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重庆市西南大学附属中学11—12下学期高一数学期中考试试卷参考答案

西南大学附中 2011—2012 学年度下期期中考试 高一数学试题参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1 C 2 C 3 D 4 B 5 B 6 A 7 B 8 D 9 D 10 D

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.1 12.45° 13.(-1,1) 14. ?0,??? 15.30 三、解答题(共 75 分) 16.解: 原不等式等价于

x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ……4 分 x2 ? 2x ? 3

?

( x ? 2)( x ? 1) ? 0 ……8 分 ( x ? 3)( x ? 1)

?( x ? 1)( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) ? 0, ?? ?( x ? 3)( x ? 1) ? 0.
由数轴穿根法可知原不等式解集为

?x ? 1 ? x ? 1或2 ? x ? 3?……13 分
17.解: (1) tan(

?
4

??) ?

tan

?
4

? tan ?

1 ? tan

?
4

?

tan ?

1 ? tan ? ……4 分 1 ? tan ?

? 1 ? tan ? 1 由 tan ( ? ? ) ? 3 ,得: ? 3 ,解得 tan ? ? ……6 分 4 1 ? tan ? 2
(2)∵ ? 为锐角,∴ sin ? ?
5 2 5 , cos ? ? ……10 分 5 5

?? 5 3 2 5 1 15 ? 2 5 ? ∴ sin ? ? ? ? ? ……13 分 ? ? ? ? 6? 5 2 5 2 10 ?
18.解: (1)设公比为 q,由 a2=2,a5=128 及 a5=a2q3 得 128=2q3, ∴q=4∴an=a2·qn—2=2·4n—2=22n—3……6 分 (2)?bn=log222n-3=2n-3……8 分 ∴数列{bn}是以-1 为首项,2 为公差的等差数列 n(n ? 1) ?2 ∴Sn=n(-1)+ 2 =n2-2n……11 分 令 n2-2n=360 得 n1=20,n2=-18(舍) 故 n=20 为所求……13 分 19.解:
7 ……2 分 2 ∵cos(B+C)=-cosA,∴4cos2A-4cosA+1=0……4 分 1 ∴(2cosA-1)2=0,即 cosA= 2 ∴A=60°……6 分 (2)∵a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc……9 分

(1) 由已知得 2[1 ? cos ( B ? C )] ? ( 2cos2 A ? 1) ?

∵ a ? 3, b ? c ? 3 ∴ 3 ? 9 ? 3bc ,∴ bc ? 2 ……11 分
?b ? c ? 3 ?b ? 2 ?b ? 1 由? , 解之得 ? 或? ?bc ? 2 ?c ? 1 ?c ? 2 ……12 分

20.解: (1)当 n ? 1时, a1 ? S1 ? 2;
当n ? 2时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n2 ? 2(n ? 1)2 ? 4n ? 2,

故 an ? 4n ? 2,即{an }是a 1 ? 2, 公差d ? 4 的等差数列.……3 分
1 设{bn}的公比为 q, 则b1qd ? b1 , d ? 4,? q ? . 4

故 bn ? b1q n?1 ? 2 ?

1 ? 23? 2n. ……6 分 4n?1

(2)由(1)得, an ? 4n ? 2 , bn ? 23? 2 n ∴ cn ? ∴ Tn ?
1 1? 1 1 ? ? ? ? (2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 1? 1 1 1 1 1 ? 1 1 1 ? ??? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? 2n ? 1 2 n ? 1 ? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 3 3 5 ?

1? 1 ? n ……12 分 ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2 n ? 1 21.解:

1 1 1 1 1 1 1 (1)因为 f ( ) ? f (1 ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? .所以 f ( ) ? .……2 分 2 2 2 2 2 2 4

令x?

1 1 1 1 1 n ?1 1 ,得 f ( ) ? f (1 ? ) ? ,即 f ( ) ? f ( ) ? .……4 分 n n 2 n n 2 n

1 n ?1 (2) an ? f (0) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f (1) n n

又 an ? f (1) ? f (

n ?1 1 ) ? ? ? f ( ) ? f (0) n n

1 n ?1 n ?1 两式相加得 2an ? [ f (0) ? f (1)] ? [ f ( ) ? f ( . )] ? ? ? [ f (1) ? f (0)] ? n n 2

所以 an ?

n ?1 n ?1?1 n ?1 1 , n ? N * ,又 an ?1 ? an ? ? ? . 4 4 4 4

故数列 {an } 是等差数列.……8 分 (3)由(2)知, an ?
n ?1 2 ,代入 16an ? 4(bn?1 ? bn ? 3)an ? bn ?1 ? 2bn ? 2 ? 0 4

整理得 nbn?1 ? (n ? 3)bn ? (n ? 2)(n ? 3) 两边同除以 n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) ,得 bn?1 bn 1 ? ? (n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) n(n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1) 令 cn ?
bn b1 1 ,则 cn?1 ? cn ? ,且 c1 ? ? ?1 n(n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1) 1? 2 ? 3

1 累加得 cn ? ? ,∴ bn ? ?(n ? 1)(n ? 2) ……12 分 n


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