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第22届全国中学生物理竞赛预赛参考解答-2005


物理时空

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第 22 届全国中学生物理竞赛预赛参考解答
一、国际物理(或世界物理) 相对论;光的量子性 评分标准:本题 10 分。第 1 小问 4 分。第 2 小问 6 分(填写任意两项爱因斯坦的成果只要 正确都给分) 二、找个地方把弹簧测力计悬挂好,取一段细线做成一环,挂在弹簧测力计的挂钩上,让直 尺穿在细环中,环与直尺的接触点就是直尺的悬洗点,它将尺分为长短不等的两段.用细线 栓住木块挂在直尺较短的一段上, 细心调节直尺悬挂点及木块悬挂点的位置, 使直尺子平衡 在水平位置(为提高测量精度,尽量使二悬挂点相距远些),如图所示。设木块质量为 m, 直尺质量为 M。记下二悬挂点在直尺上的读数 xl、x2,弹簧测力计读数 G.由平衡条件和 图中所设的直尺零刻度线的位置有 (m + M ) g = G (1)

l mg ( x2 ? x1 ) = Mg ( ? x2 ) 2 (1)、(2)式联立可得
m= G (l ? 2 x2 ) g (l ? 2 x1 ) 2G ( x2 ? x1 ) g (l ? 2 x1 )

(2)

(3)

M=

(4)

评分标准:本题 17 分。正确画出装置示意图给 5 分。 (1)式、 (2)式各 4 分, (3)式、 (4) 式各 2 分。 三、

自 S 作球的切线 SM,并画出 S 经管壁反射形成的虚像点 S ′ ,及由 S ′ 画出球面的切线 S ′N ,如图1所示,由图可看出,只要 S ′M 和 S ′N 之间有一夹角,则筒壁对从 S 向右的 光线的反射光线就有一部分进入球的右方,不会完全落在球上被吸收。 由图可看出,如果 r 的大小恰能使 S ′N 与 S ′M 重合,如图 2,则 r 就是题所要求的 筒的内半径的最大值。这时 SM 与 MN 的交点到球心的距离 MO 就是所要求的筒的半径 r、由图 2 可得

r=

R R = cosθ 1 ? sin 2 θ
第 22 届全国中学生物理竞赛预赛题参考答案 第 1 页(共 7 页)

(1)

物理时空 由几何关系可知 sin θ = ( R / 2 R ) 由(1)、(2)式得

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(2)

2 3 R 3 评分标准:本题 18 分。给出必要的说明占 8 分,求出 r 占 10 分。 r=
四、由巴尔末-里德伯公式

(3)

1

λ

1 ? ? 1 = R? 2 ? 2 ? k n ? ?

可知赖曼系波长最长的光是氢原子由 n=2 → k=1 跃迁时发出的,其波长的倒数

1

λ12

=

3R 4

(1)

对应的光子能量为

E12 = hc

1

λ12

=

3Rhc 4

(2)

式中 h 为普郎克常量。巴尔末系波长最短的光是氢原子由 n=∞ → k=2 跃迁时发出的, 其波长的倒数

1

λ2∞
对应的光子能量

=

R 4

(3)

Rhc (4) 4 用 A 表示该金属的逸出功,则 eU1 和 eU2 分别为光电子的最大初动能。由爱因斯坦 光电效应方程得 3Rhc = eU1 + A (5) 4 Rhc = eU 2 + A (6) 4 解得 e A = (U1 ? 3U 2 ) (7) 2 2e(U1 ? U 2 ) h= (8) Rc 评分标准:本题 20 分。 (1)式 3 分, (2)式 2 分, (3)式 3 分, (4)式 2 分, 、 (5)(6)式 各 3 分, 、 (7)(8)式各 2 分。 E2∞ =
五、设 A 与 B 碰撞前 A 的速度为 v0,碰后 A 与 B 的速度分别为 v1 与 V1,由动量守 恒和机械能守恒定律有:

mv0 = mv1 + kmV1

(1)

第 22 届全国中学生物理竞赛预赛题参考答案 第 2 页(共 7 页)

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1 2 1 2 1 mv0 = mv1 + kmV12 2 2 2
由此解得

(2)

?(k ? 1) v0 (3) k +1 2 V1 = v0 (4) k +1 为使 A 能回到坡上,要求 v1<0,这导致 k>1;为使 A 从坡上滑下后再能追上 B, 应有 -v1>V1,即(k-1)>2,这导致 k>3,于是,为使第二次碰撞能发生,要求 k>3 (5) 对于第二次碰撞, v2 和 V2 分别表示碰后 A 和 B 的速度, 令 同样由动量守恒及机械 能守恒定律有: v1 =

m(?v1 ) + kmV1 = mv2 + kmV2 1 2 1 1 2 1 mv1 + kmV12 = mv2 + kmV22 2 2 2 2
由此解得

v2 =

4k ? (k ? 1) 2 v0 (k + 1) 2
4(k ? 1) v0 (k + 1) 2

(6)

