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高中数学必修四第一节 任意角_图文

1.1.1 任意角
安阳市第二中学
张向敬

1、角的概念
初中是如何定义角的?
①从一个点出发引出的两条射线构成的

几何图形。
②角也可以看成是由一条射线绕着它的

端点旋转而成的。B
终边 O

B α O 顶点

始边 A A

初中学过的角:

1 钝角 4

2
直角 5

3 锐角

平角

·

·

周角

初中学过的角的范围是:0? 至 360? 。

问题:生活中的角是不是都在 0 ,360 范围内 呢?

?

0

0

?

生活中的例子: (1)钟表慢了5分钟,想将它校准,分针 应该旋转多少度? (2)钟表快了2.5小时,想将它校准,分 针应该旋转多少度?

1.任意角的定义
按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角, 按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角, 当一条射线没有作任何旋转时,这个角叫做零角 即零度角(0? ).

角的记法:角α或可以简记成∠α,或简记为: α. α=210°,β=-150°,γ=-660°

思考下面的角度如何表示?
(1)你的手表慢了5分钟,想将它校准,分针应该 旋转多少度?

-30°
(2)假如你的手表快了2.5小时,想将它校准,分针应 该旋转多少度?

900°

2.任意角的作图 0 (1) ? 60
y x

(2)210
y

0

x o
0

o

(3) ? 240
y

(4) ? 450
y x o

0

x o 240°

-450°

3.象限角
(1)角的顶点重合于坐标原点 (2)角的始边重合于x轴的非负半轴

y

o

?

x

角的终边落在第几象限,我们就说这个角是第几象限 的角。(角的终边落在坐标轴上,则此角不属于任何 一个象限此时这种角称为:轴线角)

在0 - 360 范围内,各象限角的范 围如下:
象限 一
0 0

0

0


0 0


0 0


0 0

?
0

180 ? ? 180 , 270 ? ?270 , 360 ? ?0 , 90 ? ?90 ,
0

在0 - 360 范围内,各轴线角的范 围如下:

?
终边

00
X轴正半轴

9 00
y轴正半轴

1800
X轴负半轴

2700
y轴负半轴

判断正误

(1)179 角是第二象限角。 (2) ? 90 是第三象限角。
0

0

(3)小于90 的角是锐角。 (4)钝角一定是第二象限角 。

0

(5)第一象限角一定为正角 。 (6)终边在x轴下方的角是第三或第 四象限角。

4.终边相同的角

思考1:30°,390°,-330°是第几象限的角? 这些角有什么内在联系? 思考2:与30?角的终边相同的角怎么表示? {β| β=30? +k· 360? , k∈Z} 思考3:与任意角?的终边相同的角怎么表示?

结论: 所有与?终边相同的角连同?在内可以构 成一个集合:{β| β=α+k· 360? , k∈Z} 即:任何一个与角?终边相同的角,都可 以表示成角?与整数个周角的和。

注意以下三点: ① k ∈ Z, K > 0,表示逆时针旋转,K < 0,表示顺时针旋转. ② ?是任意角;
③ k· 360? 与?之间是“+”号,如k· 360? -30? ,应看 成(-30? )+ k· 360? ;
思考:终边相同的角和等角有什么关系?

即:[00,3600)

例1. 在0? ~360? 范围内,找出与下列各角终边 相同的角,并判断它是哪个象限的角.

(1) -120? ;(2) 640? ;(3) -950? 12′.
解:⑴∵-120? =240? +(-1)×360? , ∴ -120? 的角与 240? 的角终边相同, 它是第三象限角. ⑵ ∵640? =280? +1 × 360? , ∴ 640? 的角与 280? 的角终边相同, 它是第四象限角.
⑶ ∵-950?12’=129?48’ +(-3)×360? , ∴- 950?12’的角与 129?48’的角终边相同,它是第二象限角.

例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S,
并把S中在-360? ~720? 间的角写出来:

(1) 60? ;(2) -21? ;(3) 363? 14′.
解:(1) S={β| β=60? +k· 360?,k∈Z },

S中在-360? ~720? 间的角是
60? +0×360? =60? ; 60? -1×360? =-300? ;

60? +1×360? =420? .

方法总结:先在0? ~360? 之间找到与之终边相同的 角,再让k取特殊值。

(2) S={β| β= 339?+k· 360? ,k∈Z }
S中在-360? ~720? 间的角是 339? + 0×360?=339? ;

339?+ 1×360? =699? ;
339?-1×360? =-21? . (3) S={β| β= 3?14’ +k· 360?, k∈Z } S中在-360? ~720? 间的角是 3?14’ + 0×360? = 3?14’; 3?14’ + 1×360? = 363?14’; 3?14’ -1×360? =-356?46’.

1.问题:角有几种分类方法? 正角
旋转方向

负角 零角

任意角 第一象限角 坐标系 象限角 轴线角

第二象限角
第三象限角 第四象限角

2.终边相同的角 {β| β=α+k·360? , k∈Z}

作业:
课本:P5 1.1A组:1,3.
思考: 终边在y=x上的角的集合S怎么表示? 终边在坐标轴上的角的集合怎么表示?

课外活动:
举出一些日常生活中的“大于3600的角和负 角”的例子,与同桌交流,并熟练掌握它们 的表示。


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