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广州市铁一中学2011届五月月考三模文科数学


广州市铁一中学 2011 届五月月考三模 数学(文科)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共 150 分,考试时间 120 分钟. 1 参考公式: 锥体的体积公式 V = Sh,其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 3
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第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知全集 U ? { ? 1, 0 ,1, 2}, 集合 A ? { ? 1, 2}, B ? { 0 , 2}, 则 ( C u A ) ? B ? ( A. ? 2.已知复数 z ? A. ? i
1? i 1? i

)学科

B.{0} ,则 z 等于( B. 1

C.{2} ) C. ? 1
a5 a3 ? 5 9

D.网{0,1,2}

D. 2i ,则
S9 S5

3.设 S n 是等差数列 { a n } 的前 n 项和,若 A. ? 1 B.
1 2

=( D.2



C.1

4.已知 a、b 是实数,则“a>1,b>1”是“a+b>2 且 ab>1” 的( A.充分而不必要条件 C.充分且必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条



5. 已知 m 、 n 是两条不同直线, ? 、 ? 是两个不同平面,有下列 4 个命题: ① 若 m // n , n ? ? ,则 m∥ ? ; ② 若 m ? n , m ? ? , n ? ? ,则 n // ? ; ③ 若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n ; ④ 若 m、 n 是异面直线, m ? ? , n ? ? , m // ? ,则 n // ? . 其中正确的命题有( ). A.②③ 6.函数 f ( x ) ? ln A. (1,2)
3

B. ②④
3x 2 ? 2 x

C.③④ )

D. ①②

的零点一定位于区间( C. (3,4)

B. (2,3)
2

D. (4,5) )

7.函数 f ( x ) ? x ? ax A. ?

? x ? 2 在 R 上存在极值点,则实数 a 的取值范围是(

?

3,

3

?


B. [ ? 3 , 3 ]
1 2

C. ( ? ? , ? 3 ) ? ( 3 , ? ? )
1 2
2

D. ( ?? , ? 3 ] ? [ 3 , ?? )

8. 一动圆过点 A(0, 方程为( A.x =
1 2

) ,圆心在抛物线 y ?

x 上,且恒与定直线 l 相切,则直线 l 的

B.x =

1 16

C.y =-
?
2

1 16

D. y =-

1 2

9.函数 f ( x ) ? sin (? x ? ? )(| ? |?

) 的最小正周期为 ? ,且其图像向左平移

?
6

个单位后得到的函

数为奇函数,则函数 f ( x ) 的图象( A.关于点 ( C.关于点 (
?
12 5?
12

) B.关于直线 x ? D.关于直线 x ?
5? 12

, 0 ) 对称
, 0 ) 对称

对称 对称

?
12

10.已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且是周期为 2 的周期函数,当 x ? [ 0 ,1) 时, f ( x ) ? 2 x ? 1 , 则 f (log A. ?
5 2
1 2

6 ) 的值为(

) C. ?
1 2

B.-5

D.-6

第Ⅱ部分

非选择题(共 100 分)
开始

二、 填空题: (本大共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分, 满分 20 分)
? x ? 2 ? 0, ? 11. 设点 P ( x , y ) 在不等式组 ? y ? 1 ? 0 , 所表示的平面区域上运动, ?x ? 2y ? 2 ? 0 ?

k=10 , s=1
是 否

则 z ? x ? y 的最小值是

.

s=s× k 12.若框图所给程序运行的结果为 S=90,那么判断框中应填入的关于

输出 s 结束

k 的判断条件是

.

k=k-1
第 12 题

13.我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系(两条数轴的原点重合且单位长度相同) 称为斜坐标系.平面上任意一点 P 的斜坐标定义为:若 OP ? x e 1 ? y e 2 (其中 e 1 , e 2 分别为斜坐 标系的 x 轴、y 轴正方向上的单位向量, x , y ? R ) ,则点 P 的斜坐标为
( x , y ) .在平面斜坐标系 xoy 中,若 ? xoy ? 60 ? ,已知点 M 的斜坐标为

(1, 2),则点 M 在 x 轴上的射影到原点 O 的距离为

;

14.(几何证明选讲选做题) 如图所示,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射 影为 D,CD=4,BD=8,则线段 DO 的长等于_______________. 15. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系 (ρ, ( 0 ? ? < 2 ? ) 曲线 ? ? 2 sin ? θ) 中, 与 ? co s ? ? ? 1 的交点的极坐标为______________.
第 14 题

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知:函数 f ( x ) ?
2 sin x ? 2 cos( ? ? x ) .

