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2016-2017学年高中数学必修四人教A版练习:第二章 平面向量2.3-2.3.3平面向量的坐标运算

第二章 2.3 平面向量 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算 A级 基础巩固 一、选择题 1.(2014· 广东卷)已知向量 a=(1,2),b=(3,1),则 b-a=( A.(-2,1) C.(2,0) B.(2,-1) D.(4,3) ) 解析:由题意得 b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1). 答案:B 2.下列说法正确的个数有( ) (1)向量的坐标即此向量终点的坐标. (2)位置不同的向量其坐标可能相同. (3)一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的始点坐标. (4)相等的向量坐标一定相同. A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个 解析: 因为只有起点在原点时, 向量的坐标等于此向量终点的坐标, 故(1)错误;另外(2)(3)(4)均正确. 答案:C → 3.已知点 A(1,3),B(4,-1),则与向量AB同方向的单位向量为 ( ) ?3 4? A.?5,-5? ? ? ?4 3? B.?5,-5? ? ? ? 3 4? C. ?-5,5? ? ? ? 4 3? D.?-5,5? ? ? → → → AB 1 解析:AB=(3,-4),则与AB同方向的单位向量为 = (3,- → 5 |AB| ?3 4? 4)=?5,-5?. ? ? 答案:A 4.设向量 a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量 4a,3b-2a,c 的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量 c 等于( A. (1,-1) C.(-4,6) B.(-1,1) D.(4,-6) ) 解析:因为 4a,3b-2a,c 对应有向线段首尾相接,所以 4a+3b -2a+c=0, 故有 c=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6). 答案:D 5.已知 A(-3,0),B(0,2),O 为坐标原点,点 C 在∠AOB 内, → → → 且∠AOC=45°,设OC=λOA+(1-λ)OB(λ∈R),则 λ 的值为( 1 A. 5 1 B. 3 2 C. 5 2 D. 3 ) 解析:如图所示,因为∠AOC=45°, → 所以设 C(x,-x),则OC=(x,-x). 又因为 A(-3,0),B(0,2), → → 所以 λOA+(1-λ)OB=(-3λ,2-2λ), ? ?x=-3λ, 2 所以? ?λ= . 5 ?-x=2-2λ, ? 答案:C 二、填空题 6.设向量 a,b 满足 a=(1,-1),|b|=|a|,且 b 与 a 的方向相反, 则 b 的坐标为________. 解析:因为向量 a 与 b 的方向相反,且|b|=|a|, 所以 b=-a=-(1,-1)=(-1,1). 答案:(-1,1) 7.作用于原点的两个力 F1=(1,1),F2=(2,3),为使它们平衡, 需加力 F3=________. 解析:因为 F1+F2+F3=0, 所以 F3=-F1-F2=-(1,1)-(2,3)=(-3,-4). 答案:(-3,-4) → 8.已知点 A(-1,-5)和向量 a=(2,3),若AB=3a,则点 B 的坐 标为________. → → 解析:OA=(-1,-5),AB=3a=(6,9), → → → 故OB=OA+AB=(5,4),故点 B 的坐标为(5,4). 答案:(5,4) 三、解答题 → 9.已知 O 是坐标原点,点 A 在第一象限,|OA|=4 3,∠xOA= 60°. → (1)求向量OA的坐标; → (2)若 B( 3,-1),求BA的坐标. 解:(1)设点 A(x,y),则 x=4 3cos 60°=2 3,y=4 3sin 60°= → 6,即 A(2 3,6),OA=(2 3,6). → (2)BA=(2 3,6)-( 3,-1)=( 3,7). → 10.已知点 A(3,-4)与点 B(-1,2),点 P 在直线 AB 上,且|AP| → =2|PB|,求点 P 的坐标. → → 解:设 P 点坐标为(x,y),|AP|=2|PB|. → → 当 P 在线段 AB 上时,AP=2PB. 所以(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y), ?x= , ? ?x-3=-2-2x, 3 所以? 解得? ?y+4=4-2y, ? 1 ?y=0. ?1 ? 所以 P 点坐标为?3,0?. ? ? → → 当 P 在线段 AB 延长线上时,AP=-2PB. 所以(x-3,y+4)=-2(-1-x,2-y), ? ? ?x-3=2+2x, ?x=-5, ? 所以 解得? ?y+4=-4+2y, ?y=8. ? ? ?1 ? 综上所述,点 P 的坐标为?3,0?或(-5,8). ? ? B级 能力提升 1.对于向量 m=(x1,y1),n=(x2,y2),定义 m?n=(x1x2,y1y2).已 知 a=(2,-4),且 a+b=a?b,那么向量 b 等于( ? 4? A.?2,5? ? ? ? ? ? 4? C.?2,-5? ? 4? B.?-2,-5? ? ? ? 4? D.?-2,5? ? ? ) 解析:设 b=(x,y),由新定义及 a+b=a?b,可得(2+x,y-4)= (2x,-4y),所以 2+x=2x,y-4=-4y. ? 4? 4 解得 x=2,y= ,所以向量 b=?2,5?. 5 ? ? 答案:A → → 2.在△ABC 中,点 P 在 BC 上,且BP=2PC,点 Q 是 AC 的中点, → → → 若PA=(4,3),PQ=(1,5),则BC=________. → → → 解析:PQ-PA=AQ=(1,5)-(4, 3)=(-3,2),因为点 Q 是 AC → → → → → 的中点,所以AQ=QC,所以PC=PQ+QC=(1,5)+(-3,2)=(-2, 7). → → → → → → 因为BP=2PC,所以BC=BP+PC=3PC=3(-2,7)=(-6,2

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