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2015年高考数学模拟预测试卷(新课标)27

2015 年高考数学模拟预测试卷(新课标)

1.用数学归纳法证明 1+

1 1 1 127 * + +?+ n ?1 > (n∈N )成立,其初始值至少应取 2 4 64 2

( ) A.7 B.8 C.9 D.10 2. 用数学归纳法证明 1+2+3+?+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时, 从 n=k 到 n=k+1, 左边需增添的代数式是( ) A.2k+2 B.2k+3 C.2k+1 D.(2k+2)+(2k+3) * 3.某个命题与自然数 n 有关,若 n=k(k∈N )时命题成立,那么可推得当 n=k+1 时该 命题也成立,现已知 n=5 时,该命题不成立,那么可以推得( ) A.n=6 时该命题不成立 B.n=6 时该命题成立 C.n=4 时该命题不成立 D.n=4 时该命题成立 4.平面内有 n 条直线,最多可将平面分成 f(n)个区域,则 f(n)的表达式为( ) A. n+1 B. 2n C.

n2 ? n ? 2 2

D. n +n+1
3 3 3 *

2

5.用数学归纳法证明“n +(n+1) +(n+2) (n∈N )能被 9 整除”,要利用归纳假设证 n=k+1 时的情况,只需展开( ) 3 3 A.(k+3) B.(k+2) 3 3 3 C.(k+1) D.(k+1) +(k+2) 6.在数列{an}中,an=1-

1 2k ? 1 1 C.ak+ 2k ? 2
A.ak+

1 1 1 1 1 + - +?+ - ,则 ak+1 等于( 2 3 4 2n ? 1 2 n 1 1 B.ak+ - 2k ? 2 2k ? 4 1 1 D.ak+ - 2k ? 1 2 k ? 2
2

)

n4 ? n2 7.用数学归纳法证明 1+2+3+?+n = ,则当 n=k+1 时左端应在 n=k 的 2
基础上加上( 2 A.k +1 2 B.(k+1)
4

)

? k ? 1? ? ? k ? 1? C.
2
2 2

2

D.(k +1)+(k +2)+?+(k+1)

2

8.若 f(n)=1 +2 +3 +?+(2n) ,则 f(k+1)与 f(k)的递推关系式是________. 9.用数学归纳法证明不等式

2

2

2

2

1 1 13 1 + +?+ > 的过程中,由 n=k 推导 n n ?1 n ? 2 n ? n 24

=k+1 时,不等式的左边增加的式子是________.

试卷第 1 页,总 2 页

10.已知 f(n)=1+
1 k

1 1 1 11 * n k+ + +?+ (n∈N ),用数学归纳法证明 f(2 )> 时,f(2 2 3 n 2

)-f(2 )等于________.

11 . 已 知 数 列 {an} 满 足 a1 = 2 , an + 1 = a1·a2·a3·?·a2014=________.

1 ? an 1 ? an

(n ∈ N ) , 则 a3 = ________ ,

*

12.用数学归纳法证明 4 +3 能被 13 整除,其中 n∈N . 2 13.设数列{an}满足 a1=3,an+1=an -2nan+2,n=1,2,3,? (1)求 a2,a3,a4 的值,并猜想数列{an}的通项公式(不需证明); n (2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,试求使得 Sn<2 成立的最小正整数 n,并给出证明. 14.若不等式

2n+1

n+2

*

1 a 1 1 + +?+ > 对一切正整数 n 都成立,猜想正整数 a n ?1 n ? 2 3n ? 1 24

的最大值,并证明结论. 评卷人 得分 四、新添加的题型

试卷第 2 页,总 2 页

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参考答案 1.B

1 1 1 【解析】左边=1+ + +?+ n ?1 = 2 4 2

1?

1 2n =2- 1 , 1 2 n ?1 1? 2

代入验证可知 n 的最小值是 8.故选 B. 2.D 【解析】当 n=k 时,左边是共有 2k+1 个连续自然数相加,即 1+2+3+?+(2k+1), 所以当 n=k+1 时,左边是共有 2k+3 个连续自然数相加,即 1+2+3+?+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3),故选 D. 3.C 【解析】假设 n=4 时该命题成立,由题意可得 n=5 时,该命题成立,而 n=5 时,该命题 不成立,所以 n=4 时,该命题不成立,而 n=5,该命题不成立,不能推得 n=6 该命题是 否成立,故选 C. 4.C 【解析】1 条直线将平面分成 1+1 个区域;2 条直线最多可将平面分成 1+(1+2)=4 个区 域;3 条直线最多可将平面分成 1+(1+2+3)=7 个区域;??,n 条直线最多可将平面分

n ? n ? 1? n 2 ? n ? 2 成 1+(1+2+3+?+n)=1+ = 个区域,选 C. 2 2
5.A 【解析】假设当 n=k 时,原式能被 9 整除, 3 3 3 即 k +(k+1) +(k+2) 能被 9 整除. 3 3 3 3 当 n=k+1 时, (k+1) +(k+2) +(k+3) 为了能用上面的归纳假设, 只需将(k+3) 展开, 3 让其出现 k 即可. 6.D