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和值域; (2)若函数 f ( x ) 的图象过点 (? , ) ,
5 6

?
4

?? ?

3? 4

.求 f (

?
4

? ? ) 的值.

17. (本小题满分 12 分) 某校在 2 0 1 1 年的自主招生考试成绩中随机抽取 1 0 0 名学生的笔试成绩,被抽取学生的成绩 均不低于 1 6 0 分,且低于 1 8 5 分,下图是按成绩分组得到的频率分布表的一部分(每一组均包括左 端点数据而不包括右端点数据),且第 3 组、第 4 组、第 5 组的频数之比依次为 3 : 2 : 1 . (1)请完成频率分布直方图; ( 2)为了能选拔出最优秀的学生,该高校决定在笔试成 绩较高的第 3 组、第 4 组、第 5 组中用分层抽样 的方法抽取 6 名学生进入第二轮面试,求第 3 、4、
5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试;
0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 O 160 165 170 175 180 185 成绩 频 率/组 距

(3)在(2)的前提下,学 校决定在 6 名学生中随机抽 取 2 名学生由考官 A 面试,求第 4 组至少有一名学 生被考官 A 面试的概率.

D

18. (本小题满分 14 分)如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂 直) 被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、 俯视图, 在直观图中, M 是 B D 的中点,侧视图是直角梯形,俯 视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示. (1) 求出该几何体的体积。 (2) 若 N 是 BC 的中点,求证: A N // 平面 C M E ; (3) 求证:平面 B D E ? 平面 B C D .
A
M

4

E

2
C N

B

直观图

侧视图

2
2
俯视图

3 ? a ? a n ?1 ? ? n ? 4 { b 19. (本小题满分 14 分) 已知数列 { a n } , b n } 满足 a 1 ? 2 , 1 ? 1 , ? 且 ?b ? 1 a ? n ?1 ? n ? 4

1 4 3 4

b n ?1 ? 1

(n ≥ 2 )
bn ?1 ? 1

(1)令 c n ? a n ? b n ,求数列 { c n } 的通项公式 c n 及前 n 项和公式 S n ;

(2)求数列 { a n } 的通项公式,并由此求 a 3 和 b 3 的值以及数列 { a n } 的前 n 项公式 T n

20.(本小题满分 14 分)已知点 P (1 , 3) ,圆 C: ( x ? m ) ? y ?
2 2

9 2

,过点 A (1 , ?

3 2 2

) , F 点为抛

物线 y ? 2 px ( p ? 0 )的焦点,直线 P F 与圆相切.
2

(1)求 m 的值与抛物线的方程; (2)设点 B ( 2, 5) ,点 Q 为抛物线上的一个动点,求 B P ? B Q 的取值范围.
??? ???? ?

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? ln x , g ( x ) ?

1 2

ax

2

? bx , a ? 0 .

(1)若 b ? 2 且 h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围; (2)设函数 f ( x ) 的图象 C1 与函数 g ( x ) 的图象 C2 交于点 P、Q,过线段 PQ 的中点 R 作 x 轴的 垂线分别交 C1、C2 于点 M、N,是否存在点 R,使 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线 平行?如果存在,请求出 R 的横坐标,如果不存在,请说明理由.

2011 届五月月考数学(文科)试题参考答案(三模)
1—5 BBCDA 11. 1 12. 6—10 ACDBC
k ? 8 (或 k ? 9 )

13. 2

14. 3
2 2

15. ( 2 ,
2 2

3? 4

).

16.解: (1) f ( x ) ?

2 (sin x ? co s x ) ? 2 (sin x ?

? co s x ?

