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高考数学一轮复习 三角函数和平面向量的综合应用01课件


三角函数与平面向量的综合应用

要点梳理
常考常新

忆一忆知识要点

1.同角三角函数的基本关系式,正弦、余弦、正切的诱导公式 两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数规律性强,对公 式的正用、逆用、变形应用的技巧、方法要求较高,考查公 式的灵活运用及变形能力.通过简单的恒等变换解决三角函 数的化简求值是高考必考内容,且一直是高考的热点.

要点梳理

忆一忆知识要点

2.研究三角函数的性质,一般要化为 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0, ω>0)的形式,若是奇函数,则可化为 f(x)=± Asin ωx;若 是偶函数,则可化为 f(x)=± Acos ωx.求三角函数的定义域, 实际上是利用三角函数图象或三角函数线来确定不等式的 解,求函数的单调区间可以转化为求 y=sin x 与 y=cos x 的 单调区间.

要点梳理

忆一忆知识要点

3.解三角形问题主要有两种题型:一是与三角函数结合起来考 查,通过三角变换化简,然后运用正、余弦定理求值;二是 与平面向量结合(主要是数量积),判断三角形形状或结合正、 余弦定理求值.试题一般为中档题,客观题、解答题均有可 能出现. 4.平面向量的线性运算,为证明两线平行提供了重要方法.平 面向量的数量积的运算解决了两向量的夹角、垂直等问 题.特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合,体 现了向量应用的广泛性.

[难点正本

疑点清源]

1.三角函数问题一是化简求值问题,要熟练应用公式,紧扣 角的范围,才可避免出错;二是三角函数的性质,要先将 函数式化简为 y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的形式,再研 究其性质. 2.向量的运算法则、运算律与数量的运算法则、运算律形成 鲜明对比,要理解它们的联系与区别.要用向量的思想和 方法去分析解决问题,一定要突出向量的工具性作用.

三角函数式的化简求值问题
例 1 已知函数 f(x)=2 3sin xcos x+2cos2x-1 (x∈R). ? π? (1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间?0,2 ?上的最大值和最 ? ? 小值;
?π π? 6 (2)若 f(x0)= ,x0∈?4,2 ?,求 cos 2x0 的值. 5 ? ?

(1)关键是将 f(x)化为 f(x)=Asin(ωx+φ)的形式;(2)通过角的 拆分将 cos 2x0 与 f(x0)联系起来,即可将问题解决.



(1)由 f(x)=2 3sin xcos x+2cos2x-1,

得 f(x)= 3(2sin xcos x)+(2cos2x-1) ? π? = 3sin 2x+cos 2x=2sin?2x+6 ?. ? ? 所以函数 f(x)的最小正周期为 π.
? ? ?π π? π? π? 因为 f(x)=2sin?2x+6 ?在区间?0,6 ?上为增函数,在区间?6,2 ?上 ? ? ? ? ? ? ?π? ?π? 为减函数,又 f(0)=1,f?6 ?=2,f?2 ?=-1,所以函数 f(x)在区间 ? ? ? ? ? π? ?0, ?上的最大值为 2,最小值为-1. 2? ? ? π? (2)由(1),可知 f(x0)=2sin?2x0+6 ?. ? ? ? π? 3 6 又因为 f(x0)= ,所以 sin?2x0+6 ?= . 5 ? ? 5

?π π? π ?2π 7π? 由 x0∈?4,2 ?,得 2x0+ ∈? 3 , 6 ?. 6 ? ? ? ? ? ? π? π? 4 2 从而 cos?2x0+6 ?=- 1-sin ?2x0+6 ?=- . 5 ? ? ? ?
? π π? 所以 cos 2x0=cos??2x0+6?-6 ? ? ? ? ? π? π? π =cos?2x0+6 ?cos +sin?2x0+6 ?sin 6 ? ? ? ?

π 3-4 3 = . 6 10

探究提高
(1)两角和与差的三角函数公式的内涵是“揭示同名不同角的三 角函数的运算规律”,对公式要会“正用”、“逆用”、“变形 用”,记忆公式要注意角、三角函数名称排列以及连接符号 “+”,“-”的变化特点.(2)在使用三角恒等变换公式解决问 题时,“变换”是其中的精髓,在“变换”中既有公式的各种形 式的变换, 也有角之间的变换.(3)本题的易错点是易用错公式和 角的拆分不准确.

