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2013-2014学年宁波重点中学高三期中考(数学文)

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2013-2014 学年宁波重点中学高三期中考(数学文)
注意事项: 1.本科考试分试题卷和答题卷,考生须在答题卷上作答.答题前,请在答题卷的规定处填写学校、姓名、考号、 科目等指定内容,并正确涂黑相关标记; 2.本试题卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 6 页,全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第 I 卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1 1. 已知集合 A ? ? , 2, 3, 4, 5?, B ?
A、3 是( ▲ ) B、6

??x, y ? x ? A, y ? A, x ? y ? A?,
C、8

则 B 中所含元素的个数为( ▲ ) D、10

2.把 1,3,6,10,15,21,?这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图) ,试求第七个三角形数 ( )

A.27 3.函数 y ? ln

B.28

C.29

D.30

1 的大致图像为( ▲ ) x ?1

4.设数列 {a n } 的通项公式 an ? 1 ? 1 ? 1 ? ... ? 1 ,那么 a n ?1 ? a n 等于( ▲ ) n ?1 n ? 2 n ? 3 2n 1 1 1 A. B. 1 C. D. 1 ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 2 2n ? 1 2n ? 2 2n ? 2 5.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,若角 A、B、C 依次成等差数列,且 a ? 1, b ? A.

3, 则S?ABC =( ▲ )

2

B. 3

C.

3 2

D.2

6.函数 y ? 2sin ? ? x ? ? ? (0 ? x ? 9) 的最大值与最小值之和为( ▲ ) ? ? 3? ? 6 A、 2 ? 3 7.若函数 f ( x) ? A、 B、0 C、-1 为奇函数,则 a=( ▲ ) D、 ?1 ? 3

x (2 x ? 1)( x ? a)

2 3

B、

1 2

C、

3 4

D、 1

8.已知复数 z

z ?1 A. 2 B. -2 C. 2i D. -2i 9.等差数列 {a n } 中,若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120 ,则 S15 的值为( ▲ )
A.180 B.240 C.360 D.720

2 ? 1 ? i ,则 z ? ( ▲ )

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, ? , 1 10.对实数 a和b ,定义运算“ ? ” a ? b ? ?aa b ? 设函 f ( x) ? ( x 2 ? 2) ? ( x ? 1), x ? R .若函数 : ? 1 ?b, a ? b ?.

y ? f ( x) ? c 的图像与 x 轴

恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是( ▲ ) A. (?1,1] ? (2, ??) B. (?2, ?1] ? (1, 2]

C. (??, ?2) ? (1, 2]

D.[-2,-1]

第 II 卷(选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 24 分
11. 已知 x ? ln ? , y ? log5 2 ,

z?e

?

1 2

,则 x、y、z 三者比较为

▲ (单位:厘米)数据绘制 130﹚, [130, 140﹚, [140, 18 人参加一项活动,则从 ▲ 。

12. 从某小学随机抽取 100 名同学,将他们身高 成频率分布直方图(如图) 。若要从身高在[120, 150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取 身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为

?x ? 0 ? 13.若不等式组 ? x ? 3 y ? 4 所表示的平面区域 ?3 x ? y ? 4 ?
积相等的两部分,则 k 的值为 ▲ 。 14. 下图是某算法的程序框图,则程序运行后输入的结果是 ▲ 。

被直线 y ? kx ? 4 分成面

15.已知 | a | ? 1 , | b |? 2 , a ? ( a ? b) ,则 a 与 b 夹角的度数为
4 3 2 2

?? ?

?

?

?

?

?

?



. ▲

16. 设 a,b∈R,若 x≥0 时恒有 0≤x -x +ax+b≤(x -1) ,则 ab 等于 ▲ 17.若 a、b、c 均为单位向量,且 a·b=0, (a-c)(b-c)≤0,则丨 a+b-c 丨=的最大值为 ·

三、解答题
18.(本小题 14 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c. π (1)若 sin(A+ )=2cosA,求 A 的值; 6

1 (2)若 cosA= ,b=3c,求 sinC 的值. 3

19.(本小题 14 分)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 2sin2
(1)求角 A 的度数;

B+C 1
2

7 - cos 2A= . 2 4

(2)若 a= 3,b+c=3(b>c),求 b 和 c 的值.

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20. (本小题 14 分)已知 {a n } 是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3 a6 ? 55, a 2 ? a7 ? 16 . (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式: (Ⅱ)等比数列 {bn } 满足: b1

? a1 , b2 ? a2 ? 1 ,若数列 c n ? a n ? bn ,求数列 {c n } 的前 n 项和 S n .

21. (本小题 15 分)已知数列 {a n } 是等差数列, a3 ? 10 , a 6 ? 22 ,数列 {bn } 的前 n 项和是 Tn ,且 Tn ? (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)求证:数列 {bn } 是等比数列; (3)记 c n ? a n ? bn ,求证: c n ?1 ? c n .

1 bn ? 1 . 3

22. (本小题 15 分)已知实数 a 满足 a ? ?1 ,函数 f ( x) ? e ( x ? ax ? 1) .
x 2

(1)当 a ? ?3 时,求 f (x) 的极小值; (2)若 g ( x) ? 2 x ? 3(b ? 1) x ? 6bx ? 6(b ? R) 的极小值点与 f (x) 的极小值点相同,证明: g (x ) 的极大值大于等于
3 2

7.