) ? 2 sin ( x ?

?
4

) ---3 分

∴函数的最小正周期为 2 ? ,值域为 { y | ? 2 ? y ? 2} 。---------------------5 分

(2)解法 1:依题意得: 2 sin (? ? ∵
?
4 ?? ? 3? 4 .

?
4

)? ,

6 5

, sin (? ?

?
4

)?

3 5

, ---------------------------6 分

∴0 ? ? ?

?
4

?

?
2

∴ co s(? ?
?
4

?
4

) = 1 ? sin (? ?
2

?
4

) ?

3 2 4 1 ? ( ) ? ----------8 分 5 5

f(

? ? ) = 2 sin [(? ?

?
4

)?

?
4

]

∵ sin [(? ?

?
4

)?

?
4

] ? sin (? ?

?
4

) co s

?
4

? co s( ? ?

?
4

) sin

?
4



2 3 4 7 2 ( ? )? 2 5 5 10

∴f(

?
4

??)=

7 5

2

------------------------------12 分

解法 2:依题意得: sin (? ? ∵
?
4 ?? ? 3? 4

?
4

)?

3 5

, 得 sin ? ? co s ? ?

3 2 5

----①--------7 分

.

∴0 ? ? ?

?
4

?

?
2

,
3 2 4 1 ? ( ) ? --------------9 分 5 5
4 2 5

∴ co s(? ?

?
4

) = 1 ? sin (? ?
2

?
4

) ?

由 co s(? ?

?
4

)=

4 5

得 sin ? ? co s ? ?

-------②--------10 分

①+②得 2 sin ? ?

7 2 5

,∴ f (

?
4

??)=

7 5

2

-------------12 分

解法 3:由 sin (? ?

?
4

)?

3 5

得 sin ? ? co s ? ?

3 2 5

, -----7 分

两边平方得 1 ? sin 2 ? ?
?
4 3? 4

18 25

, sin 2 ? ?
3? 2 24 25

7 25

,----------9 分
7 25



?? ?

.



?
2
2

? 2? ?

由 sin 2 ? ?

? 0知

?
2

? 2? ? ?

∴ co s 2 ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ?
2

------------11 分
1 ? co s 2 ? 2 ? 49 50

由 cos 2? ? 1 ? 2 sin ? ,得 sin ? ?
2

∴ sin ? ?

7 2 10

∴f(

?
4

??)=

7 5

2

.-------12 分

17.解:(1)由题意知第 1, 2 组的频数分别为: 100 ? 0.01 ? 5 ? 5 , 100 ? 0 . 07 ? 5 ? 35 .故第 3, 4, 5 组 的频数之和为: 100 ? 5 ? 35 ? 60 ,从而可得其频数依次为 30 , 20 ,10 ,其频率依次为 0 . 3 , 0 . 2 , 0 . 1 ,其 频率分布直方图如右图. (2) 由第 3, 4, 5 组共 60 人,用分层抽样抽取 6 人. 故 第 3, 4, 5 组中应抽取的学生人数依次为:第 3 组: 组:
30 60 10 ? 6 ? 3 人 ;第 4 组: 20 60 ? 6 ? 2 人 ;第 5
频率/组距 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 O 160 165 170 175 180 185 成绩

? 6 ? 1人 .

60

(3)由(2)知共有 6 人(记为
A1, A 2, A 3, B 1, B 2, C )被抽出,其中第 4 组有 2 人

(记为 B 1, B 2 ) .有题意可知:抽取两人作为一组共有
( A1, A 2) , ( A1, A 3) , ( A1, B 1) , ( A1, B 2) , ( A1, C ) , ( A 2, A 3) , ( A 2, B 1) , ( A 2, B 2 ) , ( A 2, C ) , ( A 3, B 1) , ( A 3, B 2 ) , ( A 3, C ) , ( B 1, B 2) , ( B 1, C ) , ( B 2, C ) 共 15 种等可能的情况,而满足

题意的情况
( A1, B 1) , ( A1, B 2) , ( A 2, B 1) , ( A 2, B 2 ) , ( A 3, B 1) , ( A 3, B 2 ) , ( B 1, B 2) , ( B 1, C ) , ( B 2, C ) 共 9 种,

因此所求事件的概率为

9 15

?