变式训练 1
已知向量 m=(-1,cos ωx+ 3sin ωx),n=(f(x),cos ωx),其 中 ω>0,且 m⊥n,又函数 f(x)的图象上任意两相邻对称轴的间 3 距为 π. 2 (1)求 ω 的值; (2)设 α 是第一象限角,且
? π? sin?α+4 ? ? ? ?3 π? 23 f?2α+2 ?= , ? ? 26

求 的值. cos?4π+2α?



(1)由题意得 m· n=0,所以,

f(x)=cos ωx· (cos ωx+ 3sin ωx) ? 1+cos 2ωx π? 1 3sin 2ωx = + =sin?2ωx+6 ?+ . 2 2 ? ? 2

根据题意知,函数 f(x)的最小正周期为 3π, 1 又 ω>0,所以 ω= . 3 ?2 π? 1 (2)由(1)知,f(x)=sin?3x+6 ?+ , ? ? 2 ?3 ? π? π? 1 所以 f?2α+2 ?=sin?α+2?+ ? ? ? ? 2 1 23 =cos α+ = , 2 26 5 解得 cos α= . 13

12 因为 α 是第一象限角,故 sin α= . 13 ? ? π? π? sin?α+4 ? sin?α+4 ? ? ? ? ? 所以, = cos 2α cos?4π+2α? 2 13 = =- 2. 14 2?cos α-sin α?

三角形中的三角恒等变换
例 2 设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, c,a=2bsin A. (1)求 B 的大小; (2)求 cos A+sin C 的取值范围.

(1)利用正弦定理把边的比转化为对应角的正弦之比, 即可得到角 5π B 的正弦;(2)首先利用 A+C= ,将式子化成关于角 A 的函数 6 式, 然后利用“锐角三角形”确定角 A 的取值范围, 根据三角函 数的性质确定其取值范围.



(1)由 a=2bsin A,

根据正弦定理得 sin A=2sin Bsin A, 1 π 所以 sin B= ,由△ABC 为锐角三角形可得 B= . 2 6 5π 5π (2)由(1)可知 A+C=π-B= ,故 C= -A. 6 6 ?5π ? 故 cos A+sin C=cos A+sin? 6 -A? ? ? ?π ? 1 3 ? ? =cos A+sin 6+A =cos A+ cos A+ sin A 2 2 ? ? ? 3 ? 3 3 1 ? = cos A+ sin A= 3? cos A+ sin A? ? 2 2 2 ? 2 ? ? π? = 3sin?A+3 ?, ? ? π 由△ABC 为锐角三角形可得,0<C< , 2

5π π π 5π 故 0< -A< ,解得 <A< , 6 2 3 6 π π π 又 0<A< ,所以 <A< . 2 3 2
? π? 3 2π π 5π 1 故 <A+ < ,所以 <sin?A+3 ?< , 3 3 6 2 ? ? 2 ? π? 3 3 所以 < 3sin?A+ 3?< , 2 ? ? 2 ? 3 3? ? 即 cos A+sin C 的取值范围为? . , ? 2 2? ? ?

探究提高
本题的难点是第(2)问, 求解三角函数式的取值范围, 首先要根据 三角形内角之间的关系进行化简, 然后根据已知条件确定角 A 或 角 C 的取值范围, 要利用锐角三角形的每个内角都是锐角, 构造 关于角 A 的不等式确定其取值范围, 最后利用三角函数的图象和 性质确定三角函数式的取值范围.

变式训练 2
设△ABC 的内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c 且 3b2+3c2 -3a2=4 2bc. (1)求 sin A 的值; ? π? ? π? 2sin?A+4 ?sin?B+C+4 ? ? ? ? ? (2)求 的值. 1-cos 2A
b2+c2-a2 2 2 解 (1)由余弦定理得 cos A= = , 2bc 3 1 2 又 0<A<π,故 sin A= 1-cos A= . 3

(2)原式=

? π? ? π? 2sin?A+4 ?sin?π-A+4 ? ? ? ? ?

1-cos 2A ? π? ? π? 2sin?A+4 ?sin?A-4? ? ? ? ? = 2sin2A ? 2 ?? 2 ? 2 2 ? ?? 2? sin A+ cos A?? sin A- cos A? ? 2 2 ? 2 ?? 2 ? = 2sin2A sin2A-cos2A 7 = =- . 2sin2A 2


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