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【参考答案】 一、单项选择题 1、D 2、B 3、D 二、填空题 11、 4、D 5、C 13、 ? 6、A 14、3 7、B 8、B 9、C 16、—1 10、B 17、1

y?z?x

12、3

17 3

15、 120?

三、解答题
π π 18. 【答案】(1)由题设知 sinAcos +cosAsin =2cosA.从而 sinA= 3cosA,所以 cosA≠0,tanA= 3.因为 0<A<π , 6 6 π 所以 A= . 3 1 2 2 2 2 2 2 (2)由 cosA= ,b=3c 及 a =b +c -2bccosA,得 a =b -c , 3 π 1 故△ABC 是直角三角形,且 B= .所以 sinC=cosA= . 2 3 19. 【答案】(1)由 2sin
2

B+C 1

7 - cos 2A= 及 A+B+C=180°, 2 2 4

7 2 2 得 2[1-cos(B+C)]-2cos A+1= ,4(1+cos A)-4cos A=5. 2 1 2 ∴4cos A-4cos A+1=0.∴cos A= .∵0°<A<180°,∴A=60°. 2 (2)由余弦定理,得 cos A=

b2+c2-a2 1 b2+c2-a2 1 2 2 .∵cos A= .∴ = .∴(b+c) -a =3bc. 2bc 2 2bc 2
? ?b+c=3, ?bc=2, ?

将 a= 3,b+c=3 代入上式得 bc=2.由?

及 b>c,得?

? ?b=2, ?c=1. ?

20. 【答案】 (Ⅰ)设等差数列 ? an ? 的公差为 d,则依题设 d>0 由 a2 ? a7 ? 16 .得 2a1 ? 7d ? 16 ∴d
2



由 a3 ? a6 ? 55, 得 (a1 ? 2d )(a1 ? 5d ) ? 55
2



由①得 2a1 ? 16 ? 7d 将其代入②得 (16 ? 3d )(16 ? 3d ) ? 220 。即 256 ? 9d ? 220

? 4 ,又 d ? 0,? d ? 2 ,代入①得 a1 ? 1 ,
n ?1

∴ a n ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 .
n ?1

(Ⅱ)? b1 ? 1, b2 ? 2,? bn ? 2

∴ c n ? a n ? bn ? (2n ? 1) ? 2 ,
2 n ?1

,

S n ? 1 ? 2 0 ? 3 ? 21 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 n?1
0 1

2S n ? 1 ? 21 ? 3 ? 2 2 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 n ? (2n ? 1) ? 2 n

错位相减可得: ? S n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 整理得: ? S n ? 1 ?

4(1 ? 2 n ?1 ) n ?1 n ? (2n ? 1) ? 2 n ? 1 ? 2 n ?1 ? 4 ? (2n ? 1) ? 2 n ? 2 ? 3 ? (2n ? 1) ? 2 1? 2
n n ?1

∴ S n ? 3 ? (2n ? 1) ? 2 ? 2 21. 【答案】 (1)由已知 ? (2)由于 Tn ? 1 ?

? 3 ? (2n ? 3) ? 2 n
解得

?a1 ? 2d ? 10, ?a1 ? 5d ? 22 .

a1 ? 2, d ? 4. ? a n ? 2 ? (n ? 1) ? 4 ? 4n ? 2.

1 ① bn , 3 1 3 1 令 n =1,得 b1 ? 1 ? b1 . 解得 b1 ? ,当 n ? 2 时, Tn ?1 ? 1 ? bn ?1 ② 3 4 3 1 1 1 ② -②得 bn ? bn ?1 ? bn , ? bn ? bn ?1 3 3 4

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b 1 3 3 1 ? 0 , ? n ? . ∴数列 {bn } 是以 为首项, 为公比的等比数列. bn ?1 4 4 4 4 3 3(4n ? 2) (3)由(2)可得 bn ? n . c n ? a n ? bn ? 4 4n 3[4(n ? 1) ? 2] 3(4n ? 2) 30 ? 36 n cn ?1 ? cn ? ? ? . 4 n ?1 4n 4 n?1 ? c n ?1 ? c n . ? n ? 1 ,故 cn?1 ? cn ? 0.
又 b1 ? 22. 解: (1) f ( x) ? e [ x ? (a ? 2) x ? a ? 1] ???sj.fjjy.org???....................2 分 s
/ x 2

当 a ? ?3 时, f ( x) ? e ( x ? x ? 2)
/ x 2

列表如下: x f ′(x) f (x) (- ? ,-1) + 单调递增 -1 0 极大值 (-1,2) - 单调递减
2

2 0 极小值

(2,+ ? ) + 单调递增

所以, f (x) 的极小值为 f (2) ? ?e (2)∵ a ? ?1 ,∴ ? a ? 1 ? ?1 ,又

f / ( x) ? e x [ x 2 ? (a ? 2) x ? a ? 1] ? e x ( x ? a ? 1)( x ? 1) , ∴ f ( x)的极小值点是x ? ?a ? 1,从而 g (x ) 的极小值点也是 x ? ?a ? 1 / , 又 g ( x) ? 6( x ? 1)( x ? b) ? ?b ? ?a ? 1 即b ? a ? 1 故 g (x ) 的极大值 g (?1) ? 7 ? 3b ? 4 ? 3a ? 7

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