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集合间的基本关系

集合间的基本关系
一、教材分析 本节课是高中集合论的第二个学习内容,在此之前,学生已经学习了集合的 含义与表示, 知道了元素与集合之间的关系,仅仅研究元素与集合的关系是不够 的, 因此还需要通过本节课来带领学生研究集合之间的基本关系,而集合之间的 关系是研究集合论很重要的内容之一。 学生在初学集合时, 集合语言对于他们来说是比较抽象难懂的,为此本课从 学生熟悉的集合如有理数的集合、自然数的集合等出发,通过类比实数之间的大 小关系,引导学生逐步转向集合间的关系,同时结合相关内容讲解子集、真子集 等概念。在教学中应注意的是:重视使用 Venn 图,借助直观的图示来帮助学生 理解抽象的概念,随着学习的深入,集合的符号会越来越多,而且很多都是学生 初次见到的, 课堂上要注意引导学生区分一些容易混淆的关系符号,并要熟练运 用集合符号。 二、教学目标 1.知识与技能 ①感知子集和真子集的概念,初步理解集合的包含和相等的含义; ②能使用 Venn 图表示集合及其关系; ③掌握包含和相等有关术语、符号,并会使用它们表达集合之间的关系. 2.过程与方法 ①通过类比两个实数之间的大小关系,探究两个集合之间的关系; ②通过实例分析,获知两个集合间的包含与相等关系,然后给出定义。 3、情感、态度与价值观 增强学生从具体到抽象的思维能力,树立数形结合的思想。 三、教学重难点 1、教学重点 理解集合间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集。 2、教学难点 在具体情境中,理解空集的含义,注意区分元素与子集,即属于与包含之间的区 别。 课时安排 1 课时 四、教学过程 1、导入新课 复习回顾: 上节课我们已经学习了集合的含义与表示,并知道了元素与集合的关 系(属于与不属于的关系) ,现在来回顾一下上节课的内容,填空: (1)0 N; (2) 2 Q; (3)-2.4 R。 (答案: (1)∈ (2)? (3)∈)

(俗话说温故而知新, 从复习上节课的内容开始,让学生对新课有一个适应和过 渡的过程) 新课:我们知道实数具有相等关系、大小关系,比如 5=5,5<7,5>3 等等,类比

实数之间的关系, 集合之间具有什么样的关系呢?欲知其解,那就让我们一起来 探究吧。 (本节课主要是通过类比实数的方法,逐步引导学生探究集合间的关系,让学生 树立类比的思想) 2、提出问题 观察下面几个例子: (1) A ? ?1,2,3?, B ? ?1,2,3,4? ; (2)设 A 为新华中学高一(2)班女生组成的集合, B 为这个班的全体学生组成 的集合; (3)设 C ? ? x x是两条边相等的三角形?,D ? ? x x是等腰三角形? ; (4) E ? ?2,3,5? , F ? ?5,3,2? 。 思考 1:上述各组集合中,两个集合间有什么关系? (引导学生观察两集合间元素的特征,结合集合的含义,从它们含有的元素间的 关系来考虑,在例子 1 中,集合 A 的元素都在集合 B 中;在例子 2 中,也是集合 A 的元素都在集合 B 中; 由此引出子集的定义:一般地,对于两个集合 A,B,如果 A 中任意一个元素都 是 B 的元素, 就说这两个集合有包含关系, 称集合 A 是集合 B 的子集, 记作 A?B。 读作“A 含于 B”或“B 包含 A” 。这时说集合 A 是集合 B 的子集。 集合 A 是集合 B 的子集的含义是: 集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素, 即由任意 x ? A ,都能推出 x ? B ,注意反之不成立。 在例子 3 中,由于“两条边相等的三角形”是等腰三角形,所以集合 C 和集合 D 都是由等腰三角形组成的集合,也就是说集合 C 中的任何一个元素都是集合 D 的元素, 同时集合 D 中的任何一个元素都是集合 C 中的元素,也即集合 C 和集合 D 的元素是一样的;在例子 4 中,集合 E 和集合 F 的元素都是 2,3,5,而根据集 合的三大特征,我们知道集合具有无序性,因此集合 E 和集合 F 是一样的。 集合的相等关系: 如果集合 A 是集合 B 的子集, 且集合 B 是集合 A 的子集, 此时, 集合 A 和集合 B 的元素是一样的,因此,集合 A 与集合 B 是相等的。 ) 思考 2:例子 1 中集合 A 是集合 B 的子集,例子 4 中集合 E 是集合 F 的子集,同 样是子集,有什么区别? (在例子 1 中, A ? B ,但有一个元素 4 ? B,且4 ? A ,而在例子 4 中,集合 E 和集合 F 的元素是完全相同的。 ) 真子集的定义:如果集合 A ? B ,但存在元素 x ? B, 且x ? A ,则称集合 A 是集合
?B,或B?A. B 的真子集,记作 A? ?

思考 3:结合例子 4,类比实数中的结论: “如果 a ? b且b ? a,则a ? b ” ,在集合 中,你发现了什么结论?

