2c2=3-2=1c=1 所以 F1F2=2c=2 假设 A 在 x 上方,B 在下方直线过(1,0)设直线是 x-1=m(y-0)x=my+1 代入 2x2+3y2=6(2m2+3)y2+4my-4=0y1+y2=-4m/(2m2+3),y1y2=-4/(2m2+3)三角形 F1AB=三角形 F1F2A+F1F2B 他们底边都是 F1F2=2 则面积和最小就是高的和最小即 |y1|+|y2|因为 AB 在 x 轴两侧,所以一正一负所以 |y1|+|y2|=|y1-y2|(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=16m2/(2m2+3)2+16/(2m2+3)|y1-y2|=4√[m2+(2m2+3)]/(2m2+3)= 4√3*√(m2+1)]/(2m2+3)令√(m2+1)=p2m2+3=2p2+1 且 p>=1 则 p/(2p2+1)=1/(2p+1/p)分母是对勾函数所以 p=√(1/2)=√2/2 时最小这里 p>=1,所以 p=1,2p+1/p 最小=3 此时 p/(2p2+1)最大=1/3 所以|y1-y2|最大=4√3*1/3 所以最大值=2*4√3/3÷2=4√3/3

抛物线 y^2=2px (p>0),C(Xo,Yo)为抛物线上的一点,焦半 径|CF|=Xo+p/2


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