3



5 18. 解:(1)由题意可知:四棱锥 B ? ACDE 中,

平面 ABC ? 平面 ACDE , AB ? AC 所以, AB ? 平面 ACDE ………………………2 分 又 AC ? AB ? AE ? 2 , CD ? 4 , 则四棱锥 B ? ACDE 的体积为:
V ? 1 3 S ACDE ? AB ? 1 3 ? (4 ? 2) ? 2 2 ? 2 ? 4 …………4 分
A

D

M

4 2

E

C N

B

直观图

侧视图

(2)连接 MN ,则 MN // CD , AE // CD , 又 MN ? AE ?
1 2
? AN // EM …………6 分 ? AN ? 平面 C M E , EM ? 平面 C M E ,

2
2
俯视图

CD , 所以四边形 ANME 为平行四边形,

所以, A N // 平面 C M E ;…………10 分

(3)? AC ? AB

, N 是 BC 的中点, AN ? BC
? AN ? 平面 BCD ………………………12 分

又平面 ABC ? 平面 BCD 由(Ⅱ)知: AN // EM 又 EM ? 平面 BDE

? EM ? 平面 BCD

所以,平面 B D E ? 平面 B C D .………………………14 分

19. (1)解:由题设得 a n ? b n ? ( a n ?1 ? b n ?1 ) ? 2( n ≥ 2) ,即 c n ? c n ?1 ? 2 ( n ≥ 2 ) ·· 2 分 ·· ·· 易知 { c n } 是首项为 a1 ? b1 ? 3 ,公差为2的等差数列, 通项公式为 c n ? 2 n ? 1
Sn ?
1 2

(3 ? 2 n ? 1) n 2

? n ? 2n
2

(2)解:由题设得 a n ? b n ?
dn ? 1 2

( a n ? 1 ? b n ? 1 )( n ≥ 2 ) ,令 d n ? a n ? b n ,则

d n ? 1 ( n ≥ 2 ) 易知 { d n } 是首项为 a 1 ? b1 ? 1 ,公比为

1 2

的等比数列,通项公式为 d n ?

1 2
n ?1

? a n ? b n ? 2 n ? 1, 1 1 29 ? 由? 解得 a n ? n ? n ? , ? a 3 ? 1 2 2 8 ? a n ? b n ? n ?1 ? 2
? b3 ? c 3 ? a 3 ? 7 ? 29 8 ? 27 8

T n ? a1 ? a 2 ? ? ? ? a n
n 2

? (

1 2

?

1 2
2

? ???

1 2

)(1 ? 2 ? ? ? ? n) ? ? 2

? ?

1 2
n

?

n

2

? n ?1

2

20. 解: (Ⅰ)点 A 代入圆 C 方程,
? 3 2 得 (1 ? m ) ? ? ? ? 2 ?
2

? 9 ? ? ? 2 ?

2

. ∴m=1. ?? 2 分

圆 C: ( x ? 1) 2

? y

2

?

9 2



当直线 PF 的斜率不存在时不合题意。???3 分 当直线 PF 的斜率存在时,设为 k, 则 PF1: y ? k ( x ? 1) ? 3 , ∵直线 PF 与圆 C 相切, ∴ 解得 k ? 1, 或 k ? ? 1 . 即 kx ? y ? k ? 3 ? 0 .
|k ? 0? k ? 3| k
2

?

3 2 2



?1

???????? 5 分

当 k= 1 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 ? 2 ,不合题意,舍去. 当 k= ? 1 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 4, ???????? 7 分
?

p 2

? 4 那么抛物线方程为 y ? 1 6 x ????? 9 分
2

y ) 5 (Ⅱ) B P ? ( ? 1, ? 2) ,设 Q(x,y) B ? ( ? ,2 ? ,Q x ??? ???? ? B P ? B Q ? ? ( x ? 2) ? ( ? 2)( y ? 5) ? ? x ? 2 y ? 12
2

??? ?