V2 =

(7)

若 v2>0,则一定不会发生第三次碰撞,若 v2<0, ,且-v2>V2,则会发生第三次碰撞。 故为使第三次碰撞不会发生,要求 A 第三次从坡上滑下后速度的大小(-v2)不大于 B 速 度的大小 V2,即

?v2 ≤ V2
由(6)(7)(8)式得 、 、

(8)

k 2 ? 10k + 5 ≤ 0


(9)

k 2 ? 10k + 5 = 0
可求得

k=
(9)式的解为

10 ± 80 =5± 2 5 2
(10)

5?2 5 ≤ k ≤5+ 2 5
(10)与(5)的交集即为所求:

3< k ≤5+ 2 5

(11)

评分标准:本题 25 分。求得(3)(4)式各得 3 分,求得(5)式得 4 分,求得(6)(7) 、 、 、 (8)(10)和(11)式各得 3 分。 、

第 22 届全国中学生物理竞赛预赛题参考答案 第 3 页(共 7 页)

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六、导体细杆运动时,切割磁感应线,在回路中产生感应电动势与感应电流,细杆将受到安 培力的作用,安培力的方向与细杆的运动方向相反,使细杆减速,随着速度的减小,感应电 流和安培力也减小,最后杆将停止运动,感应电流消失。在运动过程中,电阻丝上产生的焦 耳热,全部被容器中的气体吸收。 根据能量守恒定律可知,杆从 v0 减速至停止运动的过程中,电阻丝上的焦耳热 Q 应 等于杆的初动能.即

1 2 Q = mv0 (1) 2 容器中的气体吸收热量后,设其温度升高 △T,则内能的增加量为 5 ?U = R?T (2) 2 在温度升高△T 的同时,气体体积膨胀,推动液柱克服大气压力做功。设液柱的位移为 △l,则气体对外做功

A = p0 S ?l

(3)

式中 S△l 就是气体体积的膨胀量 ?V = S ?l (4) 由理想气体状态方程 pV=RT,注意到气体的压强始终等于大气压 p0,故有

p0 ?V = R?T
由热力学第一定律,有 Q = A + ?U 由以上各式可解得

(5)

(6)

?l =

2 mv0 7 p0 S

(7)

评分标准:本题 25 分。 (1)式 6 分, (2)式 4 分, 、 、 (3)(4)(5)式各 2 分, (6)式 5 分, (7)式 4 分。 七、由电容 ′ C 、 C ′′ 组成的串联电路的等效电容 C ′C ′′ C串 = C ′ + C ′′ 由电容 ′ C 、 C ′′ 组成的并联电路的等效电容

C并 = C ′ + C ′′
利用此二公式可求得图示的 4 个混联电路 A、B 间的等效电容 Ca、Cb、Cc、Cd 分别为

Ca =

C C + C1C3 + C2C3 C1C2 + C3 = 1 2 > C3 C1 + C2 C1 + C2 C1C3 C C + C1C3 + C2C3 + C2 = 1 2 > C2 C1 + C3 C1 + C3

(1)

Cb =

(2)

第 22 届全国中学生物理竞赛预赛题参考答案 第 4 页(共 7 页)

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Cc =

(C1 + C2 )C3 C C + C2C3 = 1 3 < C3 (C1 + C2 ) + C3 C1 + C2 + C3 (C1 + C3 )C2 C C + C2C3 = 1 2 < C2 (C1 + C3 ) + C2 C1 + C2 + C3

(3)

Cd =

(4)

由(1)(3)式可知 、

Ca ≠ Cc
由(2)(4)式可知 、

(5)

Cb ≠ Cd
由(1)(2)式可知 、

(6)

Ca ≠ Cb
由(3)(4)式可知 、

(7)

Cc ≠ Cd
若 Ca = Cd ,由(1)(4)式可得 、

(8)

C12 + 2C1C2 + C1C3 + C2C3 = 0
因为 C1、C2 和 C3 均大于 0,上式不可能成立,因此

Ca ≠ Cd
若 Cb = Cc ,由(2)(3)式可得 、

(9)

C12 + 2C1C3 + C1C2 + C2C3 = 0
因为 C1、C2 和 C3 均大于 0,上式不可能成立,因此

Cb ≠ Cc

(10)