1 1 1 1 ,a2=1- + - ,? 2 2 3 4 1 1 1 1 1 ak=1- + - +?+ - 2 3 4 2k ? 1 2 k 1 1 ∴ak+1=ak+ - . 2k ? 1 2 k ? 2
【解析】由于 a1=1- 故选 D. 7.D 2 【解析】当 n=k 时,左端=1+2+3+?+k . 2 2 2 2 当 n=k+1 时,左端=1+2+3+?+k +(k +1)+(k +2)+?+(k+1) , 2 2 2 故当 n=k+1 时,左端应在 n=k 的基础上加上(k +1)+(k +2)+?+(k+1) .故应选 D. 2 2 8.f(k+1)=f(k)+(2k+1) +(2k+2) 2 2 2 【解析】∵f(k)=1 +2 +?+(2k) , 2 2 2 2 2 ∴f(k+1)=1 +2 +?+(2k) +(2k+1) +(2k+2) ; 2 2 ∴f(k+1)=f(k)+(2k+1) +(2k+2) .

答案第 1 页,总 3 页

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9.

? 2k ? 1?? 2k ? 2?
1 1 1 1 + - = ,故填 2k ? 1 2 k ? 2 k ? 1 ? 2k ? 1?? 2k ? 2 ?

1

【解析】不等式的左边增加的式子是

? 2k ? 1?? 2k ? 2?
10.
k

1

.

1 1 1 + k +?+ k ?1 2 ?1 2 ? 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 k+ 1 【解析】∵f(2 )=1+ + + +?+ + +?+ k + k + k +?+ 2 3 4 k k ?1 2 ?1 2 ? 2 2 1 , 2 k ?1 1 1 1 1 1 1 k f(2 )=1+ + + +?+ + +?+ k , 2 3 4 k k ?1 2 1 1 1 k+1 k ∴f(2 )-f(2 )= k + k +?+ k ?1 . 2 ?1 2 ? 2 2 1 11.- -6 2
【解析】(1)a2=

1 ? a1 =-3, 1 ? a1

a3=

1 1 ? a2 =- . 2 1 ? a2 1 ,a5=2,可以发现 3

(2)求出 a4=

a5=a1,且 a1·a2·a3·a4=1, 故 a1·a2·a3·?·a2014=a1a2=2×(-3)=-6. 12.见解析 2×1+1 1+2 【解析】证明:(1)当 n=1 时,4 +3 =91 能被 13 整除. 2k+1 k+2 (2)假设当 n=k 时,4 +3 能被 13 整除, 则当 n=k+1 时, 2(k+1)+1 k+3 2k+1 2 k+2 2k+1 2k+1 4 +3 =4 ·4 +3 ·3-4 ·3+4 ·3 2k+1 2k+1 k+2 =4 ·13+3·(4 +3 ) 2k+1 2k+1 k+2 ∵4 ·13 能被 13 整除,4 +3 能被 13 整除, 13. (1)a2=5,a3=7,a4=9,猜想 an=2n+1 2 (2)Sn=n +2n 见解析 【解析】解:(1)a2=5,a3=7,a4=9,猜想 an=2n+1. (2)Sn=

n ? 3 ? 2n ? 1? 2 =n +2n, 2

答案第 2 页,总 3 页

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使得 Sn<2 成立的最小正整数 n=6. * n 2 证明:n≥6(n∈N )时都有 2 >n +2n. 6 2 ①n=6 时,2 >6 +2×6,即 64>48 成立; * k 2 k+1 k 2 2 2 ②假设 n=k(k≥6,k∈N )时,2 >k +2k 成立,那么 2 =2·2 >2(k +2k)=k +2k+k + 2 2 2k>k +2k+3+2k=(k+1) +2(k+1),即 n=k+1 时,不等式成立; * 由①、②可得,对于所有的 n≥6(n∈N ) n 2 都有 2 >n +2n 成立. 14.见解析 【解析】解:当 n=1 时, 即

n

1 a 1 1 + + > , 1 ? 1 1 ? 2 3 ? 1 24

26 a > ,所以 a<26,而 a 是正整数, 24 24

所以取 a=25. 下面用数学归纳法证明:

1 25 1 1 + +?+ > . n ?1 n ? 2 3n ? 1 24
①当 n=1 时,已证; ②假设当 n=k 时,不等式成立, 即

1 1 25 1 + +?+ > . k ?1 k ? 2 3k ? 1 24

则当 n=k+1 时,有

1 1 1 + +?+ 3 ? k ? 1? ? 1 ? k ? 1? ? 1 ? k ? 1? ? 2


1 1 1 1 1 1 25 1 1 + +?+ + + + - > +[ + k ?1 k ? 2 3k ? 3 3k ? 4 k ? 1 24 3k ? 2 3k ? 1 3k ? 2

2 1 - ]. 3k ? 4 3 ? k ? 1?
因为

6 ? k ? 1? 2 1 1 + = 2 > , 3k ? 2 3k ? 4 9k ? 18k ? 8 3 ? k ? 1?

所以

2 1 1 + - >0, 3k ? 2 3k ? 4 3 ? k ? 1?

所以当 n=k+1 时,不等式也成立. 由①②知,对一切正整数 n, 都有

1 25 1 1 + +?+ > , n ?1 n ? 2 3n ? 1 24

所以 a 的最大值等于 25.

答案第 3 页,总 3 页


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