??? ?



.??????? 11 分

? ?

y

? 2 y ? 12 ? ?

1 16

( y ? 16) ? 28 ? 28
2

??????? 12 分

16
??? ???? ?

所以 B P ? B Q 的取值范围为 ? ? ? , 2 8 ? .???????? 14 分 21.解: (1)b=2 时, h ( x ) ? ln x ?
1 x ax
2

1 2

ax

2

? 2x

则 h (x) ?
'

? ax ? 2 ? ?

? 2x ?1 x
'

因为函数 h(x)存在单调递减区间,所以 h ( x ) <0 有解. 又因为 x>0 时,则 ax
2

? 2 x ? 1 ? 0 有 x ? 0 的解
2

①当 a>0 时, y ? ax ? 2 x ? 1 为开口向上的抛物线, y ? ax ? 2 x ? 1 >0 总有 x>0 有解;
2

②当 a<0 时, y ? ax ? 2 x ? 1 为开口向下的抛物线,而 y ? ax ? 2 x ? 1 >0 总有
2 2

x>0 的解; 则△=4+4a>0,且方程 y ? ax ? 2 x ? 1 =0 至少有一这正根,此时,-1<a<0
2

综上所述,a 的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞) (2)证法一 设点 P、Q 的坐标是 ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ), 0 ? x 1 ? x 2 则点 M、N 的横坐标为 x ?
x1 ? x 2 2

C1 点在 M 处的切线斜率为 k 1 ?

1 x

|

x?

x1 ? x 2 2

?

2 x1 ? x 2

,

C2 点 N 处的切线斜率为 k 2 ? ax ? b |

x?

x1 ? x 2 2

?

a ( x1 ? x 2 ) 2

?b

假设 C1 点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行,则 k1=k2 即
2 x1 ? x 2 ? a ( x1 ? x 2 ) 2
a 2 a 2 a 2

? b, 则

2 ( x 2 ? x1 ) x1 ? x 2

?

( x 2 ? x1 ) ? b ( x 2 ? x1 ) ?
2 2

( x 2 ? bx 2 ) ? (
2

x 1 ? bx 1 ) ? y 2 ? y 1 ? ln x 2 ? ln x 1
2

2( ? ln x2 x1 ?

x2 x1

? 1) x2 x1

.设 t ?

x2 x1

,则 ln t ?

2 ( t ? 1) 1? t

,t ? 1①

1?

令 r ( t ) ? ln t ?

2 ( t ? 1) 1? t

, t ? 1 . 则 r ' (t ) ?

1 t

?

4 ( t ? 1)
2

?

( t ? 1)

2 2

t ( t ? 1)

因为 t>1 时, r ' ( t ) ? 0 ,所以 r(t)在[1,+∞]上单调递增.故 r ( t ) ? r (1) ? 0 则 ln t ?
2 ( t ? 1) 1? t

.这与①矛盾,假设不成立.

故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行. 证法二:同证法一得 ( x 2 ? x 1 )(ln x 2 ? ln x 1 ) ? 2 ( x 2 ? x 1 ) .
? x 1 ? 0 ,所以 (
x2 x1 ? 1) ln x2 x1 ? 2( x2 x1 ? 1)

令t ?

x2 x1

,得 ( t ? 1) ln t ? 2 ( t ? 1), t ? 1 ②
1 t

令 r ( t ) ? ( t ? 1) ln t ? 2 ( t ? 1), t ? 1, 则 r ' ( t ) ? ln t ? 因为 (ln t ? )' ?
t 1 1 t ? 1 t
2

?1 1 t

?

t ?1 t
2

,所以 t>1 时, (ln t ? )' ? 0
1 t ? 1 ? 0 ,即 r ' ( t ) ? 0

故 ln t ?

1 t

在[1,+∞]上单调递增.从而 ln t ?

于是 r(t)在[1,+∞]上单调递增. 故 r ( t ) ? r (1) ? 0 . 即 ( t ? 1) ln t ? 2 ( t ? 1). 这与②矛盾,假设不成立. 故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处切线不平行. 即不存在点 R,使 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行.


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