综合以上分析,可知这四个混联电路的等效电容没有一对是相等的。 评分标准:本题 25 分。 、 、 、 (1)(2)(3)(4)式各 4 分,得到(5)(6)(7)(8)式各 1 、 、 、 分,得到(9)(10)式共 5 分。 、 八、如图所示,用 vb 表示 a 转过 α 角时 b 球速度 的大小,v 表示此时立方体速度的大小,则有

vb cos α = v

(1)

由于 b 与正立方体的接触是光滑的, 相互作用力 总是沿水平方向,而且两者在水平方向的位移相同, 因此相互作用的作用力和反作用力做功大小相同,符 号相反,做功的总和为 0。因此在整个过程中推力 F

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所做的功应等于球 a、b 和正立方体机械能的增量。现用 va 表示此时 a 球速度的大小, 因为 a、b 角速度相同, Oa =

1 3 l , Ob = l ,所以得 4 4
(2)

1 va = vb 3 根据功能原理可知

l 1 ?l l ? 1 ? 3l 3l ? 1 2 2 F ? sin α = ma va ? ma g ? ? cosα ? + mb vb + mb g ? ? cos α ? + mv 2 4 2 ?4 4 ? 2 ?4 4 ? 2
将(1)(2)式代入可得 、

(3)

l 1 ?1 ? ?l l ? 1 ? 3l 3l ? 1 2 F ? sin α = ma ? vb ? ? ma g ? ? cos α ? + mb vb + mb g ? ? cos α ? + m(vb cosα )2 4 2 ?3 ? ?4 4 ? 2 ?4 4 ? 2
解得

2

vb =

9l [ F sin α + (ma ? 3mb ) g (1 ? cos α )] 2ma + 18mb + 18m cos 2 α

(4)

评分标准:本题 30 分。 (1)式 7 分, (2)式 5 分, (3)式 15 分, (4)式 3 分。 九、将整个导体棒分割成 n 个小线元,小线元端点到轴线的距离分别为

r0 (= 0), r1 , r2 , L, ri ?1 , ri ,L, rn ?1 , rn (= a) ,第 i 个线元的长度为 ?ri = ri ? ri ?1 ,当 ?ri 很小
时,可以认为该线元上各点的速度都为 vi = ω ri ,该线元因切割磁感应线而产生的电动势为

?E i = Bvi ?ri = Kriω ri ?r = K ω ri2 ?r
整个棒上的电动势为
n n

(1)

E = ∑ ?E i = Kω ∑ ri2 ?ri
i =1 i =1

(2)



(r + ?r )3 = r 3 + 3r 2 ?r + 3r (?r )2 + (?r )3

略去高阶小量 (?r ) 2 及 (?r )3 ,可得

1 r 2 ?r = [( r + ?r )3 ? r 3 ] 3 代入(2)式,得 n 1 1 1 E = K ω ∑ (ri3 ?ri3 1 ) = Kω(r13 ? r03)(r23 ? r13) L + rn3 ? rn3?1 )]= Kω a 3 [ + + ( ? 3 3 3 i =1 由全电路欧姆定律,导体棒通过的电流为
E Kω a3 = R 3R 导体棒受到的安培力方向与棒的运动方向相反。 I=
第 i 个线元面 ?ri 受到的安培力为
第 22 届全国中学生物理竞赛预赛题参考答案 第 6 页(共 7 页)

(3)

(4)

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?f Ai = BI ?ri = Kri I ?ri
作用于该线元的安培力对轴线的力矩

?M i = ?f Ai ? ri = KIri2 ?ri
作用于棒上各线元的安培力对轴线的总力矩为 n n n 1 1 M = ∑ ?M i = KI ∑ ri2 ?ri = KI ∑ ( ri3 ? ri3 1 ) = KIa 3 ? 3 i =1 3 i =1 i =1 即

M=

K 2ω a 6 9R

(6)

因摔 A 端对导体圆环的正压力为

1 1 mg ,所以摩擦力为 ? mg ,对轴的摩擦力矩为 2 2

1 M ? = ? mga (7) 2 其方向与安培力矩相同, 均为阻力矩。 为使棒在水平面内作匀角速转动, 要求棒对于 O 轴所受的合力矩为零,即外力矩与阻力矩相等,设在 A 点施加垂直于棒的外力为 f,则有 fa = M + M ?
由(6)、(7)、(8)式得 (8)

K 2ω a 5 1 + ? mg (9) 9R 2 评分标准:本题 30 分。求得(3)式得 10 分,(4)式 2 分;求得(6)式得 8 分,(7)式 4 分,(8)式 4 分,(9)式 2 分。 f =

第 22 届全国中学生物理竞赛预赛题参考答案 第 7 页(共 7 页)


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