(如果集合 A ? B且B ? A, 则A ? B ) 思考 4:每个班的同学都在指定的教室上课,由此联想,集合是不是也可以这样 形象地用直观图形表示呢? (可以把集合中的元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合。也就是我们说的 Venn 图。Venn 图是表示集合的最直观的方法,可以是椭圆也可以是矩形,没有 限制,只要是封闭曲线即可。如图 1 表示集合 A,图 2 表示集合 B

A 1,2,3

B 1,2,3,4

图1

图2

思考 5:与实数中的结论: “ 若a ? b且b ? c,则a ? c ”相类比,在集合中我们可 以得到什么结论? (对于集合 A, B, C,如果A ? B, 且B ? C,则A ? C。 ) 空集:在上节课,我们已经初步了解了空集的相关含义,我们把不含任何元素的 集合称为空集,比如方程 x 2 ? 1 ? 0 没有实数根,因此,它的实数根组成的集合中 没有任何元素。形象地,比如一个口袋内没有任何东西,我们称这个口袋为空袋 子。 思考 6: (1)空集中没有元素,为什么还是集合? (2)符号“ ? ”和“ ? ”有什么区别? 剖析: (1)空集的概念是一个规定,有了空集很多表达就变得方便起来了。 (2)? 是用于表示元素与集合之间的关系的,而 ? 是用于表示集合与集合 之间的关系的。例如: 1 ? Z , ?1? ? Z 。 3、例题讲解 例 1:写出集合 ?a, b? 的所有子集,并指出哪些是它的真子集。 思路:空集是任何集合的子集,一个集合不是他本身的真子集,按集合 ?a, b? 所 含元素个数进行分类讨论。 解:集合 ?a, b? 的所有子集为 ?,?a? ,?b? ,?a, b? ,真子集为 ?, ?a? , ?b? 。 (这是一道最基础的解决子集和真子集的问题, 但学生往往容易因忽略空集是任 何集合的子集和一个集合不是它本身的真子集而出错!这是需要强调的。 )

例 2:下列命题正确的是: A、任何一个集合必有两个或两个以上的子集 B、任何一个集合必有一个真子集 C、任何集合都有子集 D、空集不是空集的子集 解:选 C。(1) 任何非空集合既有子集又有真子集,而空集只有子集(它本身) , 没有真子集(2) 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 (这里需要学生注意的是:(1) 任何非空集合既有子集又有真子集,而空集只有 子集(它本身) ,没有真子集(2) 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真 子集。 ) 例 3: (1)若集合 A ? ? x x ? 2k ? 1, k ? Z ? 和集合 B ? ? x x ? 2m ? 1, m ? Z ? ,则集合

A 与集合 B 有什么关系?
(2)若集合 A ? ? x x ? 2k , k ? Z ? ,集合 B ? ? x x ? 4m, m ? Z ? ,集合 A、B 又 具有什么关系? 解: (1)集合 A 是由所有数组成的集合,集合 B 也是由所有奇数组成的集合,因 此集合 A 与集合 B 相等。 ( 2 ) x ? 4m ? 2 ? 2m ,在 x ? 2k 中, k 可以取奇数也可以取偶数,而在 x ? 4 m ? 2 ? 2m中, 2 m 只能是偶数,因此集合 A、B 的元素都是偶数,但集合 B 中元素是由集合 A 中部分元素构成,因此有 B ? A
?

(在学习集合间的关系的时候, 对于无限集间的相等和包含关系,学生是很难理 解的,这也是本节课的难点之一,需要多举例子,让学生领会判断集合间的相等 关系和包含关系) 例 4:在下列写法中 (1){0}∈{0,1} (2)??{0} (3){0,-1,1}?{-1,0,1, ? 2} {1, 2} ? ? {1}, {2} , {1, 2} ? ? (4) (5)??{?} (6){(0, ? 0)}={0}. (7) ?(a,b)? ? ?(b,a)? 正确的个数为 ( A ) A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 解:只有(2) (3)是正确的,其余都是错误的。 (在解此题时,首先要搞清楚是元素与集合间的关系还是集合与集合间的关系, 还要搞清楚符号“ ? ”和“ ? ”的使用场合) 例 5:设集合 A ? ?a, a ? b, a ? 2b? , B ? ?a, ac, ac 2 ? ,若 A ? B ,求 c 的值。 解:分两种情况进行讨论: (1)若 a ? b ? ac且a ? 2b ? ac 2 ,消去 b, 得a ? ac2 - 2ac ? 0

a ? 0 时,集合 B 中的三个元素均为 0,与集合中元素的互异性相矛盾,故 a?0

?c2 ? 2c ? 1 ? 0,即c ? 1, 但c ? 1时,B中的三个元素又相同,此时无解。
(2)若 a ? b ? ac2且a ? 2b ? ac ,消去 b得2ac2 ? ac ? a ? 0

? a ? 0,?2c2 ? c ?1 ? 0
即 ? c ? 1?? 2c ? 1? ? 0, 又c ? 1, 故c ? ?
1 2

1 1 经验证, c ? ? 符合题设要求,所以 c ? ? 。 2 2 (总结:这是一道综合的集合题,对于学生来说有一定难度,解题关键是应根据 相等的两个集合的元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性、无序性来建立 关系式。 )

4、课堂练习 1、课本第 7 页练习部分。 2、已知 A={x | x2-2x-3=0}, B={x | ax-1=0},若 B?A, 求实数 a 的值. 五、课堂小结 本节课学习了: 1、子集、真子集、空集、Venn 等概念,以及集合间的包含和相等关系。 子集:A?B? 任意 x∈A? x∈B. 真子集: A?B ? x∈A,x∈B,但存在x0∈A且x0?A. ? 集合相等:A=B? A?B 且 B?A. 空集:?.
? 性质:① ? ? A ,若 A 非空, 则 ? ?

A.

② A?A.

③ A?B ,

B?C?A?C.
2、相关结论 (1)任何集合是它本身的子集 (2)任何非空集合既有子集又有真子集,而空集只有子集(空集本身) ,没有真 子集 (3)空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集 六、布置作业 新观察上《集合间的基本关系》的